1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2).Стереографическая проекция устанавливает в з аи м н о о д н о з н а ч н о е с оо т в е т с т в и е между точками сферы S с выколотымполюсом P и точками комплексной плоскости C.M(ξ, η, ζ) и z следует, чтоξηζ −1= =xy−1илиx=ξ,1−ζy=η,1−ζz=ξ +iη.1−ζВ силу последнего из равенств (0.2) с учетом (0.1) имеем| z |2 =ζξ 2 +η 2=,2(1−ζ)1−ζ9(0.2)откуда| z |2ζ=.1+| z |2(0.3)Подставив значение ζ из (0.3) в (0.2), получимξ=x,1+| z |2η=y.1+| z |2(0.4)Равенства (0.3) и (0.4) называются ф о р м у л а м и с т е р е о г р а ф и ч е с к о й п р о е к ц и и.Отметим без доказательства два свойства стереографической проекции:1) она сопоставляет окружности (и прямой) на комплексной плоскости C окружность на сфере S и обратно;2) она сохраняет углы.Введем теперь в рассмотрение "и д е а л ь н о е" комплексное числоz = ∞ и "пополним"комплексную плоскость присоединением к нейе д и н с т в е н н о й б е с к о н е ч н о у д а л е н н о й т о ч к и, соответствующей числу z = ∞.

Комплексная плоскость вместе с бесконечно удаленной точкой называется р а с ш и р е н н о й к о м п л е к с н о й п л о с к о с т ь ю и обозначается через C .Дополняя соответствие, установленное стереографической проекцией, сопоставлением бесконечно удаленной точки полюсу P сферы S,получим взаимно однозначное соответствие между расширенной комплексной плоскостью C и сферой S.Эта интерпретация комплексных чисел была предложена Риманом,поэтому S называют с ф е р о й Р и м а н а.0.2.

Множества на расширеннойкомплексной плоскостиБудем называть:– о к р е с т н о с т ь ю (δ - о к р е с т н о с т ь ю) точки z0 ∈ C множествоточек z ∈ C, удовлетворяющих неравенству | z−z0 | < δ, δ > 0, и обозначатьее через C(δ, z0 );10– п р о к о л о т о й о к р е с т н о с т ь ю точки z0 множество C ∗ (δ, z0 ) == C(δ, z0 ) \ {z0 };– о к р е с т н о с т ь ю б е с к о н е ч н о у д а л е н н о й т о ч к и множествоточек z ∈ C , удовлетворяющих неравенству | z | > δ;– точку z и з о л и р о в а н н о й точкой множества E ⊂ C , если существует такое число δ > 0, что пересечение E ∩ C(δ, z) состоит изединственной точки z : E ∩ C(δ, z) = {z};– точку z п р е д е л ь н о й точкой множества E, если в любой окрестности точки z имеется бесконечное множество точек этого множества;– точку z в н у т р е н н е й точкой множества E, если существуеттакое число δ > 0, что C(δ, z) ⊂ E;– точку z в н е ш н е й точкой множества E, если существует такоечисло δ > 0, что E ∩ C(δ, z) = ∅;– точку z г р а н и ч н о й точкой множества E, если в любой ееокрестности имеются как точки множества E, так и точки, не принадлежащие этому множеству.

Заметим, что если граничная точка множестваE не принадлежит E, то она является его предельной точкой;– совокупность всех граничных точек множества E г р а н и ц е й этого множества и обозначать через ∂E;– множество E о г р а н и ч е н н ы м, если все его точки лежат в некотором круге | z | < R, 0 < R < ∞;– множество E з а м к н у т ы м, если оно содержит все свои предельные точки.

В частности, оно может не иметь предельных точек;– з а м ы к а н и е м множества E множество E = E ∪ ∂E;– д и а м е т р о м множества E число d (E) = sup | z−ζ |;z , ζ∈E– р а с с т о я н и е м м е ж д у м н о ж е с т в а м и E и G число ρ (E, G) == inf | z−ζ |;z ∈E, ζ∈G– множество о т к р ы т ы м, если каждая точка этого множества является его внутренней точкой;– множество с в я з н ы м, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств, каждое из которыхне содержит предельных точек другого;– о б л а с т ь ю открытое связное множество;– з а м к н у т о й о б л а с т ь ю множество, состоящее из области и ееграницы;11– к о м п о н е н т о й множества E любое его м а к с и м а л ь н о е с в я з н о е п о д м н о ж е с т в о, т.

е. такое его связное подмножество K, что несуществует другого связного подмножества K1 , содержащего K;– область, отличную от C , n - с в я з н о й, если ее граница состоит изn компонент.Расширенная комплексная плоскость называется односвязной областью. Заметим, что расширенная комплексная плоскость является одновременно открытым и замкнутым множеством.Легко видеть, что граница любого множества является замкнутыммножеством.

В самом деле, пусть z0 есть предельная точка граничныхточек некоторого множества E. Поскольку в любой окрестности точкиz0 имеется бесконечное множество граничных точек множества E, влюбой окрестности каждой из которых имеются как точки из E, так иточки, не принадлежащие E, то в любой окрестности точки z0 тожеимеются как точки из E, так и точки, не принадлежащие E, т. е. z0тоже является граничной точкой множества E.Приведем без доказательства несколько утверждений.Принцип Больцано – Вейерштрасса. Любое бесконечное множество точек расширенной комплексной плоскости C имеет по крайней мере одну предельную точку.Лемма Гейне – Бореля. Из бесконечного открытого покрытиязамкнутого множества точек расширенной комплексной плоскости Cможно выделить конечное открытое покрытие.Лемма о вложенных прямоугольниках. Пусть дана последовательность {rn } замкнутых прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, каждый из которых содержит следующий, т.

е.rn ⊃ rn + 1 , n ∈ N, и пусть длина d (rn) диагонали прямоугольника rnстремится к нулю при n → ∞. Тогда существует единственная точка,принадлежащая всем прямоугольникам.Заметим, что утверждение останется в силе, если рассмотреть последовательность {∆n } вложенных замкнутых треугольников, длинаd (∆n ) наибольшей из сторон которых стремится к нулю при n → ∞.120.3. Предел.

Ряды комплексных чиселПоследовательность {zn } комплексных чисел zn = xn + iyn , n ∈ N,будем называть с х о д я щ е й с я к пределу α = a + ib, если для любогоε > 0 существует такое натуральное число N = N(ε), что | zn − α | < εпри n > N, и писать: lim zn = α. Отсюда, в частности, следует, чтоn→∞соотношения lim zn = 0 и lim | zn | = 0 эквивалентны.n→∞n→∞Так как при n > N выполняются неравенства | xn −a | ≤ | zn −α | < ε,| yn − b | ≤ | zn −α | < ε, то lim xn = a и lim yn = b, т.

е. из сходимоn→∞n→∞сти последовательности {zn } следует сходимость последовательностей{xn } и {yn }. Обратно, если lim xn = a, lim yn = b, то для любого ε > 0n→∞n→∞εнайдется такое натуральное число N = N(ε), что | xn − a | <и2ε| yn − b | <при n > N, а тогда | zn − α | ≤ | xn − a | + | yn − b | < ε,2т. е. lim zn = α.n→∞Таким образом, соотношение lim (xn + iyn ) = a + ib э к в и в а n→∞л е н т н о двум соотношениям: lim xn = a и lim yn = b.n→∞n→∞Это замечание позволяет перенести всю теорию пределов последовательностей действительных чисел на последовательности комплексных чисел, например, к р и т е р и й К о ш и: для сходимости последовательности {zn } необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0существовало такое натуральное число N = N(ε), что неравенство| zn + m −zn | < ε выполняется для любого натурального числа m и длялюбого n > N.Геометрически сходимость последовательности {zn } к точке α означает, что для любого ε > 0 все точки этой последовательности, начинаяс некоторого номера, принадлежат ε - окрестности точки α.Последовательность {zn } называется с х о д я щ е й с я к б е с к о н е ч н о с т и ( lim zn = ∞), если для любого R > 0 существует такое натуn→∞ральное число N = N(R), что | zn | > R при n > N.

Следовательно,соотношения lim zn = ∞ и lim | zn | = ∞ эквивалентны. Если zn 6= 0,n→∞n→∞1то эквивалентны также соотношения lim zn = ∞ и lim z = 0.n→∞n→∞ n13Говорят, что ряд∞Xk =1(0.5)αk , αk ∈ C,с х о д и т с я (р а с х о д и т с я), если сходится (расходится) последовательnPность {Sn } его частичных сумм Sn =αk .Пределk =1lim Sn = S, если он существует, называетсяn→∞суммойр я д а (0.5).Из равенства Sn − Sn −1 = αn получаем н е о б х о д и м о е у с л о в и ес х о д и м о с т и р я д а: lim αn = 0.n→∞mPДалее, так как Sn + m − Sn =αn + k , то критерий Коши сходимостиk =1последовательности {Sn } для ряда (0.5) перефразируется следующимобразом: для сходимости ряда (0.5) необходимо и достаточно, чтобыmPдля любого ε > 0 существовало такое число N = N(ε), что |αn + k | < εk =1для любого натурального числа m и любого n > N.Ряд (0.5) называется а б с о л ю т н о с х о д я щ и м с я, если сходится∞Pряд| αk |.k =1В силу неравенства |mPk =1αn + k | ≤mPk =1| αn + k | и критерия Коши изабсолютной сходимости ряда (0.5) следует его сходимость.

Если ряд сходится, но не абсолютно, то он называется у с л о в н о с х о д я щ и м с я.Пусть αk = ak + ibk . Из неравенств | ak | ≤ | αk |, | bk | ≤ | αk | и | αk | ≤≤ | ak |+| bk | вытекает, что абсолютная сходимость ряда (0.5) эквивалент∞∞PPна абсолютной сходимости рядовak иbk . Следовательно, на рядыk =1k =1комплексных чисел переносится теорема о том, что можно произвольнопереставлять члены абсолютно сходящегося ряда, не меняя его суммы.Аналогично случаю рядов с действительными членами можно доказать, что если ряды∞∞XX0βk = S 00αk = S иk =1k =114сходятся абсолютно, то абсолютно сходится и ряд∞X(α1 βk + α2 βk −1 + .

. . + αk β1 )k =1с общим членом в форме Коши, который называется п р о и з в е д е н и е мэтих рядов, причем его сумма S = S 0 S 00 .Положим по определениюeα = 1 + α +∞Xα2αk+ ... =2!k!(0! = 1) ,(0.6)k=0cos α = 1 −sin α = α −α22!α33!++α44!α55!−... =−...

=∞X(−1)kk=0∞X(−1)kk=0α2k,(2k)!(0.7)α2k+1.(2k+1)!(0.8)Эти ряды абсолютно сходятся (например, по признаку Даламбера)для любого комплексного числа α ∈ C. Для действительных значенийα = a суммы рядов (0.6) – (0.8) совпадают с известными величинамиea , cos a, sin a соответственно.Меняя в (0.6) число α на iα и учитывая, что i2k = (−1)k , получимформулу Эйлера :iαe=∞X∞Xα2kα2k + 1(−1)+i(−1)k= cos α + i sin α .(2k)!(2k+1)!k=0k(0.9)k=0Из записи комплексного числа α в тригонометрической форме α == | α | (cos arg α + i sin arg α) и формулы (0.9) следует, что комплексноечисло α можно записать также в п о к а з а т е л ь н о й ф о р м е α == | α | ei arg α .Нетрудно проверить справедливость равенстваeα et = eα + t ,в силу которогоeα = ea + ib = ea eib = ea (cos b + i sin b),15(0.10)т. е.| eα | = ea 6= 0, | α | < ∞;arg eα = b + 2kπ, k = 0, ±1, . . .(0.11)Как обычно, л о г а р и ф м о м к о м п л е к с н о г о ч и с л а β, β 6= 0,будем называть такое комплексное число α, для которогои будем писатьβ = eα ,log β = α.(0.12)Отсюда в силу (0.11) следует, что a = log | β |, b = arg β + 2kπ, поэтому из(0.12) получимlog β = log | β | + i arg β + 2kπi, k = 0, ±1, .

. .(0.13)0.4. Функции комплексного переменногоПусть E — множество точек расширенной комплексной плоскости.Если каждому z ∈ E по некоторому закону f поставлено в соответствиекомплексное число w, то говорят, что на множестве E определена (однозначная) функция комплексного переменного z, и пишут w = f (z).Полагая z = x + iy, w = u + iv, получимw = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ,т. е. задание комплекснозначной функции комплексного переменного zравносильно заданию двух действительнозначных функций u и v двухдействительных переменных x и y .Откладывая значения z и w на двух различных комплексных плоскостях, получим, что функция w = f (z) осуществляет о т о б р а ж е н и емножества E плоскости z на некоторое множество E1 ,плоскости w.Тогда w ∈ E1 называется о б р а з о м точки z ∈ E, а точка z — п р о о б р а з о мточки w.Функция f (z) называется о д н о л и с т н о й на множестве E, еслидля всех z1 , z2 из E, z1 6= z2 , имеем f (z1 ) 6= f (z2 ).

Характеристики

Список файлов лекций