1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

В дальнейшем отображение (1.20), удовлетворяющее условию (1.21), будем называть н е в ы р о ж д е н н ы м дробнолинейным отображением.1. Приведение невырожденного дробно-линейного отображения к более простым. Очевидно, что невырожденное линейное отображениеw = az + b, a 6= 0,(1.23)можно представить в виде суперпозиции трех простейших отображений:ζ = | a | z,44(1.24)ω = ei arg a ζ,(1.25)w = ω + b.(1.26)Здесь (1.24) — о т о б р а ж е н и е п о д о б и я с центром в точке z = 0и коэффициентом подобия | a |, (1.25) — в р а щ е н и е вокруг точкиz = 0 с углом поворота arg a, а (1.26) — п а р а л л е л ь н ы й п е р е н о св направлении радиус-вектора точки b на расстояние | b |.Заметим, что отображение (1.23) при a = 1 является параллельнымпереносом, а при a 6= 1 сводится к повороту на угол arg a вокруг непоbдвижной точки z0 = 1− a и подобию: w−z0 = a(z−z0 ).Функция (1.23) осуществляет конформное отображение комплекснойплоскости z на комплексную плоскость w.

Что касается отображения,осуществляемого этой функцией в окрестности бесконечно удаленнойточки, то оно будет конформным, если конформность в окрестности точки z = ∞ понимать в смысле метрики на сфере Римана, т. е. если поддлиной дуги, выходящей из точки z = ∞, понимать длину ее образана сфере Римана, а под углом между двумя кривыми, выходящими източки z = ∞, — угол между их образами на этой сфере.Очевидно, что функция1w=(1.27)zконформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w.

Покажем, что функция (1.27) переводит окружность в окружность (прямые тоже будем считать окружностями). В самом деле, если дана окружностьA(x2 + y 2 ) + bx + b1 y + C = 0,то ее уравнение в комплексной записи имеет видAzz + Bz + Bz + C = 0,где B =b + ib1. В результате отображения (1.27) мы получим2A + B w + Bw + Cww = 0,т. е. уравнение окружности.45Невырожденное дробно-линейное отображение (1.20) либо являетсялинейным отображением (при c = 0), либо может быть представлено ввиде суперпозиции следующих трех отображений:ζ=c2cdz+,bc − adbc − adω=1,ζw=ω+a,cчто следует из тождестваbc − adaaz + b=+ .cz + dc(cz + d) cОтсюда заключаем, что невырожденное дробно-линейное отображение (1.20) окружность (прямая тоже считается окружностью) переводит в окружность, поскольку этим (круговым) свойством обладаютотображения (1.24) – (1.27).2.

Симметрия относительно прямой и окружности. Точки z и∗z называются с и м м е т р и ч н ы м и относительно окружности с центром в точке z0 радиуса R, если они лежат на одном луче, выходящемиз точки z0 , и произведение их расстояний до этой точки равно R2 .Очевидно, что функции w = z (сопряжение) и w =R2(инверсия) осуzществляют отображение симметрии относительно действительной оси=mz = 0 и относительно окружности | z | = R соответственно.

Отсюдазаключаем, что отображение симметрии относительно прямойимеет видz = z0 +teiθ , −∞ < t < ∞,w = z0 + e2iθ (z − z 0 ),(1.28)а относительно окружности | z−z0 | = R —w = z0 +R2z − z0.(1.29)Из формулы (1.28) следует, что вращение w = eiα z, α ∈ R, можнопредставить в виде суперпозиции двух отображений симметрии ζ = z иiαw = eiα ζ относительно прямых =mz = 0 и ζ = te 2 , −∞ < t < ∞, а параллельный перенос w = z+b — в виде суперпозиции отображений сим-46bπ+ e2iθ ζ − b , где θ = + arg b, относительно222ортогональных радиус-вектору точки b прямых, проходящих соответbственно через точки z = 0 и ζ = .2Очевидно также, что отображение подобия w = kz, k > 0, есть результат суперпозиции двух отображений симметрии ζ = 1 и w = kζz√1относительно окружностей | z | = 1 и | ζ | = k, а отображение w = z —суперпозиции отображений симметрии ζ = 1 и w = ζ относительно едиzничной окружности и действительной оси.Отсюда, поскольку, как показано выше, невырожденное дробно-линейное отображение можно представить в виде суперпозиции отображений (1.24) – (1.27), каждое из которых в свою очередь представимов виде суперпозиции двух отображений симметрии, получаем следующее утверждение: любое невырожденное дробно-линейное отображениеможно представить в виде суперпозиции четного числа отображенийсимметрии.Заметим, что еслиαw + βAz+Baz + bω==,w=cz + dγw + δCz+Dметрии ζ = e2iθ z и w =то, как легко проверить, AD − BC = (ad − bc)(αδ − βγ), откуда заключаем, что суперпозиция невырожденных дробно-линейных отображенийтоже является невырожденным дробно-линейным отображением.

Из (1.28)и (1.29) следует, что суперпозиция двух отображений симметрии является невырожденным дробно-линейным отображением, следовательно, исуперпозиция любого четного числа отображений симметрии является невырожденным дробно-линейным отображением.3. Основные свойства невырожденного дробно-линейногоотображения. Невырожденное дробно-линейное отображение (1.20) содержит три комплексных параметра, представляющих собой отношениетрех из коэффициентов a, b, c, d к четвертому (отличному от нуля). Этипараметры однозначно определяются, например, из требования, чтобытри заданные точки z1 , z2 , z3 плоскости z перешли соответственно втри заданные точки w1 , w2 , w3 плоскости w.47В самом деле, как видно из (1.22), для разностей w − w1 , w − w2 ,w3 −w1 и w3 −w2 , гдеw=az + b,cz + dwk =azk + b, k = 1, 2, 3,czk + dв силу (1.22) получим соотношениеw−w1w−w2:w3 −w1w3 −w2=z−z1z−z2:z3 −z1z3 −z2,(1.30)выражающее инвариантность выражения, стоящего в правой части(1.30) и называемого а н г а р м о н и ч е с к и м о т н о ш е н и е м ч е т ы р е хт о ч е к z1 , z2 , z, z3 при невырожденном дробно-линейном отображении.При этом, если одна из точек zk или wk является бесконечно удаленнойточкой, то разности, содержащие эти точки, в равенстве (1.30) отсутствуют, в чем легко убедиться предельным переходом при zk → ∞ (wk →∞).

Разрешая (1.30) относительно w, получим искомое дробно-линейноеотображение. Оно переводит точки z1 , z2 , z3 и проходящую через нихокружность Cz соответственно в точки w1 , w2 , w3 и проходящую через них окружность Cw , причем из однолистности этого отображенияследует, что когда точка z пробегает окружность Cz в определенномнаправлении, соответствующая ей точка w пробегает окружность Cwтоже в определенном направлении.Тройки точек z1 , z2 , z3 и w1 , w2 , w3 определяют направления обхода на окружностях Cz и Cw , причем области, остающиеся при этихобходах слева (справа), при отображении (1.30) соответствуют друг другу.

Это следует из конформности этого отображения: углы между касательной, направленной в сторону обхода, и внутренней нормалью всоответствующих точках окружностей Cz и Cw равны.Заметим, что в случае действительных a, b, c, d действительная ось=m z = 0 переходит в действительную ось =mw = 0, а поскольку длядробно-линейной функции (1.20), как видно из (1.22), имеемw 0 (z) =ad− bc,(cz+ d)2то на оси =m z = 0 знак производной w 0 (x) совпадает со знаком величины ad−bc. Поэтому верхняя полуплоскость =m z > 0 переходит вверхнюю полуплоскость =m w > 0, если ad−bc > 0, и в нижнюю полуплоскость =m w < 0, если ad−bc < 0.48С помощью теоремы о секущей и касательной к окружности, проведенных через данную точку, убеждаемся, что симметричные относительно окружности (прямой) Cz точки z и z ∗ являются центрами пучка ортогональных к Cz окружностей.

Следовательно, симметричные относительно окружности (прямой) точки переходят при дробно-линейныхотображениях (в силу их кругового свойства и конформности) в точки,симметричные относительно образа этой окружности (прямой).Точки w = 0 и w = ∞ симметричны относительно любой окружности|w| = R, R > 0, в частности, относительно единичной окружности |w| = 1,bи так как при отображении (1.20) они соответствуют точкам z = − adи z = − c , то при требовании, чтобы действительная ось =m z = 0 переbdходила в окружность | w | = 1, мы должны иметь: а)− a = z0 , − c = z 0 —dbиз-за симметричности точек − a и − c относительно прямой =m z = 0aи б) c = eiα , α ∈ R, — в силу имеющих место при =m z = 0 равенствa z−z a 0 |w| = · = = 1.cz − z0cСледовательно, функцияw = eiαz − z0z − z0(1.31)при =m z0 > 0 конформно отображает верхнюю полуплоскость =m z > 0на единичный круг | w | < 1. Если же =m z0 < 0, то эта функция отображает нижнюю полуплоскость =m z < 0 на круг | w | < 1.Рассуждая аналогично и требуя, чтобы при отображении (1.20) единичная окружность | z | = 1 перешла в единичную окружность | w | = 1,в силу симметричности прообразов точек w = 0 и w = ∞ относительноbdединичной окружности | z | = 1 получим: − a = z0 , − c = 1 , а в силуz0того, что при | z | = 1 имеют место равенства a z−z az z−z az z−z az 0 0 0 0 0 0 |w| = ···= = 1,==11cczczz0 − zcz−z0 −z0z49azбудем иметь: − c 0 = eiα , α ∈ R.

Тогда функцияw = eiαz − z01 − z0 z(1.32)при | z0 | < 1 конформно отображает круг | z | < 1 на круг | w | < 1 или,как еще говорят, единичный круг на себя, а при | z0 | > 1 — область | z | > 1расширенной комплексной плоскости C на круг | w | < 1.Легко видеть, что для функции (1.32) имеемw 0 (z) = eiαоткудаw 0 (z0 ) = eiαтак что11 − | z0 |21 − | z0 |2(1 − z 0 z)2,w 0 (0) = eiα (1 − | z0 |2 ),,arg w 0 (z0 ) = arg w 0 (0) = α.(1.33)(1.34)Дробно-линейная функция, конформно отобржающая верхнюю полуплоскость на себя, как и функции (1.31), (1.32), тоже содержит тридействительных параметра, которые определяются единственным образом, например, из требования, чтобы три заданные граничные точкиz1 , z2 , z3 плоскости z перешли соответственно в три заданные граничные точки w1 , w2 , w3 плоскости w с сохранением направления обхода.50Глава 2ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ2.1.

Характеристики

Список файлов лекций