1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Единственной особой точкой целой функции на расширенной комплексной плоскости является бесконечно удаленная точка. Из сказанного выше следует, что полином является целой функцией, для которойz = ∞ — устранимая особая точка или полюс.Обратно, если для целой функции f (z) точка z = ∞ является устранимой особой точкой или полюсом порядка n, то f (z) есть соответственно постоянная или полином степени n.Действительно, разложение целой функции f (z) в ряд Тейлора вокрестности точки z = 0 (поскольку оно сходится на всей комплексной плоскости) является одновременно лорановским разложением f (z) вокрестности точки z = ∞, поэтому справедливость приведенного утверж-112дения следует непосредственно из определения устранимой особой точкиили полюса порядка n для случая особой точки z = ∞.Целая функция, для которой z = ∞ — существенно особая точка,называется ц е л о й т р а н с ц е н д е н т н о й.2.

Мероморфные функции. Рациональная функцияR(z) =Pn (z)Qm (z)аналитична на комплексной плоскости всюду, кроме нулей ее знаменателя Qm (z). Из очевидных равенствlim R(z) = α 6= ∞, n ≤ m;z →∞lim z m−n R(z) = β 6= 0, ∞, n > m,z →∞следует, что z = ∞ для рациональной функции R(z) является устранимой особой точкой при n ≤ m и полюсом порядка n−m при n > m.Очевидно также, что нуль zk полинома Qm (z) порядка µk являетсядля R(z) полюсом порядка µk при Pn (zk ) 6= 0, а если zk — нуль полинома Pn (z) порядка λk , то точка zk является для R(z) полюсом порядкаµk −λk при λk < µk и устранимой особой точкой при λk ≥ µk .Функция, аналитическая в области D всюду, кроме точек, являющихся ее полюсами, называется м е р о м о р ф н о й в D.Если рациональную функцию R(z) в устранимых особых точкахдоопределить соответствующими пределами, то все ее особые точки нарасширенной комплексной плоскости будут полюсами, поэтому рациональная функция R(z) будет мероморфной на расширенной комплексной плоскости.

Обратно, мероморфная на расширенной комплекснойплоскости функция f (z) является рациональной.В самом деле, пусть zk ∈ C, k = 1, 2, . . . , m, — все конечные полюсыфункции f (z) порядка λk , аλk 1 Xc−n, k=f1, knz−zkz−zn=1k— главная часть лорановского разложения f (z) в окрестности точки zk .Тогда функция m 1 X,z 6= zk ,ff(z)−1, k z−zkk=1Φ(z) =mh 1 iX lim f (z) −f, z = zk ,1, k z−z z →zkkk=1113является целой, и для нее точка z = ∞ является устранимой особойточкой или полюсом. Следовательно, Φ(z) есть постоянная или полином,а f (z) — рациональная функция.Из приведенного рассуждения следует, что всякая рациональнаяфункция после выделения целой части может быть разложена, и притом единственным образом, на простые дроби.Верно и в некотором смысле обратное утверждение, которое мы приведем без доказательства, а именноТеорема Миттаг – Леффлера. Пусть {zk } — сходящаяся к бесконечности последовательность различных комплексных чисел zk иGk (z) — наперед заданные рациональные функции видаλkc−n, kXGk (z) =n .n=1 z−zkТогда существует мероморфная на комплексной плоскости C функцияf (z), имеющая полюсы в точках zk и только в этих точках, для 1 лорановского разложения f (z) вкоторой главная часть f1, kz−zkокрестности точки zk равна Gk (z), k = 1, 2, .

. ..3.3. Элементы теории вычетов1. Понятие вычета. Пусть z0 ∈ C — изолированная особая точкааналитической функции f (z), а γ — кусочно-гладкая замкнутая криваяЖордана, лежащая в области аналитичности f (z) и такая, что внутренняя по отношению к γ область Dγ содержит единственную особуюточку z0 функции f (z). В силу теоремы Коши значение интегралаZ1f (t) dt2πiγодно и то же для всех таких кривых γ и оно называется в ы ч е т о мфункции f (z) относительно изолированной особой точки z0 и обозначается символом Res f (z).z =z0Из формулы (2.47) при k = −1 и теоремы Коши следует, что в случаеконечной изолированной особой точки z0 имеемZ1f (t) dt = c−1 .(3.13)Res f (z) =z =z02πiγ114Итак, вычет аналитической функции f (z) относительно изолированнойособой точки z0 равен коэффициенту c−1 при (z − z0 )−1 в лорановскомразложении f (z) в окрестности точки z0 .Очевидно, что в случае, когда z0 — устранимая особая точка,Res f (z) = 0.z =z0Если z0 — простой полюс, тоRes f (z) = lim (z−z0 )f (z).z =z0z →z0В частности, когда функция f (z) представлена в видеf (z) =ϕ(z)ψ(z),где ϕ(z0 ) 6= 0, ψ(z0 ) = 0, ψ 0 (z0 ) 6= 0, отсюда получимϕ(z0 )ϕ(z).Res f (z) = c−1 = lim=z =z0z →z0 ψ(z) − ψ(z )ψ 0 (z0 )0z−z0Если же z0 — полюс порядка m > 1, то из (3.8) получим1d m−1Res f (z) = c−1 =lim[ (z−z0 )m f (z) ].m−1z =z0z→z(m−1)!0 dz(3.14)Предположим теперь, что изолированная особая точка z0 функцииf (z) является бесконечно удаленной.

В качестве γ возьмем окружность| z | = R настолько большого радиуса, чтобы функция f (z) была аналитична при | z | ≥ R. Так как теперь интегрирование вдоль γ происходит вотрицательном направлении (оставляющем окрестность C(R, ∞) слева),то мы получимZ1Res f (z) = −f (t) dt = −c−1 .(3.15)z =∞2πi| t |=RОтсюда, в частности, следует, что вычет аналитической функцииотносительно бесконечно удаленной устранимой особой точки (как ибесконечно удаленной точки аналитичности) может быть отличнымот нуля.1152. Вычисление некоторых интеграловОсновная теорема о вычетах. Если функция f (z) аналитичнав области D с кусочно-гладкой границей Γ и непрерывна в D всюду,кроме конечного числа особых точек zk ∈ D, k = 1, 2, .

. . , n, тоZf (t) dt = 2πinXk=1Γ(3.16)Res f (z).z =zkДоказательство. Пусть δ > 0 и такое, что C(δ, zk ) ⊂ D, C(δ, zk ) ∩n∩C(δ, zj ) = ∅, k, j = 1, 2, . . . , n, k 6= j, γk= ∂C(δ, zk ), а D δ =D \ ∪ C(δ, zk ).k=1Применяя обобщенную теорему Коши к функции f (z) в D δ и учитывая(3.12), получимZn ZnXXf (t) dt =f (t) dt = 2πiRes f (z).z = zkk =1 γk =1ΓkИз формул (3.15) и (3.16) вытекает следующее утверждение: еслифункция f (z) аналитична на комплексной плоскости всюду, кроме конечного числа особых точек zk , k = 1, 2, .

. . , n, тоnXk=0где z0 = ∞.Res f (z) = 0,z = zk(3.17)Действительно, при достаточно большом R > 0 точки z1 , z2 , . . . , znлежат в круге | z | < R, поэтому из (3.16) имеемZnX1f (t) dt =Res f (z).z =zk2πik=1| t |=RНо интеграл в левой части этого равенства в силу (3.15) равен− Res f (z), откуда и следует (3.17).z =∞Приведем теперь несколько примеров вычисления интегралов с помощью вычетов.1161. I1 =2Rπ0R(sin ϕ, cos ϕ) dϕ ,где R — рациональная функция переменных sin ϕ, cos ϕ, непрерывнаяпри ϕ ∈ [ 0, 2π ]. Замена переменного z = eiϕ дает11z−,sin ϕ =2iz11cos ϕ =z+,2zdϕ =dz,izв силу чего получим1I1 =i= 2π|z |=1Xk2.I2 =R∞Zh 11 11 i dzRz−,z+=2iz2zzh 11 11 i1z−,z+.Res R2iz2z zz = zk|z |<1kf (x) dx,−∞где f (z) — аналитическая при =mz > 0 и непрерывная при =mz ≥ 0функция с конечным числом особых точек zk , =mzk > 0, k = 1, 2, .

. . , n.При достаточно большом R все особые точки zk будут лежать в полукруге | z | < R, =mz > 0, а на дуге ΓR : | z | = R, =mz ≥ 0 функция f (z)будет непрерывна. Для контура CR = [ −R, R ]∪ΓR имеемZCRf (z) dz =ZRf (x) dx +−RZf (z) dz = 2πinXk=1ΓRПолагая M(R) = max | f (z) |, получим неравенствоz ∈ΓRZ f (z) dz ≤ πRM(R).Res f (z).z =zk(3.18)ΓRПоэтому в предположении, что RM(R) → 0 при R → ∞, переход кпределу при R → ∞ в равенстве (3.18) даетI2 = 2πinXk=1Res f (z).z =zk1173. I3 =R∞f (x)eiλx dx,−∞где λ > 0, а f (z) — аналитическая при =mz > 0 и непрерывная при=mz ≥ 0 функция, за исключением конечного числа особых точек zk ,=mzk > 0, k = 1, 2, . . . , n, и f (z) → 0 при z → ∞, =mz ≥ 0.Имеет место следующее утверждение.Лемма Жордана. Если непрерывная на последовательности дугΓRn : | z | = Rn , =mz > −a, Rn → ∞ при n → ∞, функция f (z) → 0равномерно относительно arg z при z ∈ ΓRn , n → ∞, то для любогоλ > 0 имеемZlimf (z) eiλz dz = 0.n→∞ΓRnaДоказательство.

Пусть a > 0, α(Rn ) = arcsin R и M(Rn ) =n= max | f (z) |. По условию леммы при n → ∞ имеют место соотноz ∈ΓRnшения: M(Rn ) → 0, α(Rn ) → 0, Rn α(Rn ) → a. Для z ∈ ΓRn имеемz = Rn eiϕ , −α(Rn ) < ϕ < π + α(Rn ). Для каждой из частей дуги ΓRn ,на которой y ≤ 0, получимα(ZRn )Ze−λy dϕ ≤ f (z) eiλz dz ≤ Rn M(Rn )0≤ M(Rn )Rn α(Rn )eλa → 0 при n → ∞.Для оставшейся части дуги ΓRn , т.е.

когда 0 ≤ ϕ ≤ π, в силу неравенстваsin ϕ ≥будем иметьπ0≤ϕ≤ ,22ϕ,πZπZiλz f (z) e dz ≤ Rn M(Rn ) e−λRn sin ϕ dϕ ≤0≤ 2Rn M(Rn )πZ2−2 λR ϕne πdϕ = M(Rn )0π1 − e−λRn −→ 0.n→∞λВ случае a ≤ 0 достаточно второй оценки.Возвращаясь к вычислению интеграла I3 , заметим, что f (z) → 0равномерно относительно arg z, когда z → ∞, =mz ≥ 0.

Взяв контур118CR , как в предыдущем примере, и устремив R к ∞, в силу леммыЖордана получимnXI3 = 2πiRes f (z) eiλz .z =zk4. I4 =Z∞k=1R(x)dx,xα0где 0 < α < 1, а R(z) — рациональная функция, непрерывная при z ≥ 0и обращающаяся в нуль при z = ∞. Для вычисления I4 рассмотримобласть DRρ , представляющую собой кольцо 0 < ρ < | z | < R < ∞ сразрезом вдоль интервала (ρ, R).При любых ρ и R в области DRρ можно выделить ветвь многозначной функции z α , поскольку в этой области нельзя указать замкнутойкривой, вдоль которой можно совершить обход вокруг ее точек ветвления 0 и ∞.

Характеристики

Список файлов лекций