1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Аналитическое продолжение действительной аналитической функции действительного переменного. Заданная на отрезке I : a ≤ x ≤ b действительная функция f (x) называется а н а л и т и ч е с к о й, если в некоторой окрестности | x−x0 | < δ каждой точкиx0 ∈ I она представляется в виде степенного рядаf (x) =∞Xck (x−x0 )k(4.6)k=0с действительными коэффициентами.Если f (x) — действительная аналитическая функция на отрезке I,а F (z) — аналитическая функция в области D, содержащей отрезок I,причем F (x) = f (x) при x ∈ I, то говорят, что F (z) является а н а л и т и ч е с к и м п р о д о л ж е н и е м f (x) и з о т р е з к а I в о б л а с т ь D.По первой теореме Абеля полученный из (4.6) заменой x на комплексное переменное z = x+iy ряд∞Xck (z−x0 )kk=0сходится в круге C(δ, x0 ), и его сумма F (z) является аналитическойв этом круге функцией, совпадающей с f (x) при z = x.

Очевидно, чтофункция F (z) из верхнего полукруга | z−x0 | < δ, =mz > 0 аналитическипродолжается в нижний полукруг | z−x0 | < δ, =mz < 0 через интервал| x−x0 | < δ по принципу симметрии Римана – Шварца. Отсюда, ввиду того, что F (z) аналитически продолжается вдоль отрезка I, заключаем,что функция f (x) аналитически продолжается из отрезка I в некоторую область D, симметричную отоносительно действительной оси=mz = 0.1346.

Принцип Шварца аналитического продолжения. Кривая γ :z = z(t) = x(t) + iy(t), α ≤ t ≤ β, называется а н а л и т и ч е с к о й, еслиx(t) и y(t) — аналитические функции параметра t на отрезке [ α, β ].Очевидно, что в этом случае комплекснозначная функция z = z(t) вокрестности каждой точки t0 ∈ [ α, β ] представляется в виде степенного∞Pряда видаck (t−t0 )k , ck ∈ C, поэтому ее естественно тоже называтьk=0аналитической функцией действительного параметра t.Аналитическая кривая называется п р а в и л ь н о й, если она не имееткратных точек и z 0 (t) 6= 0, α < t < β.Принцип Шварца.

Если функция f (z) аналитична в области D,граница которой содержит открытую правильную аналитическую дугуγ : z = z(t) = x(t) + iy(t), α < t < β, непрерывна вплоть до γ, а F (t) =f [ z(t) ] — аналитическая функция параметра t, то f (z) может бытьаналитически продолжена из области D через дугу γ.Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, чтоположительное направление на дуге γ (т. е. направление, соответствующее возрастанию параметра t) совпадает с положительным направлением на границе области D.

Пусть z0 — произвольная точка дугиγ, z0 = z(t0 ), α < t0 < β. При достаточно малом δ > 0 функции F (ζ)и z = z(ζ) = ψ(ζ) будут аналитичны в круге C(δ, t0 ) комплекснойплоскости ζ, <eζ = t, причем в силу условия z 0 (t0 ) 6= 0 функция z == z(ζ) будет взаимно однозначно отображать круг C(δ, t0 ) на некоторую область ∆ комплексной плоскости z с внутренней точкой z0 .

Пустьγ1 = γ ∩∆, ∆1 = ∆∩D, ∆2 = ∆\(∆1 ∪γ1 ). Дуга γ1 является, очевидно,образом интервала (t0 −δ, t0 +δ) при отображении z = z(ζ).Функция ϕ(ζ) = f [ z(ζ) ], как суперпозиция двух аналитическихфункций, аналитична в верхнем полукруге | ζ −t0 | < δ, =mζ > 0, непрерывна вплоть до интервала (t0 − δ, t0 + δ), а в интервале (t0 − δ, t0 + δ)принимает те же значения F (t), что и функция F (ζ). По граничнойтеореме единственности ϕ(ζ) = F (ζ) в полукруге | ζ −t0 | < δ, =mζ > 0,следовательно, функция ϕ(ζ) может быть аналитически продолжена изверхнего полукруга в нижний через интервал (t0 −δ, t0 + δ) с помощью135функцииχ(ζ) =(f [ z(ζ) ], если | ζ −t0 | < δ, =mζ ≥ 0,F (ζ),если | ζ −t0 | < δ, =mζ < 0.Это, в свою очередь, означает, что функция f (z) может быть аналитически продолжена из области ∆1 в область ∆2 через дугу γ1 , и этоаналитическое продолжение осуществляет функция(f (z),z ∈ ∆1 ∪ γ1 ,g(z) = χ [ ψ −1 (z) ] =F [ ψ −1 (z) ], z ∈ ∆2 .В силу произвольности точки z0 отсюда следует, что функция f (z)может быть аналитически продолжена из области D через дугу γ.4.2.

Теорема Римана о конформном отображенииодносвязных областей1. Предварительные замечания. Выше было показано, что конформное отображение осуществляется однолистной аналитическойфункцией. При изучении задачи построения конформого отображенияодной односвязной области D на другую область D1 , в предположении, что одна из областей, например, D1 ограничена, надо исключитьслучаи, когда D есть расширенная комплексная плоскость или расширенная комплексная плоскость с выколотой точкой.В самом деле, если область D является расширенной комплекснойплоскостью или комплексной плоскостью (к последнему случаю с помощью дробно-линейного преобразования сводится случай расширеннойкомплексной плоскости с выколотой конечной точкой), то функция w =f (z), конформно отображающая D на D1 , должна быть целой и ограниченной.

Но в силу теоремы Лиувилля такая функция постоянна и,следовательно, не может осуществлять искомого конформного отображения.Не ограничивая общности, можно считать, что область D лежитв круге | z | < 1. Действительно, в противном случае, если область Dограничена, т. е. лежит в некотором круге | z | < R, то ее можно отобразить на лежащую в единичном круге область с помощью линейногоzпреобразования . Если же область D не ограничена и имеет внешR136ние точки, то она отображается на ограниченную область преобразо1ванием, где a — внешняя точка области D.

Пусть, наконец, обz−aласть D не ограничена и не имеет внешних точек. Ее граница содержит по крайней мере две точки a и b и в силу односвязности области D представляет собой связное замкнутое множество. Поэтому в области D можно выделить аналитическую ветвь двузначной функцииr√z−aпри a, b ∈ C ( z−a при a ∈ C, b = ∞), которая отобразит Dz−bна область ∆, внешними точками которой являются все точки области ∆∗ — образа области D при отображении другой ветвью указаннойдвузначной функции (заметим, что область ∆∗ может быть полученаиз ∆ поворотом вокруг нуля на угол π). Таким образом, любую односвязную область, имеющую не менее двух граничных точек, можноконформно отобразить на область, лежащую в единичном круге.Далее, достаточно ограничиться случаем, когда область D1 естькруг | w | < 1.

Действительно, если существуют конформные отображения ζ = ϕ(z) области D на круг | ζ | < 1 и ω = ψ(w) области D1 накруг | ω | < 1, то функция w = ψ −1 [ ϕ(z) ] будет конформно отображатьобласть D на D1 .Заметим, что если существует одно конформное отображение w == f (z) области D на круг |w| < 1, то множество таких отображенийf (z) − w0бесконечно, так как вместе с f (z) все функции вида eiθ, где1 − w 0 f (z)θ и w0 — произвольные соответственно действительная и комплекснаяпостоянные, | w0 | < 1, тоже конформно отображают область D на единичный круг.Точку z0 ∈ D вместе с выходящим из нее направлением будем называть л и н е й н ы м э л е м е н т о м, а конформное отображение области Dна область D1 , переводящее заданный линейный элемент из D в заданный линейный элемент из D1 , — н о р м а л и з о в а н н ы м к о н ф о р м н ы м о т о б р а ж е н и е м.При этом фраза «при отображении w = f (z) точка z0 и выходящее из нее направление α переходит в точку w0 и выходящее из неенаправление β» означает, что f (z0 ) = w0 , а любая проходящая черезточку z0 гладкая кривая γ, касательная к которой в этой точке образует с действительной осью угол α, переходит в проходящую через точ-137ку w0 гладкую кривую σ, касательная к которой в точке w0 образуетс действительной осью угол β.

Учитывая геометрический смысл аргумента производной, второе условие можно записать в виде равенстваarg f 0 (z0 ) = β −α, а условия нормализованности — в видеf (z0 ) = w0 ,arg f 0 (z0 ) = β − α.(4.7)Наконец, не ограничивая общности, можно также считать, что точкаz = 0 принадлежит области D, а условия нормализованности имеют видf (0) = 0,f 0 (0) > 0.(4.8)В самом деле, если условия нормализованности отображения w = f (z)имеют вид (4.7), то функция ω = φ(ζ) = h{f [ g −1(ζ) ]}, гдеζ = g(z) = e−iαz−z0,1− z 0 zω = h(w) = e−iβw−w0,1− w0 wуже будет удовлетворять условиям φ(0) = 0, φ0 (0) > 0, так какφ(0) = h{f [ g −1 (0) ]} = h [ f (z0 ) ] = h(w0 ) = 0,аφ0 (0) = h0 (w0 )f 0 (z0 )(g −1)0 (0) =так чтоh0 (w0 )f 0 (z0 ),g 0 (z0 )arg φ0 (0) = arg h0 (w0 ) + arg f 0 (z0 ) − arg g 0 (z0 ),откуда в силу (1.34) и второго из условий (4.7) получимт. е.

φ0 (0) > 0.arg φ0 (0) = −β + (β − α) − (−α) = 0,2. Вспомогательные утверждения. При доказательстве существования и единственности нормализованного конформного отображенияодносвязной области на единичный круг (теоремы Римана) нам понадобятся еще несколько утверждений и среди них следующее.Теорема Гурса. Если последовательность однолистных аналитических в области D ⊂ C функций f1 (z), f2 (z), . . . внутри D равномерносходится к функции f (z), отличной от постоянной, то функция f (z)тоже аналитична и однолистна в области D.138Доказательство. Из первой теоремы Вейерштрасса следует, чтопредельная функция f (z) аналитична в области D. Предположим отпротивного, что функция f (z) не однолистна в D, т. е. что существует по крайней мере две различные точки z1 и z2 области D, в которых f (z) принимает одно и то же значение a. Поскольку функцияf (z) аналитична и не постоянна, то в силу внутренней теоремы единственности в каждой замкнутой подобласти области D число точек z,в которых f (z) = a, конечно,поэтому в области D можно указать замкнутую кусочно-гладкую кривую γ, на которой f (z) 6= a, и такую,что ограниченная ею область Dγ ⊂ D содержит точки z1 , z2 и не содержит других точек z, в которых f (z) = a.

Поскольку непрерывная назамкнутом множестве γ функция f (z) 6= a, тоmin | f (z) − a | = m > 0,z ∈γ(4.9)а так как последовательность {fn (z)} равномерно сходится на γ к f (z),существует такое натуральное число N = N(m), что при n > N и z ∈ γимеем| fn (z) − f (z) | < m.(4.10)Из (4.9) и (4.10) следует, что при n > N и z ∈ γ имеет место неравенство| fn (z)−a − [ f (z)−a ] | < | f (z)−a |,откуда по теореме Руше заключаем, что при n > N функции fn (z)−aимеют в области Dγ , как и функция f (z) − a, два нуля.

Но поскольку [ fn (z) − a ]0 = fn0 (z) 6= 0 в силу однолистности функций fn (z), товсе нули функций fn (z) − a простые, т. е. функции fn (z) при n > Nпринимают в области Dγ значение a в двух разных точках, что противоречит их однолистности. Полученное противоречие доказывает однолистность функции f (z) в области D.Лемма Шварца. Если функция f (z) аналитична в круге | z | < 1 иf (0) = 0,(4.11)| f (z) | < 1 при | z | < 1,(4.12)то | f (z) | ≤ | z | при | z | < 1 и | f 0 (0) | ≤ 1.

Характеристики

Список файлов лекций