1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитическихфункцийБудем говорить, что некоторое свойство имеет место в н у т р ио б л а с т и, если оно имеет место н а л ю б о м з а м к н у т о м м н о ж е с т в е э т о й о б л а с т и.Из математического анализа известно, что сумма f (x) равномерно∞Pсходящегося в интервале (a, b) ⊂ R рядаfk (x) дифференцируемыхk =1функций может оказаться не дифференцируемой, а при наличии произ∞Pводной f 0 (x) совсем не обязательно, чтобы f 0 (x) =f 0 (x). В отличиеk =1kот этого в комплексном анализе имеет место следующее утверждение.Первая теорема Вейерштрасса.
Если ряд∞X(2.55)fk (z)k =1аналитических в области D функций fk (z) равномерно сходится внутри области D, то сумма f (z) этого ряда аналитична в D, причемf (p) (z) =∞Xk =1f (p) (z)k(2.56)для любого натурального p и ряд (2.56) равномерно сходится внутриобласти D.Доказательство. Как было доказано выше, функция f (z), как сумма равномерно сходящегося внутри области D ряда непрерывных функций fk (z), непрерывна внутри D, а значит, и в области D. Пусть z0— произвольная точка области D, а γ — окружность | t−z0 | = δ такая,что C(δ, z0 ) ⊂ D.
Заметим сначала, что равномерно сходящийся на γ75ряд (2.55) можно почленно интегрировать. Из равномерной сходимостиряда (2.55) на γ следует также равномерная сходимость на γ рядовf (t)(t−z)p +1=∞Xk =1fk (t)(t−z)p +1,p = 0, 1, . . . ,а значит, и возможность их почленного интегрирования для каждогофиксированного z ∈ C(δ, z0 ) (поскольку для t ∈ γ имеем | t − z | ≥ δ −−| z−z0 | > 0), так чтоZZ∞Xf (t) dtfk (t) dtp!p!=.2πi(t−z)p +1 k =1 2πi(t−z)p +1γγОтсюда при p = 0 в силу интегральной формулы Коши (2.34) дляфункций fk (z) получим равенство12πiZγf (t) dtt−z=∞Xfk (z) = f (z),k =1z ∈ C(δ, z0 ),означающее, что функция f (z) представима в круге C(δ, z0 ) интеграломтипа Коши, а следовательно, аналитична в этом круге.При p = 1, 2, . .
. в силу (2.40) получаем равенство (2.56) для всехz ∈ C(δ, z0 ), а значит, и в точке z0 . В силу произвольности точки z0функция f (z) аналитична и равенство (2.56) имеет место всюду в области D.Пусть теперь K — произвольное замкнутое множество области D.Покажем, что ряд (2.56) сходится равномерно на K, т. е. для любогонатурального числа p и ε > 0 найдется такое число N = N(K, p, ε), чтодля любого натурального числа m имеемmX(p)fn+k (z) < ε при n > Nk =176и z ∈ K.(2.57)Возьмем число d, 0 < 2d < ρ (K, ∂D), и из открытого покрытия множества K кругами C(d, z), z ∈ K, выберем конечное покрытие C(d, zj ),j = 1, 2, . . . , l.
Обозначим через γj окружности | t − zj | = 2d. В силуlравномерной сходимости ряда (2.55) на замкнутом множестве G = ∪ γjj=1области D для любого натурального числа p и ε > 0 найдем такое числоN = N(p, ε), что для любого натурального числа m имеемmXdpfn+k (t) < ε2p!при n > Nk =1и t ∈ G.Отсюда и из равенстваmX(z)fn(p)+kk =1p!=2πiZ hXmγjk =1fn+k (t)idt(t−z)p +1для произвольной точки z ∈ K, лежащей в некотором круге C(d, zj ),получим неравенство (2.57), что завершает доказательство первой теоремы Вейерштрасса.Примечание. Первую теорему Вейерштрасса можно сформулировать и для последовательностей аналитических функций: если последовательность аналитических в области D функций fn (z), n = 1, 2, . . .,равномерно сходится внутри D к f (z), то функция f (z) аналитичнав области D, причем последовательность производных fn(p) (z) равномерносходится внутри D к производной f (p) (z), p = 1, 2, . .
..Непосредственным следствием принципа максимума модуля аналитической функции является следующее утверждение.Вторая теорема Вейерштрасса. Если ряд (2.55) аналитическихв области D и непрерывных в D функций fk (z) равномерно сходитсяна границе Γ области D, то он равномерно сходится в замкнутойобласти D.Доказательство. В самом деле, по условию для любого ε > 0 найдетсятакое число N = N(ε), что для любого натурального числа m имеемmXfn+k (t) < ε при n > N и t ∈ Γ.k =177Так как функцияmPk =1fn+k (z) аналитична в D и непрерывна в D,то в силу принципа максимума модуля и его следствия 1 получимmXfn+k (z) < ε при n > Nk =1и z ∈D,что является необходимым и достаточным условием (критерием Коши)равномерной сходимости ряда (2.55) в замкнутой области D.2.8.
Принцип компактностиОпределение 1. Семейство M = {f (z)} функций f (z) называетсяр а в н о м е р н о о г р а н и ч е н н ы м на множестве E, если существуетположительное число M такое, что | f (z) | < M для всех z ∈ E и всехf (z) ∈ M.Определение 2. Семейство M = {f (z)} функций f (z) называетсяр а в н о с т е п е н н о н е п р е р ы в н ы м на множестве E, если для любогоε > 0 найдется такое число δ > 0, что для любых точек z1 и z2 из E,удовлетворяющих условию | z1 −z2 | < δ, неравенство | f (z1 )−f (z2 ) | < εвыполняется для всех функций f (z) ∈ M.Под принципом компактности понимается следующее утверждение.Принцип компактности. Для того чтобы из любой последовательности бесконечного семейства M аналитических в области D ⊂⊂ C функций можно было выбрать подпоследовательность, равномерносходящуюся внутри D к аналитической функции, необходимо и достаточно, чтобы семейство M было равномерно ограниченным внутри D.Необходимость.
Предположим, от противного, что семейство M неравномерно ограничено внутри области D. Это значит, что существуетзамкнутое множество K ⊂ D, на котором оно не равномерно ограничено,т. е. для любого числа M > 0 существует функция f (z) ∈ M такая,что max | f (z) | ≥ M. Следовательно, для последовательности функцийz ∈Kfn (z) ∈ M, n = 1, 2, . . ., таких, что max | fn (z) | ≥ n, имеемz ∈Kmax | fn (z) | −→ ∞,n→∞z ∈K78а поскольку max | fn (z) | достигается на K в некоторой точке zn ,z ∈Kто fn (zn ) → ∞ при n → ∞.
Но по условию из последовательности{fn (z)} можно выделить подпоследовательность функций fn (z), k = 1,k2, . . ., равномерно сходящуюся внутри D к некоторой аналитической вобласти D функции f (z). В частности, существует натуральное числоN такое, что | fn (z)−f (z) | < 1 при k > N, z ∈ K, а следовательно,k| fn (z) | < | f (z) | + 1 ≤ 1 + max | f (z) | = M < ∞,kz ∈Kk > N, z ∈ K.Но это противоречит тому, что fn (zn ) → ∞ при n → ∞.Достаточность.
Доказательство достаточности проведем в три этапа.10 . Докажем сначала, что семейство M равностепенно непрерывновнутри области D. Пусть K — произвольное замкнутое множество области D, 0 < 2d < ρ (K, ∂D) и K1 = {z ∈ D : ρ (z, K) ≤ 2d}. Ясно,что K1 — замкнутое множество, и по условию существует такое числоM > 0, что | f (z) | < M для всех z ∈ K1 и f (z) ∈ M. Пусть z1 и z2— произвольные точки множества K, для которых | z1 − z2 | < d. Поинтегральной формуле Коши для любой функции f (z) ∈ M в замкнутомкруге C(2d, z1 ) ⊂ K1 с границей γ имеем1f (zk ) =2πiZγf (t) dtt−zk,k = 1, 2,(2.58)и поскольку z2 ∈ C(d, z1 ), а для t ∈ γ имеем | t−z1 | = 2d, то | t−z2 | > d,в силу чего из (2.58) получим: z −z Z | z −z | 4πdMf (t) dtM12= | z1 −z2 |.| f (z1 )−f (z2 ) | = 1 2·<2πi2πd(t−z1 )(t−z2 )2d2γdПоложив δ = min (d , M ε), для любых точек z1 , z2 из K, удовлетво-ряющих условию | z1 −z2 | < δ, и для любой функции f (z) ∈ M отсюдаполучим требуемое неравенство | f (z1 )−f (z2 ) | < ε.20 .
Докажем теперь, что из любой последовательности {fn (z)} семейства M можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся во всехточках z области D с рациональными координатами.В самом деле, все такие точки представляют собой счетное множество, поэтому их можно расположить в последовательность r1 , r2 , . . ..79Из ограниченной последовательности чисел fn (r1 ), n = 1, 2, . . ., выделим сходящуюся подпоследовательность {fn,1 (r1 )}. Это означает, чтосоответствующая ей последовательность функций fn,1 (z), n = 1, 2, .
. .,сходится в точке z = r1 . Из ограниченной последовательности чиселfn, 1 (r2 ) выделим сходящуюся подпоследовательность {fn, 2 (r2 )}. Тогдасоответствующая ей последовательность функций {fn, 2 (z)} сходится нетолько в точке z = r2 , но и в точке z = r1 (как подпоследовательностьсходящейся в точке z = r1 последовательности {fn, 1 (z)}). Неограниченно продолжая этот процесс, получим счетное множество последовательностей {fn, k (z)}, k = 1, 2, . . ., причем каждая последовательность{fn, k (z)} сходится в точках z = r1 , r2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
