1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При этом, если равенство| f (z) | = | z | имеет место хотя бы в одной точке z0 , 0 < | z0 | < 1,или | f 0 (0) | = 1, то f (z) = eiα z, где α — действительная постоянная.139Доказательство. Ввиду условия (4.11) точка z = 0 является дляf (z)f (z)функцииустранимой особой точкой и lim= f 0 (0). Поэтомуz→0zzфункция f (z) , 0 < | z | < 1,z(4.13)ϕ(z) = f 0 (0), z = 0,аналитична в круге | z | < 1.
В силу принципа максимума модуля и(4.12) для любого r ∈ (0, 1) имеем11| ϕ(z) ||z |<r ≤ max | ϕ(z) | =max | f (z) | < ,r |z | = rr|z | = rоткуда в пределе при r → 1 получаем, что | ϕ(z) | ≤ 1 при | z | < 1, т. е.| f (z) | ≤ | z | и | f 0 (0) | ≤ 1.Если | f 0 (0) | = 1 или равенство | f (z) | = | z | имеет место хотя бы водной точке z0 , 0 < | z0 | < 1, то из принципа максимума модуля следует,что функция ϕ(z), как достигающая своего наибольшего по модулю значения внутри круга | z | < 1, есть постоянная, по модулю равная единице,т.
е. ϕ(z) = eiα или, в силу (4.13), функция f (z) = eiα z.3. Теорема Римана. Для каждой односвязной области D, границакоторой состоит более чем из одной точки, существует единственноенормализованное конформное отображение w = f (z) этой области накруг | w | < 1.Доказательство. 10 . Существование. В силу сказанного в п. 1, неограничивая общности, будем считать, что область D лежит в круге| z | < 1, 0 ∈ D, а условия нормализованности имеют вид (4.8).Покажем сначала, что для любой точки a ∈ C(1, 0)\D в этой областисуществует функция ϕa (z), конформно отображающая ее в единичныйкруг и удовлетворяющая условиямϕa0 (0) > 1.(4.14)z−aДля этого преобразованием ζ =, меняющим местами точки 0 иaz−1a , переведем D в лежащую в единичном круге односвязную область, несодержащую нуля. Поскольку односвязная область комплексной плоскости обладает тем свойством, что вместе с любой лежащей в ней замкнутой кривой Жордана ей принадлежит и внутренность этой кривой, то вполученной области круга | ζ | < 1 не существует замкнутой жордановойϕa (0) = 0,140кривой, содержащей точку ζ = 0,pа следовательно,pв ней можно выделить ветвь двузначной функцииζ, и пусть ω = ζ — одна из этихpω−bветвей, а a = b.
Наконец, преобразованием w = ei arg bполученнуюbω−1область круга | ω | < 1 переведем в круг | w | < 1.Таким образом, в результате преобразований ζ = ζ(z), ω = ω(ζ),w = w(ω) мы получили искомую однолистную в области D функциюw = ϕa (z), которая, очевидно, удовлетворяет первому из условий (4.14),а также второму, поскольку dω dζ dw 0=ϕa (0) =dω ω =b dζ ζ=a dz z =0 |a|2 −1 1 |b|2 −1 iargb= e=p (bω−1)2 ω =b 2 ζ ζ=a (az−1)2 z =0 1 + |a|11b11 1|a|2 −1 = q ·· |a|2 −1 = q= ··> 1.|a|−1 2|b| |b|2 −1 2b|a|2 |a|−1Ясно, что обратная функция z = ϕa (w) = ψa (w), как суперпозициядвух дробно-линейных преобразований и функции ζ = ω 2 , является аналитической в круге | w | < 1 и удовлетворяет условиям леммы Шварца.В силу этого при любых w ∈ C ∗ (1, 0) имеет место неравенство | ψa (w) | <| w |, поскольку ψa (w), очевидно, отлична от функции вида eiα w, α ∈ R,или для функции ϕa (z) в области D\{0} имеем| ϕa (z) | > | z |.Ввиду этого свойства функции ϕa (z) ее иногда называют "раздувающей".Заметим, что из леммы Шварца для функции ψa (w) следует такжевторое из условий (4.14).Обозначим через M семейство всех однолистных аналитических в лежащей в единичном круге | z | < 1 и содержащей точку z = 0 односвязнойобласти D функций f (z),| f (z) | < 1, z ∈ D,(4.15)удовлетворяющих условиям (4.8).
Это семейство не пусто: к нему принадлежат, например, функцииf (z) = λz, 0 < λ ≤ 1.(4.16)Покажем теперь, что искомым нормализованным конформным отбражением области D, на единичный круг является решение следующейэкстремальной задачи.141Найти в семействе M функцию, у которой величина f 0 (0) имеетнаибольшее значение.Докажем сначала существование решения этой задачи. Для этого заметим, что существует такое число ρ > 0, что круг | z | < ρ лежитв области D и что, следовательно, в этом круге функции f (z) ∈ Mаналитичны. Легко видеть, что функции g(ζ) = f (ρ ζ) удовлетворяют1условиям леммы Шварца, из которой следует неравенсто f 0 (0) ≤ , т. е.ρограниченность сверху чисел f 0 (0).
Пусть α есть точная верхняя граница всех этих чисел. Тогда для любого числа µ ∈ (0, α) существуетфункция f (z) ∈ M, для которой f 0 (0) = ν, где µ < ν ≤ α. Но вместес функцией f (z) семейству M принадлежат и все функции λf (z), 0 << λ ≤ 1, производные которых λf 0 (0) принимают все значения из промежутка (0, ν ]. Отсюда следует, что множество {f 0 (0)} содержит интервал (0, α) и, следовательно, α является предельной точкой множества{f 0 (0)}, f (z) ∈ M.Пусть fn (z), n = 1, 2, .
. ., есть последовательность функций из Mтакая, чтоlim f 0 (0) = α.(4.17)nn→∞Условие (4.15) означает, что семейство M равномерно ограничено в области D, поэтому к нему применим принцип компактности, согласно которому из последовательности {fn (z)} можно выделить подпоследовательность {fn (z)}, равномерно сходящуюся внутри D к аналитическойkв D функции f0 (z), причем f0 (0) = 0 и по первой теореме Вейерштрассаимеемlim fn0 (0) = f00 (0).(4.18)n→∞Посколькуlim f 0 (0)n → ∞ nk= limn→∞kf0n (0),то из (4.17) и (4.18) получимf00 (0) = α.(4.19)В силу (4.16) для функций из семейства M имеем α ≥ 1, поэтому ввиду(4.19) имеем f00 (0) > 0. Отсюда следует, что предельная функция f0 (z)не тождественно постоянна, и по теореме Гурса она однолистна в областиD. Далее, из (4.15) следует, что | f0 (z) | ≤ 1, z ∈ D, но поскольку попринципу максимума модуля равенство в D невозможно, то | f0 (z) | << 1, z ∈ D.
Таким образом, f0 (z) ∈ M.Докажем теперь, что экстремальная функция w = f0 (z) отображаетобласть D на полный круг | w | < 1. Допустим от противного, что онаотображает D на некоторую область G, не совпадающую с кругом| w | < 1, и пусть a ∈ C(1, 0)\G. Положим F (z) = ϕa [ f0 (z) ], где ϕa (w) —142— построенная выше "раздувающая" функция. Функция F (z), очевидно,аналитична и однолистна в D, | F (z) | < 1 при всех z ∈ D, в силу (4.8),(4.14) и (4.18) удовлетворяет условиям F (0) = 0, F 0 (0) = ϕ0a (0)f00 (0) >> f00 (0) > 0 и, следовательно, принадлежит семейству M. Но неравенство F 0 (0) > f00 (0) противоречит максимальности значения f00 (0) = α.Таким образом, функция w = f0 (z) конформно отображает область Dна полный круг | w | < 1.20 . Единственность. Допустим, что кроме построенной выше функцииw = f0 (z) существует еще одна однолистная аналитическая функцияζ = ϕ(z), осуществляющая нормализованное конформное отображениеобласти D на единичный круг, удовлетворяющая условиям ϕ(0) = 0,ϕ0 (0) > 0.
Очевидно, что функцияw = g(ζ) = f [ ϕ−1 (ζ) ]конформно отображает круг | ζ | < 1 на круг | w | < 1, причемg(0) = 0,g 0 (0) > 0.(4.20)Поскольку аналитическая в круге | ζ | < 1 функция g(ζ) удовлетворяет условиям леммы Шварца, то | w | ≤ | ζ |. Для обратной функцииζ = g −1 (w) по лемме Шварца имеем также | ζ | ≤ | w |. Следовательно,| w | = | ζ | и тогда по лемме Шварца w = eiα ζ, где α — действительнаяпостоянная, и поскольку в силу (4.20) имеемdw = g 0 (0) = eiα > 0,dζ ζ = 0то eiα = 1. Таким образом, окончательно имеем w = ζ, т. е. f (z) = ϕ(z),z ∈ D, что завершает доказательство теоремы Римана.Пусть функция w = f (z) осуществляет конформное отображение единичного круга на себя и при этомf (z0 ) = 0,arg f 0 (z0 ) = α.Но, как следует из (1.32) и (1.34), дробно-линейная функция (1.32) тоже143удовлетворяет этим условиям и конформно отображает единичный кругна себя, а поскольку по теореме Римана такое отображение определяетсяуказанными условиями единственным образом, тоf (z) = eiαz−z0.1−z 0 zТаким образом, любое конформное отображение единичного круга насебя осуществляется дробно-линейной функцией, а формула (1.32) даетобщий вид конформного отображения единичного круга на себя.Точно так же формула (1.31) дает общий вид конформного отображения верхней полуплоскости на единичный круг.Оказывается, функция, существование и единственность которой доказаны в тереме Римана, является решением многих экстремальных задач, и не только в классе однолистных функций.Например, ее можно получить (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
