1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

п. 2.3, с. 65), то тем самым доказана интегральная формула Коши для внешней области (3.28).126С помощью интегральных формул Коши для внутренней и внешнейобластей можно доказать,что для того чтобы заданная на замкнутойгладкой кривой Γ функция f (t) ∈ H была граничным значением аналитической в области D + (D − ) функции F (z)(Φ(z)), т. е.F + (t) = f (t) (Φ− (t) = f (t)) всюду на Γ, необходимо и достаточно, чтобы в первом случае выполнялось условиеZf (t) dt= 0, z ∈ D − ,(3.30)t−zΓа во втором случае — условиеZ1f (t) dt= Φ(∞),2πit−zz ∈ D+ .(3.31)ΓПри этом необходимость этих условий непосредственно вытекает из интегральных формул Коши.Известно также, что условия (3.30) и (3.31) соответственно эквивалентны следующим:1f (t0 ) −πiZΓи1f (t0 ) +πiZΓили же:Zf (t) dtt−t0= 0,t0 ∈ Γ,f (t) dt= 2Φ(∞),t−t0tk f (t) dt = 0,t0 ∈ Γ,k = 0, 1, .

. . ,Γи, для произвольной фиксированной точки z0 ∈ D + ,12πiZΓf (t) dtt−z0= Φ(∞),ZΓf (t) dt(t−z0 )k+1127= 0,k = 1, 2, . . .Глава 4ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫКОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ4.1. Аналитическое продолжение1. Понятие аналитического продолжения. На плоскости комплексного переменного z рассмотрим две области D1 и D2 , пересечениекоторых ∆ = D1 ∩ D2 представляет собой область.

Пусть f1 (z) — аналитическая в D1 функция. Если существует аналитическая в областиD2 функция f2 (z), совпадающая с f1 (z) в ∆, то говорят, что f2 (z)я в л я е т с я а н а л и т и ч е с к и м п р о д о л ж е н и е м f1 (z) и з о б л а с т иD1 в о б л а с т ь D2 ч е р е з и х о б щ у ю ч а с т ь ∆.В силу внутренней теоремы единственности такое аналитическоепродолжение, если оно существует, единственно.Аналитическая функция f (z) вместе с областью D ее задания называется э л е м е н т о м, и для него принято обозначение (f, D). Из двухэлементов (f1 , D1 ) и (f2 , D2 ) один из них называется н е п о с р е д с т в е н н ы м а н а л и т и ч е с к и м п р о д о л ж е н и е м другого, если ∆ == D1 ∩D2 является областью и f1 (z) = f2 (z) для всех z ∈ ∆.

Очевидно,что функция(f1 (z), z ∈ D1 ,f (z) =f2 (z), z ∈ D2 \∆,аналитична в области D1 ∪D2 .Конечное множество элементов (f1 , D1 ), (f2 , D2 ), . . . , (fn , Dn ), каждый элемент (fk , Dk ) которого является непосредственным аналитическим продолжением элемента (fk−1 , Dk−1 ), k = 2, 3, . . . , n, называетсяц е п ь ю.Непустое множество F элементов (f, D), для любых двух элементовкоторого один можно получить из другого при помощи цепи, все элементы которой принадлежат F , называется о б щ е й а н а л и т и ч е с к о йф у н к ц и е й.Может случиться, что при аналитическом продолжении, соответствующем цепи (f1 , D1 ), (f2 , D2 ), .

. . , (fn , Dn ), на непустом пересече-128нии ∆ = D1 ∩ Dn аналитические функции f1 (z) и fn (z) не совпадают и,следовательно, определенная этой цепью общая аналитическая функцияне однозначна.Общая аналитическая функция, содержащая все аналитические продолжения каждого ее элемента, называется п о л н о й а н а л и т и ч ес к о й ф у н к ц и е й в смысле Вейерштрасса.Если аналитическая в области D функция f (z) не может бытьаналитически продолжена в более широкую область D1 ⊃ D, то говорят,что D является е с т е с т в е н н о й о б л а с т ь ю а н а л и т и ч н о с т и функции f (z).При детальном изучении общих и полных аналитических функцийестественно возникает необходимость обобщения введенного выше понятия римановой поверхности, но мы не будем на этом останавливаться.Непосредственное аналитическое продолжение, если оно возможно,иногда удобнее всего осуществить с помощью степенных рядов.

При этомв качестве элемента (f, D) следует брать сумму f (z) степенного ряда∞Pck (z−z0 )k с его кругом сходимости D = C(R, z0 ).k=02. Теорема монодромии. Пусть Γ — лежащая на комплексной плоскости z кривая Жордана с началом в точке z0 и концом в точке z∗ .Говорят, что ф у н к ц и я f0 (z) а н а л и т и ч е с к и п р о д о л ж а е т с яи з т о ч к и z0 в т о ч к у z∗ в д о л ь к р и в о й Γ, если можно указатьточки z1 , z2 , . . . , zn на Γ, следующие друг за другом в направленииот z0 к z∗ , и цепь (f0 , D0 ), (f1 , D1 ), (f2 , D2 ), . .

. , (fn , Dn ), такие, что_каждая область Dk содержит дугу zk z k+1 , k = 0, 1, . . . , n, zn +1 = z∗ ,кривой Γ.Заметим, что аналитическое продолжение функции вдоль данной кривой Γ не зависит от выбора точек zk , k = 1, 2, . . . , n, и цепи.В теории аналитических функций важную роль играет следующееутверждение.Теорема монодромии. Если аналитическая в области D0 функция f0 (z) аналитически продолжается вдоль любой жордановой кривой, лежащей в односвязной области D ⊃ D0 , то полученная в результате таких аналитических продолжений функция однозначна в D.Доказательство. Пусть z0 и z∗ — произвольные точки областей D0и D соответственно, Γ0 и Γ1 — произвольные жордановы кривые, лежа-129щие в области D и соединяющие точки z0 и z∗ , а (f0 , D0 ), (f10 , D10 ), . . .

,(fn0 , Dn0 ) и (f0 , D0 ), (f11 , D11), . . . , (fn1 , Dn1 ) — цепи, соответствующие0011аналитическому продолжению функции f0 (z) из точки z0 в точку z∗вдоль кривых Γ0 и Γ1 соответственно.Из односвязности области D следует, что кривую Γ0 с помощьюнепрерывной деформации без выхода из области D можно перевестив кривую Γ1 .

Обозначим через {Γλ } семейство лежащих в области Dжордановых кривых Γλ с закрепленными началом в точке z0 и концомв точке z∗ и параметрическими уравнениями z = z(λ, t), 0 ≤ t ≤ 1,0 ≤ λ ≤ 1, z(λ, 0) = z0 , z(λ, 1) = z∗ . Эти кривые при непрерывномвозрастании параметра λ от нуля до единицы осуществляют указанныйпереход кривой Γ0 в Γ1 .Пусть (f0 , D0 ), (f1λ , D1λ ), . .

. , (fnλ , Dnλ ) — цепь, соответствующаяλλаналитическому продолжению функции f0 (z) из точки z0 в точку z∗вдоль кривой Γλ . Из определения цепи и понятия аналитического продолжения вдоль кривой следует, что для каждого µ ∈ [ 0, 1 ] найдетсятакое число δµ > 0, что для всех λ ∈ rµ ∩ [ 0, 1 ], где rµ обозначаетинтервал | λ−µ | < δµ, имеет место равенствоДействительно, пустьfnλ (z∗ ) = fnµ (z∗ ).µ(4.1)λ(f0 , D0 ), (f1µ , D1µ), . . . , (fnµ , Dnµ )µ(4.2)µи z µ = z(µ, tµk ), k = 1, 2, .

. . , nµ , 0 < tµ1 < . . . < tµk < tµk +1 < . . . < tµnµ < 1,k— цепь и точки, соответствующие аналитическому продолжению функции f0 (z) из точки z0 в точку z∗ вдоль кривой Γµ , µ ∈ [ 0, 1 ], а D µ =nµ_= ∪ Dkµ , D0µ =D0 .Тогда ρµ = min ρ (zkµ z µk+1 , ∂Dkµ ) > 0 (здесь z0µ = z0 ,0 ≤ k ≤ nµk=0zµnµ +1= z∗ ), а функция σ(λ, µ) = max | z(λ, t)−z(µ, t) | непрерывна0 ≤ t ≤1по обоим переменным и σ(µ, µ) = 0, поэтому для каждого µ ∈ [ 0, 1 ]найдется такое число δµ > 0, что σ(λ, µ) < ρµ для всех λ ∈ rµ ∩ [ 0, 1 ]._µλНо это означает, что кривая Γλ ⊂ D , так как ее дуги ζ ζ λ ⊂ D µ , гдеkk+1kζ λ = z(λ, tµ ), k = 0, 1, 2, . .

. , nµ , ζ0λ = z0 , ζ λnµ +1 = z∗ , поэтому точки ζ λ иkkk130та же цепь (4.2) могут служить также для аналитического продолженияфункции f0 (z) вдоль кривой Γλ , т. е. можно взять nλ = nµ и(f λ , D λ ) = (f µ , D µ),kkkkk = 1, 2, . . . , nλ ,откуда и следует (4.1).Далее, по лемме Гейне – Бореля из бесконечного открытого покрытия{rµ } отрезка [ 0, 1 ] можно выделить конечное его покрытие {rµ , rµ ,12.

. . , rµm }, 0 < µ1 < µ2 < . . . < µm < 1. Взяв в каждом интервале rµ ∩k∩ rµпо фиксированной точке λk , в силу (4.1) получимk+1µµλfnµk (z∗ ) = fn k (z∗ ) = fnµk+1 (z∗ ), k = 1, 2, . . . , m−1.λkk+1kОтсюда, принимая во внимание, что 0 ∈ rµ , 1 ∈ rµm , заключаем, что1µµfn0 (z∗ ) = fnµ1 (z∗ ) = . . . = fnµk (z∗ ) = .

. . = fnµµm (z∗ ) = fn1 (z∗ ).1m01kВ силу произвольности точек z0 , z∗ и кривых Γ0 , Γ1 это и доказывает теорему монодромии.3. Принцип непрерывности. Пусть общий участок границ областей D1 и D2 ,D1∩D2=∅,является открытой гладкой дугой Жордана γ. Если функции fk (z) аналитичнывобластяхDk ,k=1, 2,непрерывны вплоть до γ и f1 (z) = f2 (z), z ∈ γ, то функцияz ∈ D1 , f1 (z),f (z) =f2 (z),z ∈ D2 ,(4.3) f (z) = f (z), z ∈ γ ,12аналитична в области D = D1 ∪ γ ∪D2 .Доказательство. Очевидно, что аналитичность функции f (z) надодоказать только в точках z ∈ γ.

Пусть z0 — произвольная точка кривойγ, а δ — такое положительное число, меньшее стандартногорадиуса δ0 кривой γ, что C(δ, z0 ) ⊂ D. Обозначив через γk границыобластей ∆k = Dk ∪ C(δ, z0 ), k = 1, 2, в силу интегральной формулы131Коши получим12πi12πiZγ1Zγ2f (t) dt=t−zf1 (z), z ∈ ∆1 ,0,z ∈ ∆2 ,(4.4)f (t) dt=t−z0,z ∈ ∆1 ,f2 (z), z ∈ ∆2 .(4.5)Поскольку в интегралах, стоящих в левых частях (4.4) и (4.5), интегрирование по кривым γ1 и γ2 на их общем участке γ ∩ C(δ, z0 ) происходитв противоположных направлениях, то в результате сложения равенств(4.4) и (4.5) в силу (4.3) получим функциюZf (t) dt1,F (z) =2πit−z| t−z0 | = δсовпадающую с f (z) в областях ∆1 и ∆2 .

Поскольку функция F (z)представима в круге C(δ, z0 ) интегралом типа Коши, то она аналитичнав этом круге и, очевидно, совпадает с f (z) и на дуге γ ∩ C(δ, z0 ).Таким образом, функция f (z) аналитична в круге C(δ, z0 ), а значит, и в точке z0 . В силу произвольности точки z0 ∈ γ функция f (z)аналитична на всей дуге γ, а следовательно, и в области D.В условиях принципа непрерывности говорят, что функция f2 (z) является аналитическим продолжением функции f1 (z) из области D1 вобласть D2 через дугу γ.Из принципа непрерывности легко выводится следующее утверждение.Граничная теорема единственности аналитической функции. Если функции f (z) и ϕ(z) аналитичны в области D, границакоторой содержит открытую гладкую жорданову дугу γ, непрерывнывплоть до γ и f (z) = ϕ(z) на γ, то f (z) = ϕ(z) всюду в области D.В самом деле, без ограничения общности будем предполагать, чток области D вдоль участка γ ее границы можно пристроить областьD1 , D ∩ D1 = ∅, так как в противном случае этого можно добиться дополнительным конформным отображением (например, для односвязной132√области D ⊂ C с помощью ветви z−a, где a — один из концов дугиγ), и рассмотрим функцию(f (z)−ϕ(z), z ∈ D ∪γ,g(z) =0,z ∈ D1 ,удовлетворяющую условиям принципа непрерывности и поэтому аналитическую в области ∆ = D ∪ γ ∪ D1 .

Так как g(z) = 0 на множествеγ ∪D1 области ∆, то по внутренней теореме единственности аналитической функции g(z) = 0 всюду в ∆ и, значит, f (z) = ϕ(z) всюду в областиD.4. Принцип симметрии Римана – Шварца. Пусть участком границы области D является открытая дуга γ окружности Cz , а область D ∗, симметричная с D относительно Cz , лежит вне D. Еслифункция f (z) аналитична в области D, непрерывна вплоть до γ ипереводит γ в дугу σ окружности Cw , то f (z) аналитически продолжается из области D в область D ∗ через дугу γ, причем значение полученной в результате этого продолжения функции в точке z ∗,симметричной с z относительно Cz , симметрично с f (z) относительно Cw .Доказательство. Без ограничения общности можно считать, чтоγ и σ совпадают соответственно с интервалами a < x < b и α < u < βдействительных осей комплексных плоскостей z и w, так как к этомуслучаю всегда можно прийти с помощью дробно-линейных преобразований.По теореме Тейлора в каждом круге C(ρ(z0 ), z0 ), где z0 ∈ D, а ρ(z0 )— расстояние точки z0 до границы области D, имеемf (z) =∞Xkck (z−z0 ) ,f (z) =k=0∞Xck (z−z 0 )k .k=0В области D ∗ определим функцию f (z), полагаяf (z) =∞Xck (z−z 0 )kk=0в каждом круге C(ρ(z0 ), z 0 ).

Очевидно, что функция f (z) = f (z) аналитична в области D ∗ и непрерывна вплоть до γ, причем на γ имеет133место равенство f (x) = f (x), так как по условию =mf (x) = =mf (x) == =mf (x) = 0 при x ∈ (a, b). В силу принципа непрерывности функция(f (z), z ∈ D∪γ,F (z) =f (z), z ∈ D ∗ ,аналитична в области D ∪ γ ∪ D ∗ , причем f (z) = f (z), z ∈ D, что итребовалось доказать.5.

Характеристики

Список файлов лекций