1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда кинетическая и потенциальная энергии в терминахобобщенных координат имеет вид:z´m 2³ 2MT = R θ̇ + sin2 θ ϕ̇2 ,Π=0q2Функция Лагранжа: L = T − Π = T .Прямой путь между начальным и конечнымyjположениями точки на сфере, доставляющийRt1стационарное значение действию S = Ldt,t0должен удовлетворять уравнениям Эйлера покаждой координате от подынтегральной функции:т.е. уравнениям Лагранжа:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20∂Ld ∂L−= 0,dt ∂ q̇σ∂qσНовосибирск, 2017 г.17 / 22 mR2 θ̈ − mR2 sin θ cos θ ϕ̇2 = 0 d ¡mR2 sin2 θ ϕ̇¢ = 0dt(⇒θ̈ − sin θ cos θ ϕ̇2 = 0sin2 θ ϕ̇ = const = sin2 θ0 ϕ̇0На сфере в отсутствие сил все точки равноправны, поэтому безограничения общности можно принять, что начальное положениематериальной точки M совпадает с верхним полюсом сферы: θ0 = 0.Тогда из интеграла движения имеем: sin2 θ ϕ̇ = 0.Так как координата θ(t) заведомо непостоянная, значит будет: ϕ̇(t) ≡ 0.В таком случае из первого уравнения получаем: θ̈ = 0.
Таким образомполучили что во все время движения:ϕ = const,θ̇ = constПервое из них означает, что прямым путем будет меридиан сферы.Второе уравнение, с учетом выражения для скорости в случаедвижения по меридиану: v = Rθ̇, показывает, что это движение будетравномерным. Это означает, что прямой путь представляет собой дугубольшого круга, по которой точка движется с постоянной скоростью.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.18 / 22z M0В общем случае через точки M0 и M1(начальное и конечное положение)проходит два прямых пути:_1) путь M0 M1 для которого длина M0 M1 < πR,_M1yx2) путь M0 M1 у которого длина M0 M1 > πR.M0*Во втором случае путь проходит через нижнийполюс M0∗ , или диаметрально противоположный точке M0 .Отметим, что если M1 выбрана совпадающей с M0∗ , то через точкиM0 и M0∗ – проходит сколь угодно бесконечно близких прямых путей.Т.е.
точка M0∗ является сопряженным кинетическим фокусом для M0 .Сравним теперь значения действия S на прямом M0 M1 и окольныхпутях, проходящих через точки M0 и M1 :Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.19 / 22Zt1Sок − Sпр =t0=m2Zt1t0¡ 0¢L − L dt =Zt1¡ 0¢T − T dt =t0Zt1t0¡ 0 2¢m(v ) ± v 2 ± 2v 0 v − v 2 dt =2m=2Zt1¢m¡ 0 2(v ) − v 2 dt =2£ 0¤(v − v)2 + (2v 0 v − 2v 2 ) dt =t0Zt1Zt102(v 0 − v)dt(v − v) dt + mvt0t0Первый член правой части равенства очевидно неотрицателен.Отбрасывая его и учитывая, что рассматриваемое движениеравномерно, т.е.
v = const (как и по окольному пути: v 0 = const)приходим к неравенству:¡¢Sок − Sпр > mv v 0 (t1 − t0 ) − v(t1 − t0 ) = mv(lок − lпр )Длина дуги большего круга lпр (при движении по меридиану, т.е. попрямому пути) меньше длины lок любой другой кривой на сфере,соединяющей точки M0 и M1 .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.20 / 22Поэтому на прямом пути имеемlок − lпр > 0⇒Sок > SпрТ.е. действие по Гамильтону на прямом пути – минимально.Очевидно, что это утверждение справедливо только в том случае, еслидлина прямого пути не превышает половины окружности меридиана,т.е.
lпр < πR. Если lпр = πR, т.е. при совпадении M1 с кинетическимфокусом M0∗ , свойство минимума функционала – теряется: в этомслучае имеются сколь угодно близкие к прямому окольные пути –меридианы, на которых действие S имеет значения равные значениюна прямом пути, следовательно все они – прямые, т.к. нет основанийпредпочесть один другому.Наконец, если lпр > πR, то Sпр уже не всегда будет меньше Sок ,а наименьшее значение будет достигаться на дополнительной дугемеридиана M0 M1 , которая является в этом случае кратчайшимрасстоянием между M0 и M1 .Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.21 / 22Аналогичная ситуация имеет место и в общем случае.1) Один прямой путь — если точка M1 выбрана достаточноблизко к M0 (окрестность M0 не содержит кинетическихфокусов),2) Бесконечное множество прямых путей — если M1 являетсясопряженным кинетическим фокусом к M0 ,3) Действие S – минимально — если вдоль прямого пути неткинетического фокуса (не лежит на пути).Минимальность S утрачивается (ни минимальное, ни максимальное)— если прямой путь проходит через кинетический фокус(т.е.
фокус лежит перед конечной точкой на прямом пути).Однако условие стационарности функционала S (действие поГамильтону) – на прямом пути – сохраняется, т.е. δS = 0, гдеZt1S = L dt.t0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.22 / 22ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 21ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ВАРЬИРОВАНИЕДЕЙСТВИЕ ПО ЛАГРАНЖУПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯВ ФОРМЕ МОПЕРТЮИ-ЛАГРАНЖАСВЯЗЬ С ГЕОДЕЗИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.1 / 24Рассмотрим голономную консервативную или обобщенноконсервативную механическую систему.Ее функция Гамильтона не зависит явно от времени, исуществует обобщенный интеграл энергии:H(q1 , . . .
, qn , p1 , . . . , pn ) = hДвижение системы будем представлятьq3в n-мерном координатномA1пространстве {q1 , . . . , qn }.Пусть A0 и A1 – точки этого пространства,A0задаваемые координатами qσ0 и qσ1 ,q2соответственно (σ = 1, . . . , n).q1Пусть в начальный момент времени t = t0система занимает положение, отвечающее точке A0 .Будем предполагать, что могут быть заданы начальные скоростиq̇σ0 (а, следовательно, и обобщенные импульсы) таким образом,что при t = t1 система займет положение, отвечающее конечнойточке A1 .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.2 / 24Проходящую через точки A0 и A1 кривую:qσ = qσ (t)(σ = 1, . . . , n)вдоль которой удовлетворяются дифференциальные уравнениядвижения назовем — прямым путем системы.На прямом пути функция Гамильтона постоянна и равна h, гдевеличина h определяется начальными условиями. Наряду спрямым путем рассмотрим другие кинематически возможныепути (т.е. связи не нарушаются), бесконечно близкие к прямому.Эти пути будем называть — окольными, если:1) проходят через одни и те же начальное и конечноеположения A0 и A1 ;2) вдоль каждого окольного пути функция Гамильтона постояннаи равна величине h, отвечающей прямому пути.При таком – изоэнергетическом варьированиивремя (t1 − t0 )перехода системы из начального в конечное положение –не обязательно одинаково для прямого и окольных путей.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.3 / 24Пример: пусть материальная точка массой m движется поинерции, т.е. в отсутствие активных сил в плоскости Oxy.За движение по прямому пути примем прямолинейное движениевдоль оси Ox. В начальный момент t = 0 точка находилась вначале координат O. Тогда из закона сохранения энергии имеем:rrmv 22h2hΠ=0T + Π = h −−→= h → ẋ =→ x=t2mmС другой стороны для всех окольных путей из интеграла энергии:rrrm (ẋ2 + ẏ 2 )2h2h2h= h → ẋ =− ẏ 2 <→ x<t2mmmЗначит по окольному пути невозможно прийти за одинаковоевремя t1 , в то же положение, что и на прямом пути – еслипостоянная h одинакова для прямого и окольного пути.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.4 / 24Рассмотрим сейчас так называемый принципМопертюи–Лагранжа, который дает критерий, позволяющийвыделить прямой путь среди всех окольных, удовлетворяющихупомянутым выше свойствам движения 1 и 2.Поскольку он примени́м только к консервативным (обобщенноконсервативным) системам, то он, конечно, обладает меньшейобщностью, чем принцип Гамильтона-Остроградского.
Однако ониграет важную роль при рассмотрении различных вопросовфизики, например в гидродинамике и теории относительности.При заданной постоянной энергии h уравнения движенияконсервативной или обобщенно-консервативной системы могутбыть записаны в форме уравнений Якоби:µ¶dqσd ∂P∂P0=0(σ = 2, 3, . . . , n)qσ =−dq1 ∂qσ0∂qσdq1Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа 2-го рода,где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби P , ароль независимой переменной t играет обобщенная координата q1 .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.5 / 24По аналогии с действием по Гамильтону S введем1Zq1P (q2 , . . . , qn , q20 , . . . , qn0 , q1 , h)dq1W =−действиепо Лагранжуq10Ранее мы показали, что уравнения Лагранжа 2-го рода эквивалентныпринципу Гамильтона-Остроградского, выражающемуся встационарности действия по Гамильтону на прямом пути.Аналогично уравнения Якоби эквивалентны условию стационарностидействия по Лагранжу:δW = 0Принцип Мопертюи-ЛагранжаСреди всех кинематически возможных путей голономнойконсервативной системы (или обобщенно-консервативной) сидеальными связями – между двумя заданными конфигурациями(положениями) и с одинаковой полной (обобщенной) механическойэнергией, прямой путь выделяется тем, что для него действие поЛагранжу принимает стационарное значениеБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.6 / 24Лагранж использовал другой вид действия W . А именно – вспомним,что для случая консервативной системы функция Якоби имела вид:1L+H2T=P =q̇1q̇1Zq1⇒W =q102Tdq1 =q̇1Zt1Zt12T dt⇒W =t02T dtt0Зачастую именно такое выражение используют для обозначениядействия по Лагранжу.
Оно очевидно совпадает с выше указаннымдля консервативной системы.Связь между действием по Лагранжу и действием по ГамильтонуL = T −Π и T +Π = h⇒Zt1⇒W =Zt12T dt =t0и L = 2T −hZt1(L + h)dt =t0⇒Батяев Е. А. (НГУ)Π = h−TZt1Ldt +t0hdtt0W = S + h(t1 − t0 )ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.7 / 24Принцип Мопертюи–Лагранжа по своей конструкции схож спринципом Гамильтона-Остроградского.Однако это существенно разные принципы, поскольку действие поЛагранжу имеет вообще иной вид, чем действие по Гамильтону.Кроме того, в принципе Мопертюи-Лагранжа сравниваютсядвижения (пути) с одной и той же полной механической энергией,а в принципе Гамильтона–Остроградского эти движенияпроисходили за одно и то же время.Вопрос об экстремальных свойствах действия по Лагранжурешается точно так же, как и для принципаГамильтона–Остроградского при помощи рассмотрениякинетически сопряженных фокусов. Т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
