1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Обратно, всякое решение задачи Римана –Гильберта для круга | z | < 1 может быть получено таким образом.В самом деле, всякое решение Φ(z) этой задачи, дополненное до кусочноаналитической функции F (z) по формуле (5.40), является решением задачи сопряжения (5.43), причемΩ(z) =F (z) = F∗ (z) =1[ F (z) + F∗ (z) ].2Так как мы умеем находить общее решение неоднородной задачи сопряжения, ограниченное на бесконечности, то можем найти и всю совокупность решений задачи Римана – Гильберта, однако на этом останавливаться не будем.5.6.
Сингулярные интегральные уравнения1. Основные понятия. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнениеZ1K(t0 , t) ϕ(t) dtα(t0 ) ϕ(t0 ) += f (t0 ) ,(5.44)πit−t0Γгде Γ — замкнутая гладкая кривая Жордана, а α(t0 ), f (t0 ), K(t0 , t) —заданные на Γ функции класса H, причем K(t0 , t) — по обоим переменным.
Искомая функция ϕ(t) также должна принадлежать классу H.Из результатов п.3 раздела 2.12 непосредственно следует, что определяемый левой частью уравнения (5.44) сингулярный оператор переводитвсякую функцию класса H в новую функцию класса H.Представим уравнение (5.44) в видеβ(t0 )α(t0 ) ϕ(t0 ) +πiZΓ1ϕ(t) dt+t−t0πi174ZΓk(t0 , t) ϕ(t) dt = f (t0 ),(5.45)гдеK(t0 , t) − K(t0 , t0 ).t−t0Уравнение вида (5.45), в котором функции α(t) и β(t) удовлетворяютусловию[ α(t) ] 2 − [ β(t) ] 2 6= 0, t ∈ Γ,β(t0 ) = K(t0 , t0 ),k(t0 , t) =называется п о л н ы м с и н г у л я р н ы м у р а в н е н и е м н о р м а л ь н о г о т и п а.Запишем теперь уравнение (5.45) в видеKϕ ≡ K 0 ϕ + T ϕ = f,где(5.46)Zβ(t0 )ϕ(t) dtK ϕ = α(t0 ) ϕ(t0 ) +,πit−t0ΓZ1Tϕ =k(t0 , t) ϕ(t) dt .πi0ΓОператор K называется х а р а к т е р и с т и ч е с к о й ч а с т ь ю о п е р а т о р а K, а уравнение K 0 ϕ = f — х а р а к т е р и с т и ч е с к и м у р а в н е н и е м, соответствующим полному уравнению (5.46).И н д е к с о м о п е р а т о р а K или у р а в н е н и я Kϕ = f называетсяцелое число1 h1hα−β iα−β i=.(5.47)κ=arglog2πα + β Γ 2πiα+β Γ0Заметим, что индекс зависит лишь от характеристической части оператора K.Операторы K и K ∗ , определенный по формуле1K ∗ ψ ≡ α(t0 )ψ(t0 ) −πiZΓK(t, t0 )ψ(t) dt,t−t0K(t0 , t)получающиеся один из другого перестановкой t0 и t в ядре,t − t0называются с о ю з н ы м и или т р а н с п о н и р о в а н н ы м и.Легко видеть, что если индекс оператора K равен κ, то индекс κ ∗союзного оператора K ∗ равен −κ.1752.
Решение характеристического уравнения. Для общей теориисингулярных интегральных уравнений вида (5.44) большое значение имеет решение характеристического уравненияβ(t0 )K ϕ ≡ α(t0 ) ϕ(t0 ) +πi0ZΓϕ(t) dt= f (t0 ) .t−t0(5.48)Пусть ϕ(t) — решение уравнения (5.48). Кусочно-аналитическаяфункцияZ1ϕ(t) dtΦ(z) =,(5.49)2πit−zΓкак интеграл типа Коши, удовлетворяет граничным условиям1πiZΓϕ(t0 ) = Φ+ (t0 ) − Φ− (t0 ),(5.50)ϕ(t) dt= Φ+ (t0 ) + Φ− (t0 )t−t0(5.51)(см. формулы (2.98), (2.99), на основании которых заключаем, что функция Φ(z) должна быть исчезающим на бесконечности решением неоднородной задачи сопряженияили(α + β) Φ+ (t) − (α − β) Φ− (t) = f (t)Φ+ (t) = G(t) Φ− (t) +гдеG(t) =f (t),α(t)+β(t)α(t)−β(t).α(t)+β(t)(5.52)(5.53)Обратно, пусть кусочно-аналитическая функция Φ(z) является исчезающим на бесконечности решением задачи (5.52).
Определим функцию ϕ по формуле (5.50). Тогда (см. п. 2 раздела 5.4) функция Φ(z)представима в виде (5.49) и, следовательно, имеет место и формула (5.51), а это означает, что ϕ(t) является решением интегрального уравнения (5.48).176Таким образом, решение характеристического уравнения (5.48)эквивалентно нахождению общего решения задачи сопряжения (5.52),исчезающего на бесконечности.Из (5.23), (5.47) и (5.53) видно, что индекс κ интегрального уравнения (5.48) есть индекс соответствующей задачи сопряжения (5.52).Пусть χ(z) — каноническое решение однородной задачи сопряжения,соответствующей задаче (5.52). Тогда (см. п. 3 раздела 5.4) решениезадачи (5.52), исчезающее на бесконечности, при κ ≥ 0 дается формулойZχ(z)f (t) dtΦ(z) =+ χ(z)Pκ−1 (z),(5.54)2πi[ α(t)+β(t) ] χ+(t)(t−z)Γгде Pκ−1 (z) — произвольный полином степени не выше κ −1 (Pκ−1 (z) ≡≡ 0 при κ = 0).
При κ < 0 решение существует лишь при выполненииусловийZtk −1 f (t) dt= 0, k = 1, 2, . . . , −κ,(5.55)[ α(t) + β(t) ] χ+ (t)Γи дается тогда формулой (5.54), в которой Pκ−1 (z) ≡ 0.Поскольку в силу формул Сохоцкого – Племеля и (5.54)χ± (t0 ))=02πiΦ± (tZΓ±f (t) dt±[ α(t)+β(t) ] χ+(t)(t−t0 )χ± (t0 )f (t0 )+ χ± (t0 )Pκ−1 (t0 ),+2[ α(t0 )+β(t0) ] χ (t0 )то по формуле (5.50) получим следующее решение характеристическогоинтегрального уравнения (5.48):Zχ+ (t0 )−χ− (t0 )f (t) dtϕ(t0 ) =+2πi[ α(t)+β(t) ] χ+(t)(t−t0 )Γ(5.56)+−[ χ (t0 )−χ (t0 ) ] f (t0 )++ [ χ+ (t0 )− χ− (t0 ) ]Pκ−1 (t0 ).2[ α(t0)+β(t0) ] χ+ (t0 )Заметим, что однородное характеристическое уравнение K 0 ϕ = 0 приκ ≤ 0 не имеет решений, отличных от нуля, а при κ > 0 оно имеет ровноκ линейно независимых решений, причем его общее решение, получающееся из (5.56) при f (t) = 0, в силу равенства χ+ (t) = G(t)χ− (t) и (5.53)может быть представлено в виде177κXχ+ (t) β(t)Pκ−1 (t) =ck ϕk (t),ϕ(t) =α(t)−β(t)(5.57)k=1где функцииϕk (t) =tk−1 χ+ (t) β(t),α(t)−β(t)k = 1, 2, .
. . , κ,(5.58)и представляют собой полную систему линейно независимых решенийоднородного характеристического уравнения.Резюмируем полученные результаты.I. Если κ > 0, то однородное уравнение K 0 ϕ = 0 имеет ровно κлинейно независимых решений.II. Если κ ≤ 0, то это уравнение не имеет решений, отличных от нуля.III. Если κ ≥ 0, то неоднородное уравнение K 0 ϕ = f разрешимо прилюбой правой части.IV. Если κ < 0, то это уравнение разрешимо тогда и только тогда,когда правая часть f удовлетворяет −κ условиям видаZf (t) ψk (t) dt = 0, k = 1, 2, . . . , −κ,(5.59)Γгде ψk (t) — линейно независимые функции, определенные (см.
(5.55))формуламиtk−1ψk (t) =, k = 1, 2, . . . , −κ.(5.60)[ α(t) + β(t) ]χ+ (t)3. Решение уравнения, союзного с характеристическим. Рассмотрим теперь уравнениеZ1β(t) ψ(t) dt0∗K ψ ≡ α(t0 ) ψ(t0 ) −= g(t0 ) ,(5.61)πit−t0Γ178союзное с уравнением K 0 ϕ = f . Индекс κ ∗ этого уравнения равен −κ,где κ обозначает индекс оператора K 0 .Уравнение (5.61) также можно свести к задаче сопряжения следующим приемом. Введем исчезающую на бесконечности кусочно-аналитическую функциюZ1β(t) ψ(t) dtΨ(z) =.2πit−zΓПринимая во внимание формулы1πiZΓβ(t0 ) ψ(t0 ) = Ψ+ (t0 ) − Ψ− (t0 ),β(t) ψ(t) dt= Ψ+ (t0 ) + Ψ− (t0 ),t−t0заключаем, что уравнение (5.61) эквивалентно следующей задаче.Найти функцию ψ(t) класса H и исчезающую на бесконечностикусочно-аналитическую функцию Ψ(z) по условиямα(t) ψ(t) = Ψ+ (t) + Ψ− (t) + g(t),β(t) ψ(t) = Ψ+ (t) − Ψ− (t),которые, в свою очередь, эквивалентны условиям(α + β)ψ = 2Ψ+ + g,или жеψ=2Ψ+g+,α+β α+β(α − β)ψ = 2Ψ− + g,ψ=2Ψ−g+.α−β α−β(5.62)Сравнивая здесь правые части, приходим к задаче сопряженияΨ+ (t) = [ G(t) ]−1 Ψ− (t) +β(t) g(t),α(t)−β(t)(5.63)где G(t) определяется формулой (5.53), причем требуется найти решение, исчезающее на бесконечности.
Решив эту задачу, по любой из формул (5.62) получим решение интегрального уравнения (5.61).Заметим, что однородная задача сопряжения (5.32), получающаясяиз (5.63) при g = 0, является союзной с однородной задачей сопряжения, получающейся из (5.52) при f = 0, поэтому, если χ(z) и κ179обозначают каноническое решение и индекс этой задачи, то [ χ(z) ]−1и κ ∗ = −κ будут каноническим решением и индексом задачи (5.32).В соответствии с этим общее решение задачи (5.63), исчезающее на бесконечности, представится при κ ∗ ≥ 0 (т.
е. при κ ≤ 0) в виде[ χ(z) ]−1Ψ(z) =2πiZχ+ (t) β(t) g(t) dt+ [ χ(z) ]−1 Pκ ∗ −1 (z),[ α(t)−β(t) ] (t−z)(5.64)Γгде Pκ ∗ −1 (z) — произвольный полином степени не выше κ ∗ −1.При κ ∗ < 0 (т. е. при κ > 0) решение этой задачи дается той жеформулой (5.64) при Pκ ∗ −1 (z) ≡ 0, если соблюдены следующие необходимые и достаточные условия разрешимости:Ztk−1 χ+ (t) β(t) g(t) dt= 0,α(t)−β(t)k = 1, 2, . .
. , −κ ∗ .(5.65)ΓДля функции Ψ(z), определенной равенством (5.64), по формуле Сохоцкого – Племеля (2.96) находим:[ χ+ (t0 ) ]−10) =2πiΨ+ (tZΓ+χ+ (t) β(t) g(t) dt+[ α(t)−β(t) ] (t−t0)β(t0 ) g(t0 )+ [ χ+ (t0 ) ]−1 Pκ ∗ −1 (t0 ) .2[ α(t0 )−β(t0) ]Подставив найденное значение Ψ+ (t0 ) в первую из формул (5.62), получим общее решение интегрального уравнения (5.61):[ χ+ (t0 ) ]−1ψ(t0 ) =πi [ α(t0 )+ β(t0 ) ]+ZΓχ+ (t) β(t) g(t) dt+[ α(t)−β(t) ] (t−t0)Pκ ∗ −1 (t0 )α(t0 ) g(t0)+ +.2[ α(t0 )[ β(t0) ]χ (t0 ) [ α(t0 )+β(t0) ]Отсюда в силу (5.60) заключаем, что общее решение однородного уравнения K 0∗ ψ = 0 при κ ∗ > 0 можно представить в виде180κ∗XP ∗ (t)=ck ψk (t).ψ(t) = + κ −1χ (t) [ α(t)+β(t) ](5.66)k=1Следовательно, при κ ∗ > 0 однородное уравнение K 0 ∗ ψ = 0 имеетровно κ ∗ линейно независимых решений ψk , а при κ ∗ ≤ 0 оно не имеетрешений, отличных от нуля.Итак, уравнение K 0 ∗ ψ = g обладает такими же свойствами, как иуравнение K 0 ϕ = f , т.
е. по отношению к уравнению K 0∗ ψ = g справедливы утверждения I – IV предыдущего пункта при условии заменыK 0 на K 0∗ и κ на κ ∗ = −κ.Мы видим теперь из (5.55) и (5.60), что функции ψk (t), фигурирующие в условиях (5.59) разрешимости уравнения K 0 ϕ = f , представляютсобой полную систему линейно независимых решений союзного с нимоднородного уравнения K 0∗ ψ = 0. Точно так же в силу (5.58) условия(5.65) разрешимости уравнения K 0∗ ψ = g можно записать в видеZg(t) ϕk (t) dt = 0 ,Γгде ϕk (t), k = 1, 2, . . . , κ, — полная система линейно независимых решений союзного с ним однородного уравнения K 0 ϕ = 0.В заключение приведем без доказательства т р и о с н о в н ы е т е о р е м ы Ф. Н е т е р а о полных сингулярных уравнениях нормальноготипа.Теорема 1.
Для разрешимости уравнения Kϕ = f необходимо идостаточно, чтобыZf (t) ψk (t) dt = 0 , k = 1, 2, . . . , l∗ ,Γгде ψ1 (t), ψ2 (t), . . . , ψ ∗ (t) — полная система линейно независимых реlшений союзного однородного уравнения K ∗ ψ = 0.Теорема 2. Числа l и l∗ линейно независимых решений соот-ветственно однородного уравнения Kϕ = 0 и союзного однородного уравнения K ∗ ψ = 0 конечны.Теорема 3.
Разность l − l∗ равна индексу κ оператора K.181СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Билута П. А. Лекции по теории функций комплексного переменного.Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005.2. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексногопеременного. М.: Наука, 1964.3. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
