1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

[1], стр. 162-164) как решение задачи нахождения в семействе M функции, для которой образ областиD содержит максимальный круг с центром в нуле.При этом решением будет предел последовательности fn (z) суперпозиций"раздувающих"функций, f1 (z) = ϕa (z), в которых в качестве a все время надо брать ближайшую к нулю точку границы соответствующей области.4.3.

Соответствие границ при конформномотображении односвязных областейИмеет место следующее утверждение.Теорема.Если функция w = f (z) конформно отображает область Dс границей Γ на круг | w | < 1, а последовательность {zn } точек zn , n == 1, 2, . .

., области D сходится к точке z0 ∈ Γ, то все предельныеточки последовательности {f (zn )} лежат на окружности | w | = 1.Доказательство. Если предельная точка w0 последовательности{f (zn )} не лежит на окружности | w | = 1, то она является внутренней точкой круга | w | < 1, т. е. | w0 | < 1. Поэтому любую r - окрестностьточки w0 , 0 < r < 1−| w0 |, содержащую бесконечное множество точек последовательности {f (zn )}, функция z = f −1 (w) конформно отображаетна односвязную область ∆r , лежащую строго внутри D, т. е. ∆r ⊂ D, исодержащую бесконечное множество соответствующих точек последовательности {zn }, а это невозможно, так как lim zn = z0 , z0 ∈ Γ.n→∞144Говорят, что при конформном отображении w = f (z) области D сграницей Γ на круг | w | < 1 точке z0 ∈ Γ соответствует точка w0окружности | w | = 1, если для любой последовательности {zn } точекобласти D, сходящейся к точке z0 , последовательность {f (zn )} сходится к точке w0 .Область D будем называть ж о р д а н о в о й, если ее граница состоитиз конечного числа замкнутых кривых Жордана.Приведем без доказательства следующее утверждение о соответствии границ при конформном отображении односвязных жордановыхобластей.Теорема.

При конформном отображении w = f (z) односвязной жордановой области D с границей Γ на жорданову область D1 с границейΓ1 функция w = f (z) устанавливает взаимно однозначное и непрерывное соответствие между D ∪Γ и D1 ∪Γ1 с сохранением направленияобхода на Γ и Γ1 .На основании этой теоремы единственность аналитической функцииw = f (z), осуществляющей конформное отображение односвязной жордановой области D с границей Γ на круг | w | < 1, может быть доказанатакже при выполнении любого из следующих двух условий:а) три заданные точки t1 , t2 , t3 границы Γ переходят соответственно в три заданные точки τ1 , τ2 , τ3 окружности | w | = 1 с сохранениемнаправления обхода;б) заданные точки z0 ∈ D и t0 ∈ Γ переходят соответственно в заданные точки w0 , | w0 | < 1, и τ0 , | τ0 | = 1.Действительно, допустим, что имеются две такие функции: w = f (z)и ζ = ϕ(z).

Тогда функция w = g(ζ) = f [ ϕ−1 (ζ) ] осуществляет конформное отображение круга | ζ | < 1 на круг | w | < 1, гомеоморфное взамкнутом круге | ζ | ≤ 1 с неподвижными точками τ1 , τ2 , τ3 в случаеа) и w0 , τ0 — в случае б). Как было показано выше, w = g(ζ) являетсядробно-линейным отображением. Так как симметричность пары точекинвариантна при дробно-линейных отображениях, то в случае б) неподвижной будет также точка 1 .

Дробно-линейное отображение с треw0мя неподвижными точками является тождественным отображением (этоможно получить, например, из инвариантности ангармонического отношения четырех точек при дробно-линейных отображениях). Таким образом, g(ζ) ≡ ζ, т. е. f (z) = ϕ(z), z ∈ D.145Принцип взаимно однозначного соответствия. Если границыΓ и Γ1 односвязных областей D и D1 являются замкнутыми кусочногладкими кривыми Жордана и аналитическая в D функция w = f (z)взаимно однозначно отображает Γ на Γ1 с сохранением направленияобхода, то она конформно отображает область D на область D1 .Доказательство.

Пусть τ = f (t), t ∈ Γ. Из очевидных равенствZZ0 1, w ∈ D1 ,f (t) dtdτ11==(4.21)2πi2πiτ − w  0, w ∈ CD ,f (t) − wΓ1Γ1и формулы логарифмического вычета следует, что функция f (z)−w приw ∈ CD 1 не имеет в области D нулей, а при каждом w ∈ D1 она имеетединственный нуль.Точка z0 = f −1 (w0 ) при w0 ∈ Γ1 не может принадлежать областиD. Действительно, в противном случае нашелся бы замкнутый кругC(δ, z0 ) ⊂ D, не содержащий отличных от z0 нулей функции f (z)−w0 .Если w1 ∈ C(m, w0 ), где m = min | f (z) − w0 | > 0, то|z −z0 |=δ [ f (z) − w ] − [ f (z) − w ] = | w − w | < m ≤ | f (z) − w |01100при | z−z0 | = δ.

Поэтому по теореме Руше каждое значение w1 ∈ C(m, w0 )принимается функцией f (z) в круге C(δ, z0 ), что согласно (4.21) невозможно,когда w1∈ C(m, w0 ) ∩ CD 1 .Следовательно, функция f (z) однолистна в области D и конформноотображает ее на область D1 .Принцип взаимно однозначного соответствия, очевидно, останется всиле, если f (z) аналитична в D всюду, кроме конечного числа точекграницы Γ, в которых f 0 (z) обращается в бесконечность, но интегрируема вдоль Γ.

Этот принцип верен и в том случае, когда одна из рассматриваемых областей, например, D является полуплоскостью.Формула Кристоффеля – Шварца. Рассмотрим теперь задачу оконформном отображении верхней полуплоскости Π: =mz > 0 на многоугольник Πn с вершинами A1 , A2 , . . . , An и внутренними углами παkпри вершинах Ak , гдеnX0 < αk < 2, αk 6= 1, k = 1, 2, . . .

, n;αk = n − 2.k =1146Согласно теореме Римана существует функция w = f (z), осуществляющая требуемое отображение, причем она взаимно однозначно и непрерывно отображает действительную ось =mz = 0 на контур многоугольника Πn . Пусть при этом ak = f −1 (Ak ), причем нумерацией вершини дробно-линейным отображением Π на себя можно добиться, чтобы−∞ < a1 < a2 < . . . < an < ∞.Рассмотрим однозначную аналитическую в полуплоскости Π функциюZz Yn(t − ak )αk −1 dt + C1 ,ϕ(z) = Cz0 k=1где z0 — произвольное комплексное число, =mz0 ≥ 0, C и C1 — некоторые комплексные постоянные, а под (z − ak )αk понимаются однозначныев полуплоскости Π ветви этих функций, положительные при z > ak .Очевидно, что функция ϕ(z) непрерывна на всей действительной осии аналитична при =mz ≥ 0 всюду, кроме, быть может, точек z = ak ,k = 1, 2, .

. . , n. Поскольку подынтегральная функция может быть записана в видеn Ya αk −1−21− kt,tk =1то интегралZ∞ Yn(t − ak )αk −1 dtz0 k =1сходится, причем его значение не зависит от пути интегрирования, лежащего в верхней полуплоскости. В последнем можно убедиться предельным переходом при R → ∞ в интеграле вдоль замкнутой кривой,состоящей из частей двух различных путей, лежащих в круге | z | < Rи дуги ΓR окружности | z | = R с концами в точках пересечения этойокружности с рассматриваемыми путями.

Таким образом, функция ϕ(z)непрерывна и в точке z = ∞.ПосколькуnY0ϕ (z) = C(z − ak )αk −1 6= 0 при z 6= akk=1и0arg ϕ (z) = arg C +nX(αk − 1) arg (z − ak )k =1147принимает постоянные значения в интервалах (ak , ak+1 ), то функцияϕ(z) осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение действительной оси на замкнутую ломаную линию, звеньями которой являются образы отрезков [ ak , ak+1 ], k = 1, 2, . . . , n, an+1 = a1 , причемнаправление обхода сохраняется.Покажем, что угол при вершине ϕ(ak ) этой ломаной равен παk .В самом деле,0arg [ ϕ(ak +1 ) − ϕ(ak ) ] = arg ϕ (z)=z ∈(ak , ak +1 )= arg C +nP(αj − 1)π,j = k+1поэтомуarg [ ϕ(ak+1 ) − ϕ(ak ) ] − arg [ ϕ(ak ) − ϕ(ak −1 ) ] = π − παk ,т.

е. угол при вершине ϕ(ak ) равен παk .Таким образом, функция ϕ(z) удовлетворяет условиям принципа взаимно однозначного соответствия и при произвольных значениях постоянных C и C1 конформно отображает верхнюю полуплоскость Π нанекоторый многоугольник, подобный Πn . Легко видеть, что при0C1 = f (z0 ), arg C = arg f (z),z >anan Z 2Yαk −1(t − ak )dt | C | = | A2 − A1 | / a1 k =1функция ϕ(z) = f (z), z ∈ Π, т. е. дает конформное отображение верхнейполуплоскости Π на многоугольник Πn .148Глава 5КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИТЕОРИИ ФУНКЦИЙ5.1. Гармонические функции1. Восстановление аналитической функции по ее действительной части.

Однозначная в области D действительная функция u(x, y)действительных переменных x, y, обладающая непрерывными частными производными второго порядка и удовлетворяющая уравнению∂2u∂x2+∂2u∂y 2(5.1)= 0,называется г а р м о н и ч е с к о й в D.Дифференциальное уравнение с частными производными (5.1) называется у р а в н е н и е м Л а п л а с а, а дифференциальный оператор∂2∂2+— о п е р а т о р о м Л а п л а с а.∂x2 ∂y 2Если гармонические в области D функции u(x, y), v(x, y) связаныусловиями Коши – Римана, то функция v(x, y) называется г а р м о н и ч е с к и с о п р я ж е н н о й с ф у н к ц и е й u(x, y).Выше было показано, что аналитическая в области D функцияf (z) = u(x, y) + iv(x, y) имеет в D производные всех порядков.

В частности, ее производную первого порядка можно записать в виде∆=f 0 (z) =∂v∂v∂u∂u+i=−i .∂x∂x∂y∂y(5.2)Так как производная f 0 (z) сама является аналитической в областиD функцией, то из (5.2) заключаем, чтоf 00 (z) =∂2u∂x2+i∂2v∂x2=−∂2u∂y 2−i∂2v∂y 2,откуда следует, что ∆u = 0 и ∆v = 0. Поскольку f 00 (z) тоже аналитична в D, то частные производные второго порядка функций u(x, y),v(x, y) непрерывны.149Это означает, что действительная и мнимая части аналитической вобласти D функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y) — гармонические в Dфункции, а поскольку они удовлетворяют условиям Коши – Римана, тофункция v(x, y) является гармонически сопряженной с u(x, y).Обратно, если u(x, y) и v(x, y) — произвольные гармонические вобласти D функции, причем v(x, y) — гармонически сопряженная сu(x, y), то в силу условий Коши – Римана и дифференцируемости функций u(x, y) и v(x, y), вытекающей из непрерывности их частных производных первого порядка, функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) аналитичнав области D.Пусть теперь в односвязной области D задана произвольная гармоническая функция u(x, y).

В силу равенства ∆u = 0 выражение−∂u∂udx +dy∂y∂xесть полный дифференциал функции, которую мы обозначим черезv(x, y), причем(Zx,y )∂u∂uv(x, y) =− dx +dy + C,∂y∂x(x0 ,y0 )где (x0 , y0 ) — произвольная фиксированная, а (x, y) — переменная точка области D, C — произвольная действительная постоянная, а интеграл не зависит от лежащего в области D пути интегрирования. Очевидно, что функция v(x, y) связана с u(x, y) условиями Коши – Римана, поэтому частные производные первого порядка функции v(x, y)непрерывны, а следовательно, v(x, y) является мнимой частью аналитической в области D функцииf (z) = u(x, y) + i(Zx,y )(x0 ,y0 )−∂u∂udx +dy + iC.∂y∂xТаким образом, аналитическая в односвязной области D функция f (z)определяется по ее действительной части с точностью до произвольнойаддитивной мнимой постоянной iC.150Существует и более простая формула, выражающая аналитическуюв точке z0 функцию f (z) через ее действительную часть без интегрирования, — ф о р м у л а Г у р с а, которую мы приводим здесь без доказательства:z + z z − z 00f (z) = 2u− f (z0 ).,22i2.

Свойства гармонических функций.10 . Гармоническая функция имеет частные производные всех порядков, которые, в свою очередь, тоже являются гармоническими функциями.Это свойство является следствием существования у аналитическойфункции производных всех порядков, тоже являющихся аналитическими функциями, действительная и мнимая части которых являются гармоническими функциями.Гармоническую в области D функцию u(x, y) будем также обозначать символом u(z), z ∈ D.20 . Для гармонической в области D функции u(z) справедливат е о р е м а о с р е д н е м: если круг C(δ, z) ⊂ D, то1u(z) =2πZ2πu(z + δeiϕ ) dϕ.0Эта теорема получается отделением действительных частей в формуле(2.53), выражающей теорему о среднем для аналитической функции.30 .

Характеристики

Список файлов лекций