1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В частности, положив z1 = z0 , для любыхдвух точек z1 , z2 кривой γ будем иметьr(z1 , z2 ) = | z1 − z2 | ≥ | s1 − s2 | cos θ0 .22(0.25)Если же точки z1 , z2 замкнутой гладкой кривой Γ удовлетворяютусловию σ(z1 , z2 ) ! ≥ 2σ0 , то в силу (0.20) имеемr(z1 , z2 )| z − z2 |µ(2σ0 )= 1≥.(0.26)σ(z1 , z2 )| s1 − s2 |Lµ(2σ0 ) Полагая теперь k0 = min cos θ0 ,, для любых точек z1 , z2Lзамкнутой гладкой кривой Γ в силу (0.25) и (0.26) получим двойноенеравенствоk0 | s1 − s2 | ≤ | z1 − z2 | ≤ | s1 − s2 | .(0.27)В заключение заметим, что, очевидно, и в случае разомкнутой гладπкой кривой Жордана Γ для любого числа θ0 , 0 < θ0 < , существует2такое число δ0 > 0, что окружность с центром в любой точке z0 ∈ Γрадиуса δ < δ0 либо два раза, либо один раз пересекает Γ, а изменениеугла наклона касательной на стандартной дуге не превышает θ0 .0.6.
Функциональные рядыБудем говорить, что функциональный ряд∞Xfk (z) ,(0.28)k =1членами которого являются заданные на некотором множестве E комплекснойплоскости z функции fk (z), с х о д и т с я н а м н о ж е с т в е E, если онсходится в каждой точке z ∈ E. Пусть сумма этого ряда равна S(z), аnPSn (z) =fk (z). Говорят, что ряд (0.28) с х о д и т с я р а в н о м е р н оk =1н а м н о ж е с т в е E, если для любого ε > 0 существует такое числоN = N(ε) > 0, что | S(z)−Sn (z) | < ε для всех n > N и z ∈ E.Признак равномерной сходимости (Вейерштрасса). Если длявсех z ∈ E каждый член fk (z) ряда (0.28), начиная с некоторого номера n0 , удовлетворяет неравеству| fk (z) | ≤ αk ,и числовой ряд∞Pk = n0 , n0 + 1, ...,(0.29)αk сходится, то ряд (0.44) сходится равномерноk = n0(и абсолютно) на множестве E.23Доказательство.
Действительно, в силу сходимости рядадля любого ε > 0 существует такое число N = N(ε) > 0, чтоmPk =1∞Pαkk = n0αn + k < εдля любого натурального числа m и любого n > N. Далее, в силу (0.45)имеемmmm XXX| fn + k (z) | ≤αn + k < ε ,fn + k (z) ≤k =1k =1k =1откуда на основании критерия Коши убеждаемся в равномерной и абсолютной сходимости ряда (0.28) на множестве E.Отметим следующее важное свойство суммы равномерно сходящегосяфункционального ряда.Теорема. Сумма S(z) равномерно сходящегося на множестве Eряда (0.28) непрерывных на этом множестве функций fk (z) непрерывнана множестве E.Доказательство.
В самом деле, пусть z0 — произвольная фиксированная точка множества E. Тогда для z ∈ E имеем|S(z) − S(z0 )| ≤ |S(z) − SN (z)| + |SN (z) − SN (z0 )| + |SN (z0 ) − S(z0 )|.По заданному ε > 0 в силу равномерной сходимости ряда (0.28) найдется такое натуральное число N = N(ε), что первое и третье слагаемыеεправой части этого неравенства будут меньше , а затем, при фикси3рованном N, в силу непрерывности SN (z) как суммы конечного числанепрерывных функций fk (z) найдется такое число δ = δ(ε, z0 ) > 0, чтоεпри | z−z0 | < δ и второе слагаемое будeт меньше . В итоге получим, что3| S(z) − S(z0 ) | < ε, как только | z −z0 | < δ, что означает непрерывностьS(z) в точке z0 , а значит, в силу произвольности точки z0 ∈ E, и намножестве E.При изучении степенных рядов, не ограничивая общности, можноограничиться рассмотрением рядов вида∞Xck z k ,(0.30)k=0где ck — заданные комплексные числа, так как общий случай степенно∞Pго рядаck (z−z0 )k приводится к ряду вида (0.30) простой заменойk=0переменного.24qkТеорема Коши – Адамара.
Пусть l = lim| ck |. Тогда при l = 0k →∞ряд (0.30) абсолютно сходится на всей комплексной плоскости, приl = ∞ он сходится только в точке z = 0, а в случае, когда 0 < l < ∞,ряд (0.30) абсолютно сходится в круге | z | < 1l и расходится при| z | > 1l .Доказательство. Сначала заметим, что для z = 0 утверждение теоремы верно при любых коэффициентах ck , а следовательно, при любомl. Рассмотрим теперь отдельно каждый из указанных трех случаев дляz 6= 0.10 . l = 0.
Это означает, чтоqqkk| ck | = lim| ck | = 0l = limk→∞k→∞и, следовательно, для любого конечного z имеемqqkkk| ck z | = | z | lim| ck | = 0.limk→∞k→∞В силу признака Коши сходимости рядов с положительными членами∞Pряд| ck z k | сходится при любом конечном z, т. е. ряд (0.30) абсоk=0лютно сходится на всей комплексной плоскости.20 . l = ∞. Если бы ряд (0.30) сходился при некотором z =6 0, тов силу необходимого условия его сходимостиqможно было бы указатьk| ck | < M , k = 1, 2, .
. .,такое число M > 1, что | ck z k | < M или|z |что невозможно, ибо условие l = ∞ означает, что последовательностьnqok| ck | не ограничена.30 . 0 < l < ∞. Пусть 0 < | z | < 1l . По определению верхнего пределаqk| ck | < l+εдля любого ε > 0 найдется такое натуральное число N, что1−l|z |, получимпри k > N.
Положив ε =2| z |q1+l| z |1−l| z |k=| ck | < l +2|z|2|z|или|z|qk| ck | <1+l| z |225= q < 1.Получающиеся отсюда неравенства | ck z k | < q k , k > N, дают абсолютную сходимость ряда (0.30) при | z | < 1l .Пусть теперь | z | > 1l . По определению верхнего предела для любого ε > 0 существует бесконечное множество индексов kn , n = 1, 2, .
. .,qkl|z |−1для которых n | ck | > l − ε. Положив теперь ε =, будем|z|nqkиметь | z | n | ck | > 1 и, следовательно, | ck z kn | > 1. Отсюда заключаnnем,что при | z | > 1l не выполняется необходимое условие сходимости ряда(0.30), т. е. он расходится.Первая теорема Абеля.
Если ряд (0.30) сходится в точке z0 6= 0,то он абсолютно сходится в круге | z | < | z0 |.Доказательство. В самом деле, из условия теоремы и теоремы Коши – Адамара следует, что | z0 | ≤ 1l , и по теореме Коши – Адамара ряд(0.30) абсолютно сходится при | z | < | z0 | ≤ 1l .Круг | z | < 1l , внутри которого степенной ряд (0.30) абсолютно сходится, а вне его замыкания — расходится, называется к р у г о м с х о д и м о с т и, а число1R=(0.31)qklim | ck |k→∞— р а д и у с о м с х о д и м о с т и этого ряда. Равенство (0.31) называетсяф о р м у л о й К о ш и – А д а м а р а.Степенной ряд, вообще говоря, не сходится равномерно в своем кругесходимости | z | < R, что показывает пример рядаS(z) =∞Xzk =k=011−zс единичным кругом сходимости.
Поскольку для этого рядаSn (z) =zk =k=0то при любом n имеемz n +1S(z) − Sn (z) =1−znXи1−z n +1,1−z| z |n +1= ∞.sup | S(z) − Sn (z) | = sup| z |<1 |1−z || z |<126Однако степенной ряд (0.30) равномерно сходится в любом замкнутом круге | z | ≤ r < R, так как мажорируется в нем сходящимся чис∞Pловым рядом| ck |r k . Отсюда следует, что сумма степенного рядаk=0непрерывна в его круге сходимости.В случае, когда 0 < R < ∞, на окружности | z | = R — границе кругасходимости — степенной ряд (0.30) может:а) расходиться во всех ее точках;б) в одних ее точках сходиться, а в других — расходиться;в) сходиться (и даже абсолютно и равномерно) на всей границе кругасходимости, — что соответственно показывают следующие примеры:∞Xk=0zk ,∞Xzk,kk =1∞Xzk.k2k =1Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд (0.30) с радиусом сходимости R, 0 < R < ∞, сходится в точке z0 окружности | z | = R,то его сумма S(z) → S(z0 ), когда z → z0 по некасательному пути,т.
е. так, что нетупой угол между отрезком [ z, z0 ] и касательнойк окружности | z | = R в точке z0 больше некоторого числа θ0 , 0 <π< θ0 < .2Доказательство. Без ограничения общности можно считать, чтоR = 1, z0 = 1 и S(1) = 0. В самом деле, замена z = z0 ζ переводит ряд∞X(0.30) в рядck z0 k ζ k ,k=0причем круг | z | = | z0 | · | ζ | < R переходит в круг | ζ | < 1, а точка z = z0— в точку ζ = 1.
Кроме того, если S(1) 6= 0, то рассматривая ряд∞X∗S (z) = c0 − S(1) +ck z k ,k =1будем иметь S ∗ (1) = 0.Итак, нам следует показать, что S(z) → 0 при z → 1, причем| z | < 1,π3π+ θ0 < arg(z−1) <− θ0 .22(0.32)Рассмотрим вспомогательный ряд∞X1=zk ,1−zk=027(0.33)радиус сходимости которого равен единице. В силу абсолютной сходимости рядов (0.30) и (0.33) при | z | < 1 имеет смысл произведение∞∞∞XXX1kkS(z)=ck z ·z =Sn z n ,1−zk=0(0.34)n=0k=0где Sn представляет собой частичную сумму ряда (0.30) при z = 1 :nPSn =ck . Очевидно, радиус сходимости ряда (0.34) не меньше едиk=0ницы.
Но он не может быть и больше нее, так как в противном случаерадиус сходимости ряда∞Xkck z = S(z) = (1−z)∞XSn z n(0.35)n=0k=0тоже был бы больше единицы, что противоречит предположению.Перепишем второе из равенств (0.35) в видеS(z) = (1−z)NXnSn z + (1−z)n=0∞XSn z n .(0.36)n =N +1В силу того, что S(1) = 0, для любого ε > 0 натуральное число N можновыбрать настолько большим, чтобы| Sn | <εθ0sin22при n > N,вследствие чего из (0.36) получим| S(z) | ≤ | 1−z |NPn=0| Sn | · | z |n + | 1−z |∞Pn =N +1| Sn | · | z | n <N +1εθ0 | 1−z | · | z |<< | 1−z || Sn | + sin221−| z |n=0NP< | 1−z | M +где M =NPn=0εθ0 | 1−z |,sin22 1−| z || Sn |.28(0.37)Возьмем теперь z, удовлетворяющее условиям (0.32) и| arg z | < θ0 .(0.38)Последнее условие по существу не является ограничением, посколькуπдля любого θ0 ∈ (0, ) оно выполняется для z, достаточно близких к2единице, например, для z из круга | z−1 | < sin θ0 .Когда z = x, x ∈ (0, 1), то | 1−z | = 1−| z |, поэтому при z, настолькоблизких к единице, чтобыε|1−z| <,(0.39)2Mиз (0.37) в силу (0.39) получаем| S(z) | < ε.6BBЕсли же z ∈/ (0, 1), то рассмотS θ0 Bрим треугольник с вершинами вS 2 BzSBточкахzn, 1, z и углами при|z |zSBzS BCвершинах | z | , 1, равными α, βSα BC |z|Pсоответственно (см.
Рис. 4).βS BCz PPPSBC PЗаметим, что в силу (0.32) иZ θ10Z(0.38) угол при вершине в точкеZz =1, т.е. угол между сторонамиθ0ZZz, 1 ] содержит один[ z, 1 ] и [ZZ|z |π+θ0из углов< | arg(z−1) | <2θ0π< + θ0 раствора, поэтомуРис. 422θ0, и следовательно, по теореме синусов получимβ >2| 1−z |sin α11<<=.(0.40)sin βsin β1−| z |θ0sin2Выбрав еще z, удовлетворяющее условию (0.39), из (0.37) в силу (0.40)получаем | S(z) | < ε, что завершает доказательство теоремы.29Поскольку согласно (0.6) – (0.8) имеемez =∞∞∞XXXzkz 2kz 2k +1, cos z =(−1)k, sin z =(−1)k, (0.41)k!(2k)!(2k+1)!k=0k=0k=0а стоящие здесь степенные ряды равномерно сходятся в любом круге| z | < R < ∞, то определенные этими рядами функции непрерывны навсей комплексной плоскости z.Из (0.10) при α = z, t = 2kπi получимez +2kπi = ez e2kπi = ez (cos 2kπ + i sin 2kπ) = ez ,т.е. функция ez является п е р и о д и ч е с к о й с основным периодом 2πi.Из формулы Эйлера (0.9) при α = ± z легко получаются формулыcos z =1 iz(e + e−iz ) ,2sin z =1 iz(e − e−iz ) .2i(0.42)Можно убедиться в справедливости для функций cos z, sin z всехформул тригонометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
