1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ряд Лорана. Изолированные особые точки1. Ряд Лорана. Рассмотрим функциональный ряд−∞Xk=−1ck (z−z0 ) k , z0 ∈ C,(3.1)каждый член которого имеет смысл для всех z 6= z0 . С помощью заменыz−z0 = ζ1 ряд (3.1) приводится к степенному ряду∞Xc− k ζ k .(3.2)k=1Если ρ — радиус сходимости ряда (3.2), а S∗ (ζ) — его сумма, то ряд1(3.1) абсолютно сходится в области | z − z0 | > r, r = , и его суммаρ 1 S1 (z) = S∗. Поскольку функция S* (ζ) аналитична в круге | ζ | <.z−z01< ρ, а функция ζ =— в области | z −z0 | > r, то функция S1 (z),z−z0как суперпозиция двух аналитических функций, аналитична в области| z −z0 | > r. Функциональный ряд (3.1) естественно называть с т е п е н н ы м р я д о м п о о т р и ц а т е л ь н ы м с т п е н я м z−z0 .Если степенной ряд∞Xck (z−z0 ) kk=0сходится в круге | z − z0 | < R и имеет сумму S2 (z), то при r < Rаналитическая в кольце K : r < | z−z0 | < R функция S(z) = S1 (z)+S2 (z)является суммой ряда∞Xck (z−z0 ) k .(3.3)k=−∞104Имеет место и обратное утверждение.Теорема Лорана.
Аналитическая в кольце K : r < | z − z0 | < Rфункция f (z) в каждой точке z ∈ K единственным образом представляется в виде ряда (3.3), где коэффициенты ck , k = 0, ±1, . . ., определены по формуле (2.47), в которой в качестве γ надо взять окружность | t−z0 | = δ, r < δ < R.Доказательство. Пусть z — произвольная точка кольца K. Возьмемкакое-нибудь, содержащее эту точку, кольцо K1 : r < r1 < | z−z0 | < R1 < R.По интегральной формуле Коши для z ∈ K1 имеем1f (z) =2πiZΓ1 ∪γ−Zf (t) dt1=t−z2πiΓ111+2πiZf (t) dt z−z +0(t−z0 ) 1−t−z0f (t) dt,t−z0 γ1 (z−z0 ) 1−z−z0(3.4)где Γ1 : | t−z0 | = R1 , γ1 : | t−z0 | = r1 . По признаку Вейерштрасса прикаждом фиксированном z ∈ K1 ряды∞ Xz−z0 k f (t)t−z0 t−z0k=0и∞ −∞ XXt−z0 k f (t)z−z0 k+1 f (t)=z−z0 z−z0t−z0z−z0k=0k=−1сходятся равномерно относительно t на Γ1 и γ1 соответственно, поf (t)f (t)скольку функцияограничена на Γ1 ,— на γ1 , аt−z0z−z0 z−z0t−z0 t−z r1| z−z0 |0 < 1.==<1 и t∈Γ1R1z−z0 t∈γ1| z−z0 |Поэтому, подставляя эти ряды в (3.4) вместо их сумм, с помощью почленного интегрирования получим равенствоf (z) =∞Xck (z−z0 ) k ,k=−∞105(3.5)в котором1ck =2πiZΓ1ck =12πiZγ1f (t) dt(t−z0 ) k+1f (t) dt(t−z0 ) k+1,,k = 0, 1, .
. . ,k = −1, −2, . . .f (z)Так как функции, k ∈ Z, аналитичны в кольце K, то по(z−z0 ) k+1обобщенной теореме Коши для двусвязной области в этих интегралахвместо Γ1 и γ1 можно взять любую окружность γ : | t − z0 | = δ, r << δ < R, в результате чего для определения коэффициентов ck получимформулу (2.47) для всех целых значений k.Предположим теперь, что существует другое разложение функцииf (z) по степеням z−z0 в кольце K:f (z) =∞Xk=−∞Умножая равенство∞Xk=−∞c0 (z−z0 ) k , z ∈ K.kkck (z−z0 ) =∞Xc0 (z−z0 ) kkk=−∞на (z − z0 )−n −1 , n ∈ Z, и почленно интегрируя ряды по окружностиγ : | z −z0 | = δ, r < δ < R, на основании легко проверяемой с помощьюзамены z−z0 = δeiϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π, формулы(Z0,m 6= −1,(z−z0 ) m dz =2πi, m = −1,γполучим: cn = c0n , n = 0, ±1, . .
.Таким образом, разложение (3.5) функции f (z) в данном кольце Kединственно.Ряд в правой части (3.5) называется р я д о м Л о р а н а аналитической в кольце K функции f (z), а ряды106c−k (z−z0 )−k = f1∞Xck (z−z0 ) k = f2 (z−z0 )k =1и∞X1z−z0(3.6)(3.7)k=0— соответственно г л а в н о й (иррегулярной) и п р а в и л ь н о й (регулярной) частями лорановского разложения этой функции. Очевидно,что ряд (3.7) сходится в круге C(R, z0 ), а ряд (3.6) — вне замкнутогокруга C(r, z0 ).2. Изолированные особые точки аналитической функции.Если в некоторой окрестности C(δ, z0 ) точки z0 комплексной плоскостиC функция f (z) аналитична всюду, кроме самой точки z0 (в которойона может быть и не заданной), то z0 называется и з о л и р о в а н н о йо с о б о й т о ч к о й аналитической функции f (z).Согласно теореме Лорана в области 0 < | z − z0 | < δ функция f (z)разлагается в ряд (3.5).
В зависимости от того, является ли множествоотличных от нуля коэффициентов при отрицательных степенях z − z0в лорановском разложении (3.5) функции f (z) п у с т ы м, к о н е ч н ы мили б е с к о н е ч н ы м, z0 называется у с т р а н и м о й о с о б о й т о ч к о й,п о л ю с о м или с у щ е с т в е н н о о с о б о й т о ч к о й функции f (z).Рассмотрим вопрос о поведении аналитической функции в окрестности ее изолированной особой точки.По определению устранимой особой точки функция f (z) представляется в проколотой окрестности C ∗ (δ, z0 ) в виде степенного ряда (2.45).Так как этот ряд сходится в круге C(δ, z0 ) и его сумма S(z) являетсяаналитической в этом круге функцией, совпадающей с f (z) при z 6= z0 ,то в результате доопределения (или переопределения) в точке z0 значением S(z0 ) = c0 = lim f (z) функция f (z) становится аналитическойz →z0в круге C(δ, z0 ).
Следовательно, в каждой проколотой окрестностиC ∗ (δ1 , z0 ), 0 < δ1 < δ, устранимой особой точки z0 функция f (z) ограничена.Пусть теперь точка z0 является полюсом функции f (z). Число107m = max(−k) называется п о р я д к о м п о л ю с а z0 . При m = 1 полюсck 6=0называется п р о с т ы м. В случае полюса порядка m имеемf (z) =∞Xck (z−z0 ) k ,k=−mпоэтому для функцииmϕ(z) = (z−z0 ) f (z) =∞Xc−m 6= 0,(3.8)ck− m (z−z0 ) k(3.9)k=0точка z0 является устранимой особой точкой иlim ϕ(z) = c−m 6= 0 .z →z0(3.10)Отсюда следует, что для любого положительного числа a < | c−m | существует такое число δ1 , 0 < δ1 < δ, что в проколотой окрестности C ∗ (δ1, z0 )имеем | c−m | − | ϕ(z) | ≤ | ϕ(z) − c−m | < | c−m | − a, т. е.
| ϕ(z) | > a илиa, так что| f (z) | >| z−z0 | mlim f (z) = ∞ .z →z0Из определений нуля и полюса следует, что если точка z0 являетсянулем порядка m аналитической в области D функции f (z), то для1функции F (z) =точка z0 является полюсом порядка m.f (z)Действительно, в силу изолированности нуля z0 функцию f (z) можно представить в виде f (z) = (z −z0 ) m ψ(z), где ψ(z) — аналитическаяв области D функция, не обращающаяся в нуль в некотором круге1тоже аналитична в круC(δ, z0 ) ⊂ D. Следовательно, функцияψ(z)ге C(δ, z0 ), и если ее разложением Тейлора в окрестности точки z0∞Pявляется рядak (z−z0 ) k , то лорановское разложение функции F (z)k=0в области 0 < | z−z0 | < δ имеет видF (z) =∞Xak + m (z−z0 ) k .k=−m108Поскольку a0 6= 0, то отсюда следует, что точка z0 является полюсомпорядка m функции F (z).Имеет место и обратное утверждение: если точка z0 является полюсом порядка m функции f (z), то она будет нулем порядка m функции1F (z) =, доопределенной в точке z = z0 значением, равным нулю.f (z)В самом деле, в силу (3.9) и (3.10), положив ϕ(z0 ) = c−m , заключаем,что в некотором круге C(δ2 , z0 ) вместе с ϕ(z) аналитической и не обращающейся в нуль будет также функция1ϕ(z)Тейлора в окрестности точки z0 является ряд∞Pk=0то разложение функцииbk (z−z0 ) k ,F (z) =имеет видF (z) =∞X, и если ее разложениемb0 6= 0,(z−z0 ) mϕ(z)bk− m (z−z0 ) k ,k=mчто и требовалось доказать.Из установленной связи между нулями и полюсами функций f (z) и1F (z) =легко получается следующее утверждение: если в некоторойf (z)проколотой окрестности существенно особой точки z0 аналитическаяфункция f (z) 6= 0, то эта точка является существенно особой и для1.f (z)Действительно, так как f (z) 6= 0 в некоторой области 0 < | z−z0 | < δ,то z0 будет изолированной особой точкой функции F (z).
Полюсом илинулем (после доопределения) функции F (z) точка z0 быть не может,поскольку в силу доказанного она была бы соответственно нулем илиполюсом функции f (z). Если же z0 — устранимая особая точка функцииF (z) со значением lim F (z) 6= 0, то, очевидно, таковой она была бы иz →z0для f (z), что также противоречит условию.функции F (z) =109Поведение аналитической функции в окрестности ее существенно особой точки характеризует следующее утверждение.Теорема Сохоцкого – Вейерштрасса.
Множество E значений,принимаемых аналитической функцией w = f (z) в любой окрестностиее существенно особой точки z0 , всюду плотно на расширенной комплексной плоскости w, т. е. каждая точка a расширенной комплексной плоскости w либо принадлежит множеству E, либо являетсяего предельной точкой.Доказательство. Заметим сначала, что главная часть (3.6) лорановского разложения функции f (z) в окрестности ее существенно особой точки z0 сходится в области | z−z0 | > 0, поэтому ряд (3.2) сходитсяна всей комплексной плоскости ζ и его сумма f1 (ζ) согласно теоремеЛиувилля не может быть ограниченной, поскольку наличие бесконечного множества отличных от нуля коэффициентов c−k , j = 1, 2, .
. .,jисключает постоянство функции f1 (ζ). Это означает, что существуеттакая последовательность {ζk }, lim ζk = ∞, что lim f1 (ζk ) = ∞, иk→∞следовательно, для последовательности точекlim z = z0k→∞ kиПосколькуf (z) = f1lim fk→∞ 11z−z0k→∞zk = z0 + 1ζk1zk −z0имеем= ∞.+ f2 (z−z0 ),а в силу (3.7), очевидно, имеем lim f2 (zk −z0 ) = c0 , то lim f (zk ) = ∞ .k→∞k→∞Другими словами, точка w = ∞ является предельной для множества E. Для произвольного же конечного числа a либо в любой окрестности точки z0 существует такая точка z 6= z0 , что f (z) = a, и тогдатеорема верна, либо существует проколотая окрестность C ∗ (δ, z0 ),в которой f (z) 6= a, и в этом случае по доказанному выше утверждениюz0 будет существенно особой точкой также для функции1.
Но тоf (z)−aгда, как только что было показано, существует такая последовательность1= ∞ или lim f (zk ) = a, т.е. точкаk→∞f (zk )−aa является предельной для последовательности {f (zk )} множества E.{zk }, lim zk = z0 , что limk→∞k→∞110Из установленных выше утверждений о поведении аналитическойфункции в окрестности изолированной особой точки следует, что изолированная особая точка z0 ∈ C аналитической функции f (z) является:а) устранимой, если lim f (z) = k 6= ∞;z →z0б) полюсом порядка m, если lim (z−z0 )m f (z) = k 6= 0, ∞;z →z0в) существенно особой, если не существует (конечного или бесконечного) предела lim f (z).z →z03.
Бесконечно удаленная изолированная особая точка. Пустьтеперь изолированной особой точкой аналитической функции f (z) является бесконечно удаленная точка, т. е. для некоторого R > 0 функция f (z) аналитична в области R < | z | < ∞. Очевидно, функция f 1ζбудет аналитической в области 0 < | ζ | <1,Rпоэтому точка ζ = 0 — изолированная особая точка этой функции. Разложение функции f 1ζв окрестности точки ζ = 0 в ряд Лоранаf1ζ=∞Xd −k ζ−k+∞Xdk ζ kk=0k=1после замены переменного ζ = z1 дает лорановское разложение функцииf (z) в окрестности бесконечно удаленной точкиf (z) =∞Xk=1ck z k +∞Xc−k z −k ,ck = d − k .(3.11)k=0В зависимости от того, является ли точка ζ = 0 устранимой особой, полюсом или существенно особой для функции f ζ1 , говорят, что z = ∞является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особойточкой для функции f (z).Таким образом, в зависимости от того, пусто, конечно или бесконечномножество отличных от нуля коэффициентов при положительных степенях z в разложении (3.11), точка z = ∞ является устранимой особой,полюсом или существенно особой для функции f (z).111Первый ряд в правой части (3.11) называется главной, а второй —правильной частью лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки z = ∞.Все, что было доказано о поведении аналитической функции вблизиконечной изолированной особой точки, очевидно, справедливо и в томслучае, когда изолированной особой точкой является бесконечно удаленная точка.
В частности, будем говорить, что функция f (z), определенная в области D ⊂C , содержащей точку z = ∞, а н а л и т и ч н а вб е с к о н е ч н о у д а л е н н о й т о ч к е, если лорановское разложениефункции f (z) в окрестности этой точки имеет вид∞Xc− kf (z) =zkи f (∞) = c0 .k=03.2. Понятия целой и мероморфной функций1. Целые функции. Очевидно, полином степени nPn (z) =nXck z k ,k=0cn 6= 0,(3.12)является аналитической функцией на всей комплексной плоскости, аz = ∞ представляет собой изолированную особую точку этого полинома. Поскольку лорановским разложением полинома Pn (z) в окрестноститочки z = ∞ будет стоящая в правой части (3.12) сумма, то для полинома Pn (z) особая точка z = ∞ является устранимой в случае n = 0 иполюсом порядка n при n > 0.Аналитическая на комплексной плоскости функция называется ц е л о й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
