1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если плотность интеграла типа Коши ϕ(t) ∈ H(µ) на замкнутой гладкой кривой Жордана Γ, то егограничные значения Φ± (t) ∈ H(µ) при µ < 1 и Φ± (t) ∈ H(1−ε) при µ = 1на Γ, где ε — произвольно малое положительное число.Доказательство. В силу (2.96), (2.97) и свойства 70 функций классаГельдера достаточно показать, что функция95Ψ(t0 ) =Zϕ(t) − ϕ(t0 )t−t0Γудовлетворяет условию(2.100)dt| Ψ(t1 ) − Ψ(t0 ) | ≤ C| t1 −t0 | ν ,где ν = µ при µ < 1 и ν = 1−ε при µ = 1, для любых точек t0 , t1 на Γ.tq = t(s)r t00 = t(sqt0 +2σ)1 = t(s0 +σ) = t0 +hΓγσr t0 = t(sr t0 = t(sq0)0 −2σ)t(L) = t(0)Рис.
13Пусть s, s0 , s1 — дуговые абсциссы, соответствующие точкам t, t0 , t1 .Положим t1 − t0 = h, s1 − s0 = σ. Не нарушая общности, будем считать0 < 2σ ≤ s0 , s0 +2σ ≤ L, где L — длина кривой Γ. В силу (2.100) имеемΨ(t1 ) − Ψ(t0 ) = Ψ(t0 +h) − Ψ(t0 ) ==Z hϕ(t) − ϕ(t0 +h)Γt−t0 −h−ϕ(t) − ϕ(t0 ) it−t0dt ._Обозначим через γσ дугу t0 t00 кривой Γ, для которой σ(t0 , t0 ) == σ(t0 , t00 ) = 2σ (см. Рис.
13), и разобьем этот интеграл на два: I0 —по дуге γσ и I — по Γ \γσ .Из условия ϕ(t) ∈ H(µ) на Γ (см. (2.68)) следует, чтоZ µ−1µ−1ds ≤| t−t0 −h |+ | t−t0 || I0 | ≤ Aγσ96s0Z+2σ| s−s0 −σ | µ−1 + | s−s0 | µ−1 ds.≤As0 −2σПроизведя элементарные выкладки и учитывая (0.27), получимµ + 2·3 µA1+2.| I0 | ≤ C0 | h | µ, C0 =k0 µПерепишем теперь интеграл I в виде I1 + I2 , гдеI1 =Zϕ(t0 ) − ϕ(t0 +h)Z[ ϕ(t) − ϕ(t0 +h) ]t−t0Γ \γσI2 =Γ \γσ=hZΓ \γσdt = [ ϕ(t0 ) − ϕ(t0 +h) ] logϕ(t) − ϕ(t0 +h)(t−t0 −h)(t−t0 )t0 −t0,t00 −t01 1dt =−t−t0 −h t−t0dt.Поскольку arg (t−t0 ), очевидно, является на Γ \{t0 } равномерно ограниченной относительно t0 функцией,k0 =2σ1k0 2σ t0 −t0 ≤ 00=,≤2σt −t0k0 2σk0а ϕ(t) ∈ H(µ), то | I1 | ≤ C1 | h | µ.
Принимая во внимание (0.27) и учиты-вая, что | s−s0 | ≥ 2σ на Γ \γσ , получим далее| I2 | ≤Ak02|h|ZΓ \γσ1 −σs−s097ds≤ 1−µ2−µ| s−s0 |≤=21−µk02A2 1−µ Ak02|h||h|Zds| s−s0 | 2−µΓ \γσs −2σ 0Z0ds(s0 −s) 2−µ=ZL+dss0 +2σ(s−s0 ) 2−µ.Отсюда при µ < 1 получаем оценку| I2 | ≤ C2 | h | µ,где C2 =2Ak02 (1−µ),а при µ = 1 и достаточно малом | h | — оценку| I2 | ≤ C20 | h | log1|h|≤ C20 | h | 1− ε ,что завершает доказательство теоремы.Относительно поведения интеграла типа Коши в замкнутых областях D + и D − имеет место утверждение, подобное теореме Племеля –Привалова.Теорема. Если функция ϕ(t) ∈ H(µ) на замкнутой гладкой кривойЖордана Γ и D + , D − — внутренняя и внешняя по отношению к Γобласти, то интеграл типа Коши Φ(z) ∈ H(µ) при µ < 1 и Φ(z) ∈∈ H(1−ε) при µ = 1, где ε — произвольно малое положительное число,в каждой из замкнутых областей D + , D − .
При этом под Φ(z) приz ∈ Γ следует понимать соответствующее граничное значение (Φ+или Φ− ).Доказательство. Будем считать µ < 1, так как в случае µ =1 можноисходить из того, что если ϕ(t) ∈ H(1), то тем более ϕ(t) ∈ H(1−ε) на Γ.Возьмем произвольную точку t0 ∈ Γ и рассмотрим в области D +какую-нибудь ветвь функцииΨ(z) =Φ(z) − Φ+ (t0 )(z−t0 ) λ98,0≤λ<µ .(2.101)В силу теоремы Племеля – Привалова и свойства 100 функций классаГельдера граничное значение этой функции+Ψ (t) =Φ+ (t) − Φ+ (t0 )(t−t0 ) λ,0≤λ<µ ,(2.102)удовлетворяет на Γ условию H(µ−λ).Удалив из области D + множество ∆ = C(δ, t0 )∩D +, где δ > 0 и достаточно мало, и обозначив через Γδ и Cδ соответственно часть кривой Γ,лежащую вне круга C(δ, t0 ), и часть окружности | t−t0 | = δ, лежащуюв области D + и пробегаемую в направлении, порожденном положительным направлением на Γ, в силу (2.101) и интегральной формулы КошиполучимZ +ZΦ(t) − Φ+ (t0 )Ψ (t) dt11+Ψ(z) =dt , z ∈ D + \∆.λ2πit−z2πi(t−t0 ) (t−z)ΓCδδПоскольку max | Φ(z) | = max | Φ+ (t) | = M < ∞, то второй интегралt∈Γz ∈D +в этом выражении стремится к нулю при δ → 0 в силу того, что| Φ(t) − Φ+ (t0 ) | 2M≤ λ .t∈Cδδ| t−t0 | λОтсюда следует, что в области D + справедлива формулаZ +1Ψ (t) dtΨ(z) =,2πit−zΓиз которой получаем непрерывность в D + функции Ψ(z), дополненнойна Γ значениями Ψ+ (t).Следовательно, согласно принципу максимума модуля| Φ(z) − Φ+ (t0 ) || z−t0 | λ= | Ψ(z) | ≤ max | Ψ+ (t) | ≤ C,t∈Γ(2.103)где постоянная C не зависит ни от положения t0 на Γ, ни от величиныλ < µ.
В самом деле, по теореме Племеля – Привалова Φ+ (t) удовлетворяет условию H(µ) с некоторым коэффициентом Cµ . Тогда, как следует99из доказательства свойства 10 функций класса Гельдера, при любомλ, 0 < λ < µ, функция Φ+ (t) удовлетворяет условию H(λ) с коэффициентом C = max (Cµ , Cµ d µ ), где d — диаметр кривой Γ.Отсюда в силу (2.103) заключаем, что соотношение (2.104) остаетсяверным также при λ = µ, и мы имеем| Φ(z) − Φ+ (t0 ) | ≤ C | z−t0 | µ .(2.104)Это неравенство аналогично устанавливается и для z ∈ D − .
Такимобразом, неравенство| Φ(z1 ) − Φ(z2 ) | ≤ C | z1 −z2 | µустановлено в случае, когда по крайней мере одна из точек z1 , z2 лежитна Γ.Пусть теперь обе точки z1 , z2 лежат в области D + и ρ0 — произвольное положительное число, меньшее стандартного радиуса δ0 кривойπΓ, соответствующего некоторому числу θ0 , 0 < θ0 < . В замкнутой2++области Dρ = {z : z ∈ D , ρ(z, Γ) ≥ ρ0 } функция Φ(z) ∈ H(1) ∈ H(µ) в0силу свойства 20 функций класса H, поэтому достаточно ограничитьсяслучаем, когда по крайней мере одна из точек z1 , z2 , скажем, точка z2находится от Γ на расстоянии, меньшем ρ0 .Обозначим временно z2 через z0 и z1 через z, и пусть t0 — бли-жайшая к z0 точка кривой Γ. В области D + с разрезом вдоль отрезка[ z0 , t0 ] (нормального к Γ в точке t0 ) рассмотрим ветвь функцииΨ0 (z) =Φ(z) − Φ(z0 )(z−z0 ) µ,которая, очевидно, непрерывно продолжается на всю границу этой области.
Граничное значение этой функции на Γ удовлетворяет в силу(2.104) условию | Ψ+0 (t) | ≤ C.Чтобы изучить поведение функции Ψ0 (z) на каждом из краев разреза [ z0 , t0 ], рассмотрим производную интеграла типа Коши1Φ (z) =2πi0ZΓϕ(t) dt(t−z)2100,z ∈ [ z0 , t0 ] .(2.105)Обозначим через γρ0_дугу t0 t00 , вырезаемую из Γ кругом C(ρ0 , t0 ),и разобьем интеграл (2.105) на два : Φ0 (z) = Ψ1 (z) + Ψ2 (z), первый изкоторых взят по γρ , а второй — по Γρ = Γ \γρ . Представим Ψ1 (z) в000видеZϕ(t) − ϕ(t0 )ϕ(t0 ) 11 1.(2.106)−dt +Ψ1 (z) =2πi2πi t0 −z t00 −z(t−z)2γρ0Из треугольника с вершинами в точках t0 , t, z с углом α при вершинеt0 и сторонами | z −t0 | = ρ, | t−t0 | = r, по теореме косинусов с учетомπ−θ0неравенства α >при t ∈ γρ имеем20θ0 θ0 2θ0222| t−z | > r + ρ − 2rρ sin = r − ρ sin+ ρ2 cos2 .222Поэтому, используя (2.68) и (2.92), получаем неравенство 1 Z ϕ(t) − ϕ(t0 ) dt <22πi(t−z)γρ0ρ<Aπ cos<θ02Aπ cosθ02Z0r µ dr<θ0 222 θ0+ ρ cosr − ρ sin022Z∞uµ duµ−1ρ.θ0 2θ0u − sin+ cos2022Отсюда, поскольку Ψ2 и второй член правой части (2.106) ограничеθ0 ны (так как | t−z | > min δ0 −ρ0 , ρ0 cosдля t ∈ Γρ и z ∈ [ z0 , t0 ], а02θ0000| t −z | и | t −z | больше ρ0 cos ), заключаем, что2| Φ0 (z) | ≤ C1 ρµ−1 = C1 | z−t0 | µ−1 ,101(2.107)где C1 — положительная постоянная.
Из формулыΦ(z) − Φ(z0 ) =ZzΦ0 (ζ) dζz0в силу (2.108) и (2.73) получаем соотношение|z0 − t0 || Φ(z) − Φ(z0 ) | ≤ C1=Zρ µ−1 dρ =|z−t0 | C1C1| z0 −t0 | µ − | z−t0 | µ ≤| z−z0 | µ ,µµозначающее, что на обоих краях разреза [ z0 , t0 ] граничное значениефункции Ψ0 (z) также ограничено некоторой постоянной C (не зависящей от z0 ).Таким образом, по принципу максимума модуля | Ψ(z) | ≤ C всюдув D+ .Аналогично устанавливается такое же неравенство для области D − ,завершающее доказательство теоремы.3. Заметим, что из теоремы Племеля – Привалова на основании (2.96),(2.97) и свойства 70 функций класса H следует справедливость утверждения: если ϕ(t) ∈ H(µ) на Γ, то интеграл в смысле главного значения Φ(t0 ) ∈ H(µ) при µ < 1 и Φ(t0 ) ∈ H(1 − ε) при µ = 1, где ε —произвольно малое положительное число.Докажем теперь, что функцияZϕ(t, τ ) dt,Φ(t0 , τ ) =t−t0Γгде плотность ϕ(t, τ ) принадлежит классу H(µ) по t на Γ и классуH(ν) по τ на некотором множестве T , удовлетворяет условию H пообоим переменным t0 , τ при t0 ∈ Γ, τ ∈ T .Очевидно, достаточно доказать, что функция Φ(t0 , τ ) удовлетворяетусловию H по переменному τ .102Воспользовавшись формулой (2.86) при ϕ(t) ≡ 1, представим разность Φ(t0 , τ +h) − Φ(t0 , τ ) в видеZϕ(t, τ +h) − ϕ(t, τ )Φ(t0 , τ +h) − Φ(t0 , τ ) =dt =t−t0ΓгдеI=Z= I + πi [ ϕ(t0 , τ +h) − ϕ(t0 , τ ) ],{[ ϕ(t, τ +h) − ϕ(t0 , τ +h) ] − [ ϕ(t, τ ) − ϕ(t0 , τ ) ]}Γdt.t−t0Второе слагаемое в этом представлении, очевидно, не превосходит помодулю A | h | ν , где A — постоянная.
Для оценки интеграла I обозначимчерез γσ дугу кривой Γ длины σ = | h | с серединой t0 и разобьем I насумму I1 + I2 интегралов по γσ и Γ \γσ соответственно. Легко видеть,чтоZds| I1 | ≤ A1≤ B σµ .1−µ| s−s0 |γσДалее, записав I2 в видеZϕ(t, τ +h) − ϕ(t, τ )dt−I2 =t−t0Γ \γσZdt−[ ϕ(t0 , τ +h) − ϕ(t0 , τ ) ],t−t0Γ \ γσполучим для второго слагаемого оценку сверху B1 σ ν . Первое же слагаемое при достаточно малом σ не превосходит по модулюZdsν≤ B2 σ ν | log σ | .A2 | h || s−s0 |Γ \γσТаким образом, наше утверждение доказано.В частности, когда T = Γ и τ = t0 , функцияF (t0 ) = Φ(t0 , t0 ) =ZΓудовлетворяет условию H на кривой Γ.103ϕ(t, t0 ) dtt−t0Глава 3РЯД ЛОРАНАЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
