1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Она осуществляетвзаимно однозначное отображение, поэтому тогда можно говорить обо б р а т н о й функции z = f −1 (w).Пусть w = f (z) — функция, определенная на множестве E плоскостиz, и пусть z0 — предельная точка множества E. Если для фиксированного числа w0 и любого ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что16| f (z)−w0 | < ε для всех z ∈ E ∩ C ∗ (δ, z0 ), то говорят, что w0 являетсяп р е д е л о м ф у н к ц и и f (z) в т о ч к е z0 и пишут: lim f (z) = w0 .z →z0Из определения предела функции в точке следует, что w0 6= ∞.В частности, если предельная точка z0 множества E принадлежит E иw0 = f (z0 ), то функция f (z) называется н е п р е р ы в н о й в т о ч к е z0 .Предположим, что каждая точка множества E является его предельной точкой.

Функция f (z) называется н е п р е р ы в н о й н а м н о ж е с т в е E, если она непрерывна в каждой точке этого множества.Функция f (z) называется р а в н о м е р н о н е п р е р ы в н о й на множестве E комплексной плоскости, если для любого ε > 0 найдется такоечисло δ = δ(ε) > 0, что для любых двух точек z 0 , z 00 из E, удовлетворяющихусловию | z 0 −z 00 | < δ, выполняется неравенство | f (z 0 )−f (z 00 ) | < ε.Непрерывность функции f (z) = u + iv эквивалентна непрерывностиее действительной и мнимой частей u и v, поэтому все свойства действительных непрерывных функций двух действительных переменныхпереносятся на функции комплексного переменного.

В частности, еслифункция f (z) непрерывна в области D и f (z0 ) 6= 0, z0 ∈ D, то существует такое число δ > 0, что f (z) 6= 0 для всех z ∈ C(δ, z0 ).Кроме того, если функция f (z) н е п р е р ы в н а на з а м к н у т о мм н о ж е с т в е F , то она:1) ограничена на этом множестве, т. е.

для всех z ∈ F имеем:| f (z) | ≤ M = const < ∞;2) достигает своих наибольшего и наименьшего по модулю значений,т. е. существуют такие точки z1 , z2 из F , что| f (z1 ) | = sup | f (z) |,z ∈F| f (z2 ) | = inf | f (z) |;z ∈F3) равномерно непрерывна на F (теорема Кантора).170.5. Кривая ЖорданаПусть x(t), y(t) — действительные непрерывные функции переменного t, изменяющегося на отрезке α ≤ t ≤ β. Уравненияx = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β,(0.14)дают параметрическое представление н е п р е р ы в н о й к р и в о й.Непрерывная кривая называется к р и в о й Ж о р д а н а, если двумразличным значениям параметра t (за исключением, быть может, значений t = α и t = β) соответствуют две различные точки кривой.Уравнения (0.14) в комплексной записи имеют видz = z(t) = x(t) + iy(t),α ≤ t ≤ β.Кривая Жордана называется з а м к н у т о й, если z(α) = z(β).Жорданом (C.

Jordan) было доказано, что замкнутая кривая Жордана делит расширенную комплексную плоскость на две области: внутреннюю (не содержащую точки z = ∞) и внешнюю (содержащую точкуz = ∞), являясь их общей границей.П о л о ж и т е л ь н ы м н а п р а в л е н и е м на замкнутой кривой Жордана будем считать направление, оставляющее ограниченную ею внутреннюю область слева, а на незамкнутой (разомкнутой) — направление,соответствующее возрастанию параметра t.Кривая Жордана называется г л а д к о й, если функции x(t), y(t)имеют в интервале (α, β) непрерывные производные, причем z 0 (t) == x0 (t) + iy 0 (t) 6= 0, и существуют отличные от нуля пределы lim z 0 (t)t→α+0и lim z 0 (t), равные между собой в случае замкнутой кривой.t→β −0Заметим, что если кривая, заданная уравнениями (0.14), имеет в точке z = z(t) касательную, образующую c действительной осью угол ϕ, тоtg ϕ =иϕ = arctgdyy 0 (t)= 0dxx (t)y 0 (t)= arg z 0 (t).x0 (t)18(0.15)Следовательно, условие z 0 (t) 6= 0 и непрерывность z 0 (t) для гладкой кривой Жордана, заданной уравнением z = z(t), означают соответственносуществование касательной и непрерывность угла наклона этой касательной, равного arg z 0 (t).Кривая Жордана называется к у с о ч н о - г л а д к о й, если ее можноразбить на конечное число гладких кривых или, в случае замкнутой кривой, у нее имеется одна угловая точка (например, если длязамкнутой кривой выполняются все условия гладкости, кроме последнего, т.

е. если lim z 0 (t) 6= lim z 0 (t)).t→α+0t→β −0Так как гладкая кривая Жордана Γ является спрямляемой, в качестве параметра t в ее представлении z = z(t) можно принять длину sдуги Γ, отсчитываемую в положительном направлении, причем из формулы ds = | z 0 (t) | dt следует, что в этом случае dz = 1.ds(0.16)Пусть L — длина гладкой замкнутой кривой Жордана Γ, а z1 иz2 — произвольные точки на Γ. Часть Γ между z1 и z2 , длина ко_Lторой σ(z1 , z2 ) ≤ , обозначим через z1 z 2 , а длину хорды [ z1 , z2 ],2_стягивающей дугу z1 z 2 , — через r(z1 , z2 ).В силу гладкости кривой Γ угол наклона ее касательной является равномерно непрерывной функцией s, поэтому для любого числаπLθ0 , 0 < θ0 < , существует такое положительное число σ0 < , что ост22рый угол α между касательными в любых двух точках z1 и z2 криθ0вой Γ, удовлетворяющих условию σ(z1 , z2 ) < σ0 , меньше.

Отсюда2_на основании теоремы Лагранжа (о существовании точки τ ∈z1 z 2 , вкоторой касательная параллельна хорде [z1 , z2 ]) заключаем, что еслиσ(z1 , z2 ) < σ0 , то острый угол между хордой [ z1 , z2 ] и касательной вθ0.каждой из точек z1 , z2 меньше2Рассмотрим теперь множество γ всех точек z кривой Γ : z = z(s) == x(s) + iy(s), 0 ≤ s ≤ L, удовлетворяющих условию σ(z0 , z) < σ0 , гдеz0 = z(s0 ) — произвольная фиксированная точка на Γ. Без ограниченияобщности можно считать, что z0 не является начальной точкой отсчетадлины s дуги Γ и σ0 < s0 < L−σ0 Точка z0 делит дугу γ на две части,19на одной из которых s < s0 , а на другой s > s0 .Посколькуqr = r(z0 , z(s)) = [ x(s)−x(s0 ) ] 2 + [ y(s)−y(s0 ) ] 2 ,то1dr= {[ x(s)−x(s0 ) ] x0 (s) + [ y(s)−y(s0 ) ] y 0(s)} =dsr11 dz = (~r, ~s) = r , ~s) = cos(~rc, ~s) , cos(~rcrrdsгде ~r — вектор с координатами x(s)−x(s0 ),@ θCI C@y(s)−y(s0 ), а ~s — век~s @Crz = z(s), s > s0 тор с координатамиCOx0 (s), y 0 (s), который~r CCв силу (0.15) и (0.16)Crz=z(s)00~rявляется единичным*вектором касатель ~rsной к Γ в точке z = z(s), z = z(s), s < sΓ0направленным в стоθрону возрастания паРис.

3раметра s, и, следоваCтельно,dr(z0 , z(s))=ds(cos(π−θ) = − cos θ,cos θ,s < s0 ,s > s0 ,(0.17)где θ — острый угол между хордой [ z0 , z ] и касательной к γ в точке z(см. Рис. 3). Из (0.17) следует, что функция r(z0 , z(s)) строго монотонноубывает при s < s0 и строго монотонно возрастает при s > s0 .Поскольку z = z(s) ∈ γ, то0≤θ<20θ0.2(0.18)Интегрируя равенство (0.17) в пределах от s0 до s0 + σ0 на γ, потеореме о среднем получимs0 +σ0Zr(z0 , z(s0 +σ0 )) = cos θ(s)ds = σ0 cos θ,∗ где θ∗ = θ(s∗ ), а s∗ ∈ (s0 , s0 +σ0 ),s0и аналогичноs 0 − σ0Zr(z0 , z(s0−σ0 )) = − cos θ(s)ds = σ0 cos θ∗, где θ∗ = θ(s∗ ), а s∗ ∈(s0−σ0 , s0 ),s0откуда в силу (0.18) следует неравенствоr(z0 , z(s0 ± σ0 )) > σ0 cosθ0.2(0.19)Lи любого ζ ∈ Γ множество Γζ (σ0 )Для любого числа σ0 ∈ 0,2всех точек z ∈ Γ, для которых σ(z, ζ) ≥ σ0 , замкнуто, поэтому в силунепрерывности функции r(z, ζ) и того, что кривая Γ не имеет точексамопересечения, ζ ∩ Γζ (σ0 ) = ∅ иµ(σ0 ) = minζ∈Γmin r(z, ζ) > 0.z ∈Γ ζ (σ0 )Положим(0.20)θ0 δ0 = min µ(σ0 ), σ0 cos.(0.21)2Число δ0 будем называть с т а н д а р т н ы м р а д и у с о м кривой Γ,соответствующим числу θ0 , а дугу, вырезаемую из Γ кругом стандартного радиуса, — с т а н д а р т н о й д у г о й .Все точки z ∈ Γ, удовлетворяющие условию σ(z0 , z) ≥ σ0 , в силу(0.19) – (0.21) лежат вне круга | z−z0 | ≤ δ < δ0 ≤ µ(σ0 ).

В силу (0.17) привозрастании s от s0 до s0 + σ0 функция r(z0 , z(s)) строго возрастаетθ0от нуля до r(z0 , z(s0 +σ0 )) > σ0 cos ≥ δ0 > δ и поэтому ровно один раз2принимает значение δ при s ∈ (s0 , s0 + σ0 ), а значит, точка z(s) ровноодин раз пересечет окружность | z −z0 | = δ. Точно так же убеждаемся,что при убывании s от s0 до s0 − σ0 точка z(s) тоже ровно один разпересечет эту окружность.Из выбора числа σ0 и приведенных выше рассуждений ясно, что еслиz0 — произвольная фиксированная, а z — переменная точка дуги γ ⊂ Γ21длины 2σ0 , то острый угол θ между хордой [ z0 , z ] и касательной к γв точке z удовлетворяет соотношению0 ≤ θ ≤ θ0 .(0.22)Из имеющeй место и в этом случае формулы (0.17) следует неравенство| ds | ≤ k 0 | dr |,(0.23)где r = r(z0 , z(s)), z ∈ γ, а k 0 =1не зависит от положения точки z0cos θ0на γ.В частности, соотношения (0.22), (0.23) будут справедливыми, еслив качестве γ взять стандартную дугу кривой Γ, поскольку из (0.19) –(0.21) следует, что ее длина меньше 2σ0 .По этой же причине для любых двух точек z1 , z2 открытой стандарт_ной дуги γ и любой точки τ ∈ z1 z ⊂ γ угол между хордами [ τ, z1 ] и2[ τ, z2 ] больше π−θ0 , а если | z1 − z2 | < δ0 , то угол между указаннымиθ0хордами больше π − .2Таким образом, доказано следующее важное свойство замкнутых гладких кривых Жордана.πДля замкнутой гладкой кривой Γ и любого числа θ0 ∈ (0, ) сущест2вует такое число δ0 > 0, что:1) окружность с центром в любой точке z0 ∈ Γ радиуса δ < δ0 пересекает кривую Γ ровно два раза;2) изменение угла наклона касательной на стандартной дуге γ ⊂ Γне превышает θ0 ;3) если z0 — произвольная фиксированная, а z — переменная точкастандартной дуги γ ⊂ Γ, то имеют место соотношения (0.22) и (0.23).Для любой пары точек z1 = z(s1 ), z2 = z(s2 ), лежащих на одной изчастей дуги γ, на которые ее делит точка z0 (она может быть и однимиз концов дуги γ ), интегрируя (0.17) в пределах от s1 до s2 , в силутеоремы о среднем и (0.22) получим| s1 − s2 | cos θ0 ≤ | r1 − r2 | ≤ | s1 − s2 |,(0.24)где rk = r(z0 , z(sk )), k = 1, 2.

Характеристики

Список файлов лекций