1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНациональный исследовательский университетНовосибирский государственный университетМеханико-математический факультетУТВЕРЖДАЮ2012 г.Курс лекцийКурс теории функций комплексного переменногоНаправление подготовкиМеханика и математическое моделированиеКвалификация (степень) выпускникаБакалаврФорма обученияОчнаяНовосибирск 2012АннотацияНастоящая разработка представляет собой материал курса лекций дисциплины "Теория функций комплексного переменного читаемых студентам 2–3 курсов механико-математического факультета Новосибирского государственного университета по специальности "механика и математическое моделирование" и призвана способствовать решению задачи развития образовательного процессав рамках Мероприятий по реализации Программы развития НИУНГУ (ПНР-1, III, п.Б.3.9).Материал разработки находится в полном соотвтствии с содержанием лекций, читаемых по инновационной программе третьегопоколения ФГОС ВПО и отличается от имеющихся учебных пособий по теории функций комплексного переменного как по усовершенствованной методике изложения, так и по содержанию, ибов них не всегда имеется необходимый материал или имеется не втом виде, в котором он читается.
Например, материал разделово свойствах интеграла типа Коши в замкнутых областях, краевыхзадачах теории функций и сингулярных интегральных уравненияхможно найти в основном в монографиях.Изложение материала учитывает уровень подготовки студентов в начале четвертого семестра, когда начинается чтение курсаТеории функций крмплексного переменного.Методы теории функций комплексного переменного широко применяются во многих областях, например, в теории дифференциальных упавнений, теории чисел, теории врочтностей, а также примоделировании и анализе результатов фундаментальных физических экспериментов в области аэродинимики, гидродинамики, электродинамики и др.3ОГЛАВЛЕНИЕ0.1.0.2.0.3.0.4.0.5.0.6.Предисловие .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .Множества на расширенной комплексной плоскости. . . . . . . .Предел. Ряды комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Кривая Жордана. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .566912151722Глава I. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Дифференцирование функции комплексного переменного.Аналитичность . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Аналитичность суммы степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Конформное отображение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Обращение некоторых элементарных функций. Понятияримановой поверхности и точки ветвления .
. . . . . . . . . . . . . . .1.5. Дробно-линейное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3943Глава 2. ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Комплексное интегрирование . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Интеграл типа Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Теорема Морера. Понятие неопределенного интеграла . . . .2.5. Ряд Тейлора . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Принцип максимума модуля аналитической функции . . . . .2.7. Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций. .2.8. Принцип компактности . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9. Интегральные формулы Шварца и Пуассона . . . . . . . . . . . . . .2.10. Функции класса Гельдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.11. Интеграл в смысле главного значения по Коши . . . . . . . . .
.2.12. Граничные значения интеграла типа Коши. . . . . . . . . . . . . . .50505364666871747780828889Глава 3. РЯД ЛОРАНА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ. . . . . .3.1. Ряд Лорана. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Понятия целой и меромофной функций . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .3.3. Элементы теории вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Принцип аргумента аналитической функции . . . . . . . . . . . . . .3.4. Интегральная формула Коши для внешней области . . . . . .103103111113120124430303334Глава 4.
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГООТОБРАЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Теорема Римана о конформном отображенииодносвязных областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .5.3. Соответствие границ при конформном отображении . . . . . .135143Глава 5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . .6.1. Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Задача Дирихле . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3. Задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4. Задачи сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5. Задача Римана – Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.6. Сингулярные интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148148152159163172174СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .1815127127ПРЕДИСЛОВИЕВ настоящий курс лекций внесены изменения в ряд доказательств,некоторые доказательства иллюстрируются рисунками.П. А. Билута25 сентябряя 2012 г.г. Новосибирск6В В Е Д Е Н И Е0.1. Комплексные числаНапомним некоторые известные понятия и факты из теории комплексных чисел.Комплексное число α определим как упорядоченную пару (a, b)действительных чисел a, b. Первая компонента a этой пары называется д е й с т в и т е л ь н о й ч а с т ь ю, а вторая компонента b — м н и м о йч а с т ь ю комплексного числа α, и для них приняты обозначения: a == <eα, b = =mα.
Потребуем, чтобы (a, 0) = a. Число вида (0, b) называется м н и м ы м. Числа (0, 0) = 0, (1, 0) = 1 и (0, 1) = i называются н у л е м,е д и н и ц е й и м н и м о й е д и н и ц е й соответственно.Два комплексных числа равны, если соответственно равны их действительные и мнимые части. Введя надлежащим образом операции сложения и умножения, получим обычное представление комплексного числа:α = (a, b) = a + ib.Обозначим через E2 евклидову плоскость с декартовыми ортогональными координатами x, y. Так как комплексное число z = x + iy является парой (x, y) действительных чисел, а множество всевозможных таких пар находится во в з а и м н о о д н о з н а ч н о м с о о т в е т с т в и ис точками E2 , то к а ж д у ю т о ч к у E2 c координатами x, y можнопринять за и з о б р а ж е н и е к о м п л е к с н о г о ч и с л а z = x + iy.В таком истолковании E2 естественно называть к о м п л е к с н о йп л о с к о с т ь ю, которую будем обозначать через C, а z — т о ч к о йкомплексной плоскости C.
Множество C ∗ = C \{0} называется п р о к о л о т о й (в нуле) к о м п л е к с н о й п л о с к о с т ь ю.Так как оси x, y описываются уравнениями =mz = 0, <ez = 0 соответственно, то их называют д е й с т в и т е л ь н о й и м н и м о й о с я м и.Число x−iy называется к о м п л е к с н о с о п р я ж е н н ы м с числомz = x+iy и√обозначается через z̄.Число zz̄, z ∈ C, называется м о д у л е м, а угол ϕ между радиусвектором точки z ∈ C ∗ и положительным направлением оси x — а√ргу м е н т о м комплексного числа z, и для них приняты обозначения: zz̄ == | z |, ϕ = arg z.Отметим, что р а з н ы е комплексные числа можно с р а в н и в а т ьт о л ь к о п о м о д у л ю.7Положение точки z на комплексной плоскости однозначно определяется как декартовыми координатами x, y, так и полярными r = | z |,ϕ = arg z. Обратно, по заданной точке z ее декартовы координаты и модуль определяются единственным образом, а аргумент — с точностью дослагаемого 2kπ, k ∈ Z.
Так, например, аргументом комплексного числаz служит как положительный угол ϕ (см. Рис. 1), так и отрицательныйугол ψ = ϕ−2π.6r*ψ ϕ = arg zxz = (x, y) = x+iyzq1yJ]zqJJJz1 −z2JJ-JJJrz2Рис. 1Значение arg z, удовлетворяющее условию −π < arg z ≤ π, называетсяг л а в н ы м.Заметим, что аналогично тому, как комплексное число z можно изображать на комплексной плоскости радиус-вектором точки z, комплексное число вида z1 −z2 часто удобно изображать вектором с началом вточке z2 и концом в точке z1 , причем | z1 −z2 | геометрически представляет собой расстояние между этими точками.Для двух комплексных чисел z1 и z2 имеют место неравенства треугольника| z + z | ≤ | z | + | z |, | z − z | ≥ | z | − | z | .12121212Поскольку z1 + z2 = z1 − (−z2 ), z1 − z2 = z1 + (−z2 ), а |−z2 | = | z2 |, тоотсюда получим следующее двойное неравенство| z | − | z | ≤ | z ± z | ≤ | z | + | z |.121212При этом легко увидеть, что верхняя граница для модуля суммы и нижняя для модуля разности достигаются, когда радиус-векторы точек z1 иz2 одинаково направлены, а нижняя граница для модуля суммы и верхняя для модуля разности, — когда они противоположно направлены.8В евклидовом пространстве E3 с декартовыми ортогональными координатами ξ, η, ζ рассмотрим сферу S радиуса 21 с центром в точке0, 0, 21 :ξ 2 + η 2 + ζ 2 − ζ = 0.(0.1)6ζrP (0, 0,1)LLLLL rM(ξ, η, ζ)LLLLLLLL 0LLLLL= ξ(x)LLr-η (y)z = x+iyРис.
2Из коллинеарности точек P (0, 0, 1),Плоскость ζ = 0 совместим скомплексной плоскостью C,действительная ось x которой совпадает с осью ξ, амнимая ось y — с осью η.Соединим точку z = x+iyкомплексной плоскости Cc точкой P (0, 0,1) отрезкомпрямой. Он пересечет сферуS в отличной от P точкеM(ξ, η, ζ), которая называется с т е р е о г р а ф и ч е с к о йп р о е к ц и е й точки z на сферу S с полюсом P (см. Рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
