1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Тогда ψ(t) ∈∈ H(µ) на Γ.87В самом деле, пусть кривая Γ задана уравнением t = t(s), где s —∼длина дуги кривой Γ, ω = ω [ t(s) ]. Тогда в силу соотношений (0.16) и(0.27) условие (2.78) эквивалентно следующему:∼dωC0,(2.79)≤ds| s−s0 |C, t = t(s0 ). Можно считать, что ω(t) — действительнаяk0 0функция, так как в противном случае можно было бы вести рассуж∼дения отдельно для действительной и мнимой частей.
Положив ϕ (s) =где C0 =∼= ϕ[ t(s) ] , ψ (s) = ψ[ t(s) ] , имеем∼∼∼∼∼| ψ (s + h) − ψ (s) | ≤ | [ ϕ (s + h) − ϕ (s) ] ω (s + h) | +∼∼∼∼+ | [ ϕ (s) − ϕ (s0 ) ]·[ ω (s + h) − ω (s) ] |.Не нарушая общности, будем считать s −s0 ≥ 0, h > 0. Первое слагаемое в правой части последнего неравенства не превышает AMh µ , авторое слагаемое при s−s0 ≤ h — 2AMh µ . Для второго слагаемого приs − s0 > h в силу теоремы о среднем значении и (2.79) имеем (0 < ξ < 1)∼∼∼∼| ϕ (s) − ϕ (s0 ) |·| ω (s + h) − ω (s) | ≤< AC0 h 1−µh µ < AC0 h µ .s−s0A(s−s0 ) µ C0 h<s+ξh−s0Тем самым наше утверждение доказано.100 .
Пусть теперь t0 — фиксированная точка на Γ, а θ = arg (t−t0 ),−→t ∈ Γ — угол, составленный вектором t0 t с каким-либо фиксированным направлением. Условимся, что θ изменяется непрерывно, когда tперемещается по Γ, не переходя через точку t0 . Вследствие того, чтофункция θ = arg (t−t0 ) является мнимой частью функции log (t−t0 ) иd log (t−t0 )= 1 ,t−t0dtфункция ω (t) = e−iλθ удовлетворяет условию (2.78) и, очевидно, является ограниченной. Поэтому, если ϕ(t) ∈ H(µ) на Γ, 0 ≤ λ < µ ≤ 1 иψ(t) =ϕ(t) − ϕ(t0 )(t−t0 )λ,то в силу 80 и 90 функция ψ(t) ∈ H(µ−λ) на Γ.882.11.
Интеграл в смысле главного значения по КошиПусть Γ — кусочно-гладкая кривая Жордана, а ϕ(t) — заданная наΓ непрерывная функция. Как уже было показано, интеграл типа Коши1Φ(z) =2πiZϕ(t) dtt−z(2.80)Γявляется аналитической функцией переменного z на комплексной плоскости всюду вне Γ. Функция ϕ(t) называется п л о т н о с т ь ю интеграла1— я д р о м К о ш и.типа Коши, аt−zКогда z ∈ Γ, интеграл в правой части формулы (2.80) в обычномпонимании не существует, но при некоторых дополнительных предположениях относительно плотности ϕ ему можно придать определенныйсмысл.Будем предполагать, что Γ — замкнутая гладкая кривая Жордана,а точка z = t0 ∈ Γ.
Пусть число δ > 0 и меньше стандартного радиусаδ0 кривой Γ. Часть кривой Γ, лежащую вне круга C(δ, t0 ), обозначимчерез Γδ . ИнтегралZϕ(t) dt1Φδ (t0 ) =,(2.81)2πit−t0Γδочевидно, имеет смысл в обычном понимании. Если существуетlim Φ (t0 ) = Φ(t0 ),δ →0 δто он называется и н т е г р а л о м в с м ы с л е г л а в н о г о з н а ч е н и яп о К о ш и или сингулярным интегралом Коши, и его обозначают обычным символом интегралаZϕ(t) dt1Φ(t0 ) =.(2.82)2πit−t0ΓИногда символ интегралаR в смысле главногоR значенияR ∗ по Коши дополняют буквами v.p. (v.p. ) или звездочкой ( ∗ или).Для существования интеграла (2.82) в смысле главного значения поКоши при любом t0 ∈ Γ достаточно, чтобы ϕ(t) ∈ H на Γ.89Для доказательства этого утверждения перепишем интеграл (2.81) ввидеZZϕ(t) − ϕ(t0 )ϕ(t0 )dt1Φδ (t0 ) =dt +.(2.83)2πit−t02πit−t0ΓδΓδИз условия ϕ(t) ∈ H следует сходимость несобственного интегралаZϕ(t) − ϕ(t0 )t−t0Γdt = limδ →0ZΓδϕ(t) − ϕ(t0 )t−t0dt.(2.84)Обозначим через Cδ (см. Рис.
10) часть окружности | t − t0 | = δ,лежащую внутри Γ. Учитывая, что кривая Γ гладкая, а для t ∈ Cδ1имеем t − t0 = δeiϕ , αδ ≤ ϕ ≤ βδ , по теореме Коши для функцииt−t0получимZZβδZdtdt(2.85)== i dϕ = i(βδ − αδ ) → πi при δ → 0 .t−t0t−t0ΓδαδδПереходя в равенстве (2.83) к пределу при δ → 0 и учитывая (2.84),(2.85), будем иметьlim Φ (t0 ) = Φ(t0 ) =δ →0 δZZϕ(t) dtϕ(t) − ϕ(t0 )ϕ(t0 )11==dt +.(2.86)2πit−t02πit−t02ΓΓ2.12. Граничные значения интеграла типа Коши1. Формулы Сохоцкого – Племеля. Пусть Γ — замкнутая гладкая кривая Жордана, функция ϕ(t) ∈ H(µ) на Γ.
Обозначим через t0произвольную фиксированную точку на Γ и перепишем (2.80) следующим образом:ZZϕ(t0 )ϕ(t) − ϕ(t0 )dt1dt +, z∈/ Γ.Φ(z) =2πit−z2πit−zΓΓ90Из этого равенства в силу интегральной формулы Коши получим1Φ(z) =2πiZϕ(t) − ϕ(t0 )t−zdt + ϕ(t0 ), z ∈ D + ,(2.87)Γ1Φ(z) =2πiZϕ(t) − ϕ(t0 )t−zdt, z ∈ D − ,(2.88)Γгде D + и D − — соответственно внутренняя и внешняя по отношению кΓ области комплексной плоскости z.Покажем, что для функцииZϕ(t) − ϕ(t0 )Ψ(z) =dt(2.89)t−zΓсуществует lim Ψ(z) = Ψ(t0 ), равz →t0номерный относительно t0 на Γ,когда z → t0 изнутри или извнекривой Γ по некасательному пути, т. е.
так, что нетупой уголмежду отрезком [ z, t0 ] и касательной к Γ в точке t0 большеπнекоторого числа θ0 , 0 < θ0 < ,2одного и того же для всех t0 .В силу (2.89) имеемΓδiα't q δ q t0 +δe δZCδ γZr t0δq t0 +δeiβδ&ΓРис. 10Ψ(z) − Ψ(t0 ) = (z−t0 )ZΓϕ(t) − ϕ(t0 )(t−z)(t−t0 )dt.(2.90)Обозначим через γδ дугу, вырезаемую из Γ кругом C(δ, t0 ) радиусаδ, меньшего стандартного радиуса δ0 кривой Γ, соответствующего числу θ0 , и запишем выражение (2.90) в видеΨ(z) − Ψ(t0 ) = I1 + I2 ,91(2.91)гдеZϕ(t) − ϕ(t0 )I1 = (z−t0 )dt,(t−z)(t−t0 )γδI2 = (z−t0 )Zϕ(t) − ϕ(t0 )(t−z)(t−t0 )ΓδИз соотношений (0.16) и (0.17) следует, что на γδdt.имеем| dt | = | ds | ≤ k 0 | dr |,(2.92)θ0.
Далее, как было показано при дока2зательстве существования у гладкой кривой стандартного радиуса, соответствующего числу θ0 , когда t ∈ γδ , острый угол между отрезкомθ0(см. Рис. 11). Обо[ t0 , t ] и касательной к Γ в точке t0 меньше2значим через α и β−углы при вершинахDEt0 и t в треуголь θ0Eникес вершинами<D+Eв точках t0 , t и z.2ΓδzrEtSEУчитывая, что z →SE β → t0 указанным выSE θ0 ше образом, заклюSE αhhhθ0hhhh S E hhhчаем, что α > .SE2δt0ΓВоспользовавшисьrγтеоремой синусов,δв силу этого нераРис.
11венства получимгде r = | t − t0 |, (k 0 )−1 = cos| t−z | = | z−t0 |sin αθ0> | z−t0 | sin .sin β2(2.93)В силу (2.92), (2.93) и того, что ϕ(t) ∈ H(µ), имеемZ| ϕ(t) − ϕ(t0 ) |2A| dt | <| I1 | ≤ | z−t0 |θ0θ0| t−z |·| t−t0 |sin cosγδ224A=δ µ.µ sin θ092Zδ0r µ−1 dr =(2.94)δДля t ∈ Γδ имеем | t − t0 | ≥ δ.
В предположении, что | z − t0 | < ,2получим | t−z | > δ/2. Отсюда заключаем, что| I2 | ≤ | z−t0 |ZΓ| ϕ(t) | + | ϕ(t0 ) || t−z |·| t−t0 |δ| dt | <4M L| z−t0 |,δ2(2.95)где M = max | ϕ(t) |, а L — длина кривой Γ.t∈ΓНа основании (2.94) для произвольно заданного ε > 0 число δ можноεвзять настолько малым, чтобы | I1 | < . Далее, в силу (2.95) при данном2εδ точку z можно взять настолько близкой к t0 , чтобы | I2 | < . В2результате из (2.91) получаем, что | Ψ(z) − Ψ(t0 ) | < ε, как только | z−t0 |достаточно мало.Следовательно, существуют предельные значения выражений (2.87)и (2.88), которые на основании (2.86) могут быть записаны в видеlim Φ(z) =z → t0z ∈D+10) =2πiΦ+ (tZϕ(t) − ϕ(t0 )Zϕ(t) dtZϕ(t) − ϕ(t0 )Zϕ(t) dtΓ=12πit−t0Γlim Φ(z) =z →t0z ∈D−10) =2πiΦ− (t+t−t0Γ1=2πidt + ϕ(t0 ) =t−t0Γt−t0−ϕ(t0 )2(2.96),dt =ϕ(t0 )2(2.97).Равенства (2.97) и (2.98) называются ф о р м у л а м и С о х о ц к о г о –П л е м е л я.πКак видно из (2.95) и (2.96), для любых чисел θ0 , 0 < θ0 < , и ε > 02найдется такое число ρ = ρ (θ0 , ε), что для любых точек τ ∈ Γ и z из93Γмножества ∆τ , состоящегоиз точек круга | z − τ | < ρ,удовлетворяющих условиюθ0 < arg (z−τ )−α(τ ) < π−θ0 ,θ0z $'qJ∆t0r Jr∆τQ t0 τ@Q@Q ατ@QQ@ θQD−0@@где α(τ ) — направление касательной кривой Γ в точке τ , выполняется неравенствоε| Ψ(z)−Ψ(τ ) | < .2Если теперь точки τ ∈ Γи t0 ∈ Γ достаточно близки,то (см.
Рис. 12) ∆τ ∩∆t0 6= ∅,D+Рис. 12поэтому для z ∈ ∆τ ∩∆t0 получим| Ψ(τ ) − Ψ(t0 ) | ≤ | Ψ(τ ) − Ψ(z) | + | Ψ(z) − Ψ(t0 ) | <ε ε+ = ε,2 2что означает, что функция Ψ(t0 ) непрерывна на Γ, а следовательно,функции Φ+ (t0 ) и Φ− (t0 ) тоже непрерывны на Γ.Отсюда, в свою очередь, следует, что формулы (2.96) и (2.97) остаются в силе, когда z → t0 по любому пути, лежащему в D + и D −соответственно. Действительно, пусть z → t0 по любому пути, оставаясь, например, в D + .Заметим сначала, что если нормаль к незамкнутой гладкой кривой γв точке t1 ∈ γ пересекает γ в некоторой точке t2 6= t1 , то изменение угла_πнаклона касательной к кривой γ на дуге t1 t2 ⊂ γ больше .2Далее, в силу того, что на стандартной дуге γ , вырезаемой из Γδ0кругом C(δ0 , t0 ), острый угол между касательными в точках t0 и tθ0меньше , острый угол между касательными в любых двух точках дуги2πγδ меньше θ0 < .
Поэтому нормаль к кривой γδ , проходящая через200θ0любую точку z ∈ C(δ0 cos , t0 ), пересекает γδ только в одной точке t20π−θ0и составляет с хордой [ t, t0 ] нетупой угол β >. Из треугольника2с вершинами t0 , t и z с помощью теоремы синусов получим94| t−z | = | z−t0 || t−t0 | = | z−t0 |sin αθ0< | z−t0 | sec ,sin β2θ0sin (π−α−β)< | z−t0 | sec .sin β2Это означает, что вместе с | z − t0 | малыми будут также величины| z−t | и | t−t0 |. Следовательно, разностьΦ(z) − Φ+ (t0 ) = [ Φ(z) − Φ+ (t) ] + [ Φ+ (t) − Φ+ (t0 ) ]по модулю может быть сделана как угодно малой при достаточно малом| z−t0 |.Точно так же можно показать, что разность Φ(z) − Φ− (t0 ) по модулюможет быть сделана как угодно малой при достаточно малом | z − t0 |,когда z ∈ D − .Из формул Сохоцкого – Племеля (2.96) и (2.97), которые можно такжезаписать в видеZϕ(t0 )ϕ(t) dt1±Φ (t0 ) =±,2πit−t02Γнепосредственно следует справедливость равенствΦ+ (t0 ) − Φ− (t0 ) = ϕ(t0 ),Zϕ(t) dt1+−Φ (t0 ) + Φ (t0 ) =,πit−t0(2.98)(2.99)Γпервое из которых называют ф о р м у л о й с к а ч к а.2.Характер непрерывности граничных значений Φ± (t) интеграла типа Коши (2.80) выясняет следующее утверждение.Теорема Племеля – Привалова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
