1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Аналитическая в области D функция f (z) вокрестности каждой точки z0 ∈ D единственным образом представима в виде степенного ряда∞Xck (z−z0 )k ,(2.45)f (z) =k=0радиус сходимости которого не меньше, чем расстояние ρ от точки z0до границы области D.Доказательство. В круге C(δ, z0 ), 0 < δ < ρ, с границей γ в силуинтегральной формулы Коши имеемZ1f (z) =2πiγf (t) dt1=2πit−zZf (t) dtz−z0 .γ (t−z0 ) 1 − t−z0(2.46)Ввиду того, что для каждой фиксированной точки z ∈ C(δ, z0 ) и t ∈ γимеет место соотношение z−z | z−z |00= q(z) < 1 ,=t−z0δf (t)а функцияограничена на окружости γ, по признаку Вейерштрасt−z0са ряд∞ Xf (t)z−z0 k f (t)=z−z0 t−z0 t−z0(t−z0 ) 1 −k=0t−z0сходится равномерно на γ и, следовательно, равенство (2.46) можно переписать в виде1f (z) =2πi∞X1=2πik=0Z X∞ z−z0 k f (t) dtγZγk=0t−z0f (t) dt(t−z0)k+1t−z0k(z−z0 ) ==∞Xk=069ck (z−z0 )k ,где1ck =2πiZf (t) dt,(t−z0 )k+1γ(2.47)или, принимая во внимание формулу (2.40),ck =f (k) (z0 )k!, k = 0, 1, .
. . .(2.48)Так как коэффициенты ck в силу (2.47) и обобщенной теоремы Кошиf (z)для функцийодни и те же для любого δ, 0 < δ < ρ, то радиус(z−z0 )k+1сходимости ряда (2.45) не меньше ρ.Ряд (2.45), коэффициенты которого определяются для аналитической функции f (z) по формулам (2.47) или (2.48), называется р я д о мТ е й л о р а (разложением Тейлора) функции f (z).Из (2.48) следует, что разложение аналитической функции f (z) в рядТейлора единственно.2. Неравенства Коши и теорема Лиувилля.
Пусть аналитическая в круге C(R, z0 ) функция f (z) ограничена, т. е. существует такоечисло M > 0, что| f (z) | < M, z ∈ C(R, z0 ).(2.49)Тогда по теореме Тейлора функция f (z) в круге C(R, z0 ) представляется рядом (2.45) с коэффициентами ck , определенными по формулам(2.47), в которых в качестве γ взята окружность | t−z0 | = δ, 0 < δ < R.Из (2.47) в силу (2.49) следует, что| ck | ≤M2πδ2π δ k+1=Mδk,откуда в пределе при δ → R получаем н е р а в е н с т в а К о ш и :| ck | ≤MRk,k = 0, 1, . .
. .(2.50)Непосредственным следствием неравенств Коши является следующееутверждение.Теорема Лиувилля. Если функция f (z) аналитична на всей комплексной плоскости и | f (z) | < M < ∞, z ∈ C, то f (z) = const.70В самом деле, в силу условия разложение функции f (z) в ряд Тейлора по степеням z сходится на всей комплексной плоскости, в частности, влюбом круге C(R, 0).
Устремляя R к ∞ в неравенствах (2.50), получимck = 0, k =1, 2, . . ., и, стало быть, f (z) = 0 = const.3.Внутренняя теорема единственности аналитической функции. Под внутренней теоремой единственности аналитической функциипонимается следующее утверждение.Теорема.Если аналитические в области D функции f (z) и ϕ(z)равны между собой на множестве E ∈ D, имеющем по крайней мереодну предельную точку z0 ∈ D, то f (z) = ϕ(z) всюду в D.Доказательство. Действительно, в силу условия существует последовательность {zn } точек zn ∈ E, сходящаяся к точке z0 и такая, чтоf (zn ) = ϕ(zn ), n = 1, 2, .
. . .(2.51)По теореме Тейлора в круге C(δ, z0 ) ⊂ D функции f (z) и ϕ(z) разлагаются в степенные рядыf (z) =∞Xkck (z−z0 ) ,ϕ(z) =k=0∞Xc0 (z−z0 )k .k(2.52)k=0Начиная с некоторого номера N, все точки zn лежат в круге C(δ, z0 ).Переходя в равенствах (2.49), в которых функции f и ϕ замененырядами (2.50) при z = zn , n ≥ N, к пределу при n → ∞, получим c0 = c00 .Следовательно, для всех точек zn , n ≥ N, имеем также∞Xk =1ck (zn −z0 )k−1=∞Xk =1c0 (zn −z0 )k−1 ,kоткуда в пределе при n → ∞ получим c1 = c01 .
Продолжая этот процесс,приходим к заключению, что ck = c0 для всех номеров k и, стало быть,kf (z) = ϕ(z) всюду в круге C(δ, z0 ). В силу непрерывности функций f (z)и ϕ(z) они равны также на множестве C(δ, z0 )∩D.Пусть теперь z∗ — любая точка области D, лежащая вне кругаC(δ, z0 ). Соединим точку z0 с z∗ гладкой кривой σ, σ ⊂ D, и обозначимчерез z1 ее последнюю точку пересечения с окружностью | z −z0 | = δ.Повторяя приведенное выше рассуждение, докажем, что f (z) = ϕ(z) в71круге C(ρ, z1 ), где ρ равно расстоянию между σ и границей области_D. Обозначим теперь через z2 последнюю точку пересечения дуги z1 z ∗кривой σ с окружностью | z − z1 | = ρ и аналогично докажем, что f (z) == ϕ(z) в круге C(ρ, z2 ).
Продолжая действовать таким образом, придемк кругу C(ρ, zm ), zm ∈ σ, содержащему точку z∗ , в котором f (z) =ϕ(z), а следовательно, и f (z∗ ) = ϕ(z∗ ). В силу произвольности точки z∗отсюда заключаем, что f (z) = ϕ(z) всюду в области D.4.Нули аналитической функции.Точка z0 области задания функции f (z), для которой f (z0 ) = 0, называется н у л е м этой функции.Если функция f (z) аналитична в области D и не тождественно равна нулю, то в силу внутренней теоремы единственности для каждогонатурального числа n число ее нулей на замкнутом множестве Fn == {z ∈ D : ρ(z, ∂D) ≥ n1 } ∩ C(n, 0) конечно.
Следовательно, во всей области D аналитическая функция f (z), не тождественно равная нулю,может иметь не более чем счетное множество нулей.Аналитическая функция f (z) в окрестности своего нуля z0 разлагается в ряд Тейлора видаf (z) =∞Xck (z−z0 )k ,k=mm ≥ 1, cm 6= 0 .Число m называется п о р я д к о м или к р а т н о с т ь ю н у л я z0 . Изравенства (2.48) следует, что z0 является нулем аналитической функции f (z) порядка m тогда и только тогда, когда f (k) (z0 ) = 0, k = 0,1, .
. . , m −1, f (m) (z0 ) 6= 0. При m = 1 нуль называется п р о с т ы м .2.6. Принцип максимума модуля аналитическойфункцииПод принципом максимума модуля аналитической функции подразумевается следующее утверждение: модуль аналитической в области Dфункции f (z), отличной от постоянной, не принимает в этой области своего наибольшего значения M = sup | f (z) |.z ∈DДоказательство. Очевидно, что M 6= 0, ибо в противном случаефункция f (z) была бы тождественно равной нулю, т.
е. постоянной.72Далее, если M = ∞, справедливость этого утверждения очевидна,так как в каждой точке z ∈ D функция f (z) принимает конечное значение.Пусть теперь M — конечное положительное число. Предположимот противного, что в некоторой точке z0 ∈ D имеет место равенство| f (z0 ) | = M. Для окружности γ : | t−z0 | = δ, где 0 < δ < ρ (z0 , ∂D), всилу интегральной формулы Коши имеемZ1f (t) dtf (z0 ) =.2πit−z0γОтсюда, ввиду того, что для t ∈ γ имеем t = z0 + δeiϕ , dt = iδeiϕ dϕ,получим равенствоZ2π1f (z0 + δeiϕ ) dϕ,(2.53)f (z0 ) =2π0которое иногда называют т е о р е м о й о с р е д н е м для аналитическойфункции.
По предположению имеем1M = | f (z0 ) | ≤2πZ2π| f (z0 + δeiϕ ) | dϕ .(2.54)0Отсюда следует, что всюду на окружности | z −z0 | = δ имеет месторавенство | f (z) | = M. В самом деле, допустим, что для некоторого значения ϕ = ϕ0 имеет место неравенство | f (z0 +δeiϕ0 ) | < M.В силу непрерывности | f (z0 + δeiϕ ) | как функции ϕ можно указатьтакое число θ > 0, что | f (z0 + δeiϕ ) | < M при ϕ ∈ (ϕ0 − θ, ϕ0 + θ), наосновании чего из (2.54) получим противоречие:1M≤2πϕ0 + θZ1| f (z0 + δeiϕ ) | dϕ +2πϕ0 − θ<ϕ0 − θ+2πZ| f (z0 + δeiϕ ) | dϕ <ϕ0 + θ1[ M· 2θ + M· 2(π − θ) ] = M.2πИтак, | f (z) | = M при | z − z0 | = δ. Точно так же убеждаемся, что73| f (z) | = M на любой окружности | z −z0 | = r, 0 < r < δ, т.
е. | f (z) | = Mвсюду в замкнутом круге C(δ, z0 ).Таким образом, если функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y), то в замкнутом круге C(δ, z0 ) имеет место равенствоu2 + v 2 = M 2 ,дифференцируя которое в круге C(δ, z0 ) поочередно по x и по y, приходим к системе уравнений (uux + vvx = 0,uuy + vvy = 0.Исключая здесь с помощью условий Коши – Римана частные производные функции v(x, y), получим(uux − vuy = 0,vux + uuy = 0.Отсюда, поскольку определитель этой линейной однородной системыуравнений относительно ux и uy равен u2 + v 2 = M 2 6= 0, заключаем,что ux = uy = 0, а в силу условий Коши – Римана и vx = vy = 0 и,следовательно, в круге C(δ, z0 ) имеем: u(x, y) = C1 = const, v(x, y) == C2 = const.Таким образом, f (z) = C1 + iC2 = C = const в круге C(δ, z0 ), а повнутренней теореме единственности f (z) = C = const и во всей областиD, что противоречит условию.
Тем самым принцип максимума модуляаналитической функции доказан.Следствие 1. Модуль аналитической в области D инепрерывнойв замкнутой области D функции f (z), отличной от постоянной, достигает своего наибольшего значения на границе этой области.Ясно, что если f (z) = 0 в некоторой точке z ∈ D, то inf | f (z) |z ∈Dдостигается в области D. Если же отличная от постоянной аналитическая функция f (z) 6= 0 в области D и inf | f (z) | = m, то, примеz ∈Dняя принцип максимума модуля к аналитической в области D функции1, заключаем, что | f (z) | не принимает в области D и своего наиf (z)меньшего значения m.74Другими словами, для не обращающихся в нуль аналитических функций, отличных от постоянной, справедливо следующее утверждение: модуль аналитической, не обращающейся в нуль в области D функцииf (z), отличной от постоянной, не достигает в этой области своихнаибольшего и наименьшего значений.Следствие 2. Модуль аналитической, не обращающейся в нуль вобласти D и непрерывной в замкнутой области D функции f (z),отличной от постоянной, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на границе области D.2.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
