1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 29
Текст из файла (страница 29)
обобщенные координаты q1 , . . . , qnq1всегда выбирают так, что геометрическиесвязи, наложенные на систему, удовлетворяются тождественно, адругих связей у голономной системы нет.tБатяев Е. А. (НГУ)BЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.5 / 19Отметим, что задача о построении прямого пути, соединяющегоначальную и конечную точки A и B – не является простой.Она приводит к рассмотрению краевой задачи для системыдифференциальных уравнений, порядка 2n, описывающей движениеизучаемой механической системы.Отличие от того, что мы раньше рассматривали состоит в том, что унас была начальная задача (Коши), в которой задавались начальныеположения q10 , .
. . , qn0 и первые производные по времени q̇10 , . . . , q̇n0 вначальный момент времени t0 для искомых функций q1 (t), . . . , qn (t),движение которых описывалось системой уравнений 2n-го порядка(уравнения Лагранжа 2-го рода, общее уравнение динамики и др.).Здесь же задаются только положения точек (края, концы) – начальноеA и конечное B, которые должна занимать система в начальныйt = t0 и конечный t = t1 моменты времени.
Поэтому задача – краевая.Скоростей в начальном задании нет. Но дифференциальные уравнениядвижения остаются теми же. И если точка A соответствует значениямобобщенных координат q1A , . . . , qnA , а точка B – значениям q1B , . . . , qnB ,то решение qσ (t) дифференциальных уравнений движения системыдолжно удовлетворять краевым условиям: qσ (t0 ) = qσA , qσ (t1 ) = qσB .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.6 / 19Cопряжённые кинетические фокусыКраевая задача может иметь единственное решение, а может не иметьни одного решения; она может иметь несколько или даже бесконечноемножество решений. Если точки A и B достаточно близки, то решениеупомянутой задачи либо единственно, либо она имеет только конечноечисло решений. Для наших целей второй случай эквивалентен первомув том смысле, что среди конечного числа прямых путей можно взятькакой-то один и рассмотреть его окрестность, достаточно малую,чтобы она не содержала точек других прямых путей, отвечающихзначениям t0 < t < t1 (т.е. не включая концы A и B).
Окольные путизатем следует проводить именно в этой малой окрестностивыбранного прямого пути.При достаточном удалении точки B от точки A может оказаться, чтокраевая задача имеет решения, соответствующие бесконечно близкимпрямым путям, проходимым механической системой за одно и то жевремя t1 − t0 . В этом случае точки A и B расширенного координатногопространства называют – сопряженными кинетическими фокусами.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.7 / 19Пример: одномерный гармонический осциллятор (груз на пружинке вгоризонтальной плоскости), движение которого описываетсядифференциальным уравнением:q̈ + q = 0Через точки (0, 0) и (0, π) расширенного координатного пространства{q, t} проходят бесконечно близкие один к другому прямые пути,задаваемые равенствомqtq = c sin t(0,0)(0,p)где c − const.И все прямые пути через (0, 0) и (q, t), где t > π проходят через (0, π).Эти точки – сопряженные кинематические фокусы.Аналогично (0, πk) – тоже фокусы.
Напротив, через точки (0, 0) и(q 1 , t1 ) при q 1 > 0 и t1 < π можно провести только один прямой путь.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.8 / 19Мы будем далее рассматривать не вообще произвольные окольныепути, а те из них, которые получаются из прямого пути при помощисинхронного варьирования.Пусть gν – положение,которое занимает в момент времениt точка Pν механической системыgn , tdrnbn, t1 при её движении по прямому пути γ ,νgn, tсоединяющему начальные и конечныеположения aν и bν этой точки.nnВ этот момент времени t дадимточке Pν произвольное виртуальноеan, t0перемещение δr̄ ν из ее положения gν .Тогда точка Pν займет положение gν0 .Если эту процедуру проделать для всех положений gν точки Pν накривой γν при t0 < t < t1 и через получающиеся, при такомсинхронном варьировании, точки gν0 провести кривую, соединяющуюположения aν и bν , то эта кривая и будет окольным путем γν0 .Соответствующие одна другой точки gν и gν0 на прямом и окольномпутях проходятся в одни и те же моменты времени.’g’gБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.9 / 19В декартовых координатах положение точки Pν на прямом путизадается радиус-вектором r̄ ν (t), а на окольном – радиус-векторомr̄ 0ν (t) = r̄ ν (t) + δr̄ ν (t)где вектор-функция δr̄ ν (t) – удовлетворяет условию:δr̄ ν (t0 ) = 0,δr̄ ν (t1 ) = 0Будем предполагать, что δr̄ ν (t) – дваждынепрерывно-дифференцируемая функция от t.Нам потребуется сравнить между собой не только прямой и окольныйпути, но и скорости точек Pν : r̄˙ ν (t) = v̄ ν (t) – на прямом пути, ссоответствующими их скоростямиv̄ 0ν (t) = v̄ ν (t) + δv̄ ν (t) = r̄˙ ν (t) + δ r̄˙ ν (t)(1)– на окольном пути — для одного и того же момента времени t.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.10 / 19Покажем, что: операции синхронного варьирования идифференцирования по времени перестановочны, т.е.:dδ r̄˙ ν (t) = δr̄ ν (t)(ν = 1, . . . , N )(2)dtДействительно, по определению скорости, на окольном пути имеем:dddv̄ 0ν (t) = (r̄ 0ν (t)) = (r̄ ν (t) + δr̄ ν (t)) = r̄˙ ν (t) + δr̄ ν (t)dtdtdtСравнивая полученное выражение с (1) устанавливаем (2).Аналогично, если в расширенном координатном пространстве прямойпуть задается уравнениямиqσ = qσ (t),qσ (t0 ) = qσ0 ,qσ (t1 ) = qσ1(σ = 1, . . .
, n)то окольные пути получаются из прямого при помощи виртуальныхперемещений δqσ (t) (вариаций координат) и задаются уравнениямиqσ0 = qσ (t) + δqσ (t),где δqσ (t0 ) = 0,δqσ (t1 ) = 0 (σ = 1, . . . , n)Величины δqσ (t) считаем дважды непрерывно-дифференцируемымифункциями от t, удовлетворящими равенствам аналогичным (2) оdперестановочности:δ q̇σ (t) = δqσ (t)dtБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.11 / 19Принцип Гамильтона–ОстроградскогоИтак, рассмотрим прямой путь и совокупность окольных путей,получающихся из прямого пути при помощи синхронноговарьирования и совпадающего с ним в начальный t0 и конечныйt1 моменты времени.Пусть mν – масса точки Pν , а F̄ ν – равнодействующая всехактивных сил, приложенных к ней (ν = 1, .
. . , N ). Интегрированиеобщего уравнения динамики за все время движения системы,которое справедливо для каждого конкретного момента времени:NX¡¢F̄ ν − mν āν δr̄ ν = 0ν=1даёт равенство:Zt1 XNt0Батяев Е. А. (НГУ)ν=1F̄ ν δr̄ ν dt −NXZt1mνν=1ЛЕКЦИЯ 18āν δr̄ ν dt = 0(∗)t0Новосибирск, 2017 г.12 / 19Рассмотрим разность между значениями кинетической энергиисистемы в момент t на окольном и прямом путях, т.е. T 0 (t) и T (t):NT 0 (t) − T (t) =1=2N¡¢2 1 X1Xmν r̄˙ ν + δ r̄˙ ν −mν r̄˙ 2ν =22ν=1NXNXν=1ν=1mν r̄˙ 2ν +mν r̄˙ ν δ r̄˙ ν +ν=1NX12ν=1Nmν δ r̄˙ 2ν −1Xmν r̄˙ 2ν2ν=1Вводя обозначение δT (t) для этой разности, с точностью до величинпервого порядка малости включительно относительно |δr̄ ν |, получаемвыражение:NXδT (t) = T 0 (t) − T (t) =mν r̄˙ ν δ r̄˙ νν=1которое по сути является синхронной вариацией кинетической энергии.Интегрируя данное выражение на всём времени движения системы,имеемZt1Zt1NXδT (t)dt =mν r̄˙ ν δ r̄˙ ν dtt0Батяев Е.
А. (НГУ)ν=1ЛЕКЦИЯ 18t0Новосибирск, 2017 г.13 / 19Используя свойство (2) перестановочности операций варьирования идифференцирования по времени и производя интегрирование почастям, преобразуем интеграл справа к виду:Zt1Zt1r̄˙ ν δ r̄˙ ν dt =t0t0dr̄˙ ν δr̄ ν dt =dtZt1¯t1 Zt1¯r̄˙ ν dδr̄ ν = r̄˙ ν δr̄ ν ¯ − ¨r̄ ν δr̄ ν dtt0t0t0Но поскольку δr̄ ν (t0 ) = 0 и δr̄ ν (t1 ) = 0, окончательно получим:Zt1δT (t)dt = −NXZt1t0āν δr̄ ν dtmνν=1t0Полученное соотношение позволяет переписать (∗) в следующем виде:!Zt1 ÃNXF̄ ν δr̄ ν dt = 0δT +(∗∗)t0ν=1Это равенство является математическим выражением принципаГамильтона–Остроградского.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.14 / 19Учитывая определение виртуальной работы системы сил:NXδA =F̄ ν δr̄ ν , выражение (∗∗) можно переписать в ином виде:ν=1Zt1(δT + δA) dt = 0(∗ ∗ ∗)t0Принцип Гамильтона–Остроградского(для голономных систем, подчиненных идеальным связям)Прямой путь системы между двумя заданными конфигурациями(положениями в расширенном координатном пространстве)выделяется среди всех других допустимых путей между этими жеконфигурациями за один и тот же промежуток времени, темсвойством, что для него равен нулю интеграл (∗∗) или (∗ ∗ ∗)Замечание: К сравнению с прямым путём допускаются толькоокольные пути, полученные синхронным варьированием из прямого иδr̄ ν (t0 ) = δr̄ ν (t1 ) = 0.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.15 / 19Таким образом, на прямом пути голономной системы интеграл (∗ ∗ ∗)равен нулю. Покажем, что, наоборот, если на каком-то кинематическивозможном пути интеграл (∗ ∗ ∗) равен нулю, то этот путь – прямой.Для этого достаточно убедиться в том, что из принципа Гамильтона–Остроградского следуют уравнения Лагранжа второго рода.Для начала докажемОсновная лемма вариационного исчисленияесли Φ(x) – непрерывная функция на отрезке x0 6 x 6 x1 иZx1Φ(x) · h(x)dx = 0x0для любой непрерывной функции h(x) на этом же интервале,имеющей непрерывную производную и удовлетворяющую условиюh(x0 ) = h(x1 ) = 0, тогда Φ(x) ≡ 0 (на этом отрезке).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.16 / 19Доказательство: Пусть в некоторой точке x∗ внутри отрезка(x0 < x∗ < x1 ): Φ(x∗ ) 6= 0, например Φ(x∗ ) > 0. Тогда из непрерывностиΦ(x) следует, что найдется интервал ξ1 < x∗ < ξ2 , содержащийся в(x0 , x1 ), в котором Φ(x∗ ) > 0, т.е. сохраняет свой знак.Укажем функцию h(x) также сохраняющую знак в интервалеξ1 < x < ξ2 такой же как у Φ(x) и h(x) = 0 вне этого интервала.(h(x) =(ξ1 − x)2 (ξ2 − x)2 для x ∈ (ξ1 , ξ2 )0для x ∈/ (ξ1 , ξ2 )h(x)0x1x2x– очевидно она непрерывна и имеет непрерывную производную. ТогдаZξ1Zx1Φ(x)(ξ1 − x)2 (ξ2 − x)2 dx > 0Φ(x)h(x)dx =x0ξ0потому что подынтегральная функция - непрерывная и положительная.Получим противоречие доказанной лемме.¥Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.17 / 19Возвращаясь к исходным выражениям, заметим, что:δA =NXF̄ ν δr̄ ν =ν=1nXQσ δqσδT =σ=1n µX∂Tσ=1∂Tδqσ +δ q̇σ∂qσ∂ q̇σ¶где Qσ – обобщенные силы, соответствующие обобщённымкоординатам qσ и перепишем интеграл (∗∗) в виде:Zt1 Xn ·t0 σ=1∂Tδ q̇σ +∂ q̇σµ¶¸∂T+ Qσ δqσ dt = 0∂qσСнова используем перестановочность операций варьирования идифференцирования по t, интегрируя по частям, с учетом того, чтоδqσ (t0 ) = δqσ (t1 ) = 0, получим:Zt1t0∂Tδ q̇σ dt =∂ q̇σZt1t0¯t 1∂T∂T d¯δqσ dt =δqσ ¯ −∂ q̇σ dt∂ q̇σt0Zt1t0d ∂Tδqσ dt = −dt ∂ q̇σZt1t0d ∂Tδqσ dtdt ∂ q̇σПодставляя это в предыдущий интеграл, имеем:Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
