1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

. . , rk . Диагональная последовательность {fn, n (z)}, как содержащаяся, исключая конечное число первых членов, в любой из последовательностей {fn, k (z)}, сходится во всехточках r1 , r2 , . . ., т. е. во всех точках области D с рациональными координатами.30 . В заключение покажем, что полученная диагональная последовательность {fn, n (z)} является искомой, т. е. она равномерно сходитсявнутри области D. Действительно, пусть K — произвольное замкнутое множество, K ⊂ D.

Обозначим через G конечное покрытие множе-ства K кругами C(ρ, z), 0 < ρ < ρ (K, ∂D), z ∈ K. Очевидно, G⊂ D, апоскольку семейство M равностепенно непрерывно на G , то для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любых точек z1 , z2 ∈ G,удовлетворяющих условию | z1 −z2 | < 2δ, при всех n ∈ N имеем:ε| fn, n (z1 ) − fn, n (z2 ) | < .3(2.59)Покроем плоскость z квадратной сеткой со сторонами длины δ и обозначим замкнутые квадраты, содержащие точки множества K, число80которых в силу ограниченности K конечно, через ∆l , l = 1, 2, .

. . , p.В каждом квадрате ∆l выберем по одной точке rk с рациональнымиlкоординатами, принадлежащей G. В силу сходимости в них последовательности {fn, n (z)}, для того же ε > 0, что и в (2.59), найдем такоеN > 0, чтоε| fm, m (rk ) − fn, n (rk ) | <(2.60)ll3при m, n > N для всех l = 1, 2, . . . , p.Пусть теперь z — произвольная точка множества K. Она лежит внекотором замкнутом квадрате ∆l . Расстояние точки z до лежащей вэтом же квадрате точки rk меньше 2δ, поэтому в силу (2.59) имеем:lε| fm, m (z) − fm, m (rk ) | < ,l3ε| fn, n (z) − fn, n (rk ) | < .l3(2.61)Складывая все неравенства (2.60) и (2.61), в силу неравенства треугольника получаем при m, n > N:| fm, m (z) − fn, n (z) | < ε.Так как число N одно и то же для всех точек z ∈ K, то согласно критерию Коши это доказывает, что последовательность {fn,n (z)}равномерно сходится на множестве K к конечной функции, которая попервой теореме Вейерштрасса будет аналитической в области D.2.9.

Интегральные формулы Шварца и ПуассонаПусть функция f (z) аналитична в круге C(R, z0 ) и непрерывна вC(R, z0 ). Обозначив через Γ окружность | t−z0 | = R, в силу интегральной формулы Коши будем иметь:1f (z) =2πiZf (t) dtt−z,z ∈ C(R, z0 ),(2.62)ΓZΓf (t) dt= 0,t−z ∗z ∗ = z0 +R2z − z0,z ∈ C(R, z0 ).(2.63)Полагая t−z0 = Reiϕ и переходя в (2.63) к сопряженным величинам сучетом того, что81dt = iReiϕ dϕ = i (t−z0 ) dϕ,иполучимdt = −i (t−z 0 ) dϕ = −z∗ = z0 +t−z 0dtt−z0(t−z0 )(t−z 0 ),z−z0t−z 0dtt−z0f (t) dt==−t−z0 t−z ∗(t−z)1−0ΓΓz−z0ZZZf (t)(z−z0 ) dtf (t) dtf (t) dt==−= 0,(t−z0 )(t−z)t−zt−z0Zf (t)ZΓΓΓи поскольку из (2.62) при z = z0 следует, что1f (z0 ) =2πiZΓf (t) dt1=t−z02πZ2πZf (t) dt1,f (t) dϕ =2πit−z00Γотсюда получаем равенство1f (z0 ) =2πiZf (t) dt,t−zz ∈ C(R, z0 ).(2.64)ΓСложив равенства (2.62) и (2.64) и положив <ef (t) = u(t), получимZ1u(t) dtf (z) + f (z0 ) =.(2.65)πit−zΓПоскольку из (2.65) при z = z0 следует, чтоZu(t) dt1,u(z0 ) =2πit−z0Γто (2.65) можно записать в видеZZ1u(t) dtu(t) dt1−+ iCf (z) =πit−z2πit−z0ΓΓилиZt−2z0 +z1f (z) =u(t) dt + iC, C = =mf (z0 ).2πi(t−z0 )(t−z)Γ82(2.66)Равенство (2.66), выражающее значения аналитической в кругеC(R, z0 ) и непрерывной в C(R, z0 ) функции f (z) через значения действительной части этой функции на окружности | t−z0 | = R, называетсяи н т е г р а л ь н о й ф о р м у л о й Ш в а р ц а.

Применяя формулу (2.66) кфункции f (z)/i, можно получить выражение функции f (z) через значения ее мнимой части на окружности | t−z0 | = R.Полагая z−z0 = reiψ и отделяя действительные части в (2.66), получимZt−z0 +z−z01u(t) dt =u(z) = <e2πi(t−z0 )[ t−z0 −(z−z0 ) ]Γ1=2πZ2πReiϕ + reiψ<e iϕu (z0 + Reiϕ ) dϕ,Re − reiψ0или1u(z) =2πZ2π0(R2 − r 2 ) u (z0 + Reiϕ )dϕ.R2 − 2Rr cos (ψ−ϕ) + r 2(2.67)Это — ф о р м у л а П у а с с о н а.2.10. Функции класса ГельдераГоворят, что заданная на связном множестве E функция f (z)у д о в л е т в о р я е т н а E у с л о в и ю Г е л ь д е р а (условию H), если существуют такие положительные числа A и µ, 0 < µ ≤ 1, что| f (z1 ) − f (z2 ) | ≤ A | z1 −z2 | µдля любых точек z1 , z2 из E.

Число A называетсся к о э ф ф и ц и е н т о м,а µ — п о к а з а т е л е м условия H. Если требуется явно указать µ, тоговорят, что функция f (z) удовлетворяет условию H(µ). Значение коэффициента A нас обычно не будет интересовать.Приведем некоторые свойства функций, удовлетворяющих условиюГельдера.10 . Если множество E о г р а н и ч е н о и функция f (z) удовлетворяетна E условию H(µ), то она удовлетворяет и условию H(ν) при всякомν ∈ (0, µ).Действительно, в этом случае| f (z1 )−f (z2 ) | ≤ A | z1 −z2 | µ = A | z1 −z2 | µ − ν | z1 −z2 | ν ≤ A1 | z1 −z2 | ν ,83где A1 = A d µ − ν , а d =sup | z1 −z2 | — диаметр множества E.z1 ,z2 ∈ EВ дальнейшем мы будем пользоваться условием H главным образомдля функций точки t заданной замкнутой гладкой кривой Жордана Γ.20 .

Если функция ϕ(t) имеет на гладкой кривой Γ : t = t(s),0 ≤ s ≤ L, ограниченную производную по t, т. е. существует пределlimt1 → tt1 , t∈Γϕ(t1 ) − ϕ(t)t1 −t= ϕ0 (t) и | ϕ0 (t) | ≤ M,t ∈ Γ,то ϕ(t) удовлетворяет на Γ условию H(1).Действительно, полагая ϕ [ t(s) ] = u(s) + iv(s), применяя к дифференцируемым в силу гладкости кривой Γ функциям u(s), v(s) теоремуо среднем значении и принимая во внимание соотношения (0.16) и (0.27)(см. «Введение»), получим√2M| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ≤| t1 −t2 |.k0Отсюда следует, что аналитическая в области D функция f (z) удовлетворяет условию H(1) в любой замкнутой подобласти D 1 ⊂ D, поскольку любые точки z1 , z2 из D можно соединить гладкой линией γ ⊂D 1 ипроизводная f 0 (z) ограничена в D 1 .30 . Если функция ϕ(t) удовлетворяет условию| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ≤ A | t1 −t2 | µ(2.68)в любых точках t1 и t2 кривой Γ, для которых | t1 −t2 | ≤ δ, где δ —некоторое положительное число, то она удовлетворяет условию H(µ) навсей кривой Γ.В самом деле, если | t1 −t2 | > δ и | ϕ(t) | ≤ M на Γ, то| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ≤ 2M <2M| t −t | µ ,δµ 1 2поэтому для любых точек t1 , t2 на Γ функция ϕ(t) будет удовлетво 2M 0рять условию H(µ) с коэффициентом A = max A, µ .δ40 .

В силу соотношения (0.27) условие H(µ) эквивалентно условию| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ≤ A [ σ(t1 , t2 ) ] µ = A | s1 −s2 | µ .84(2.69)50 . На основании двойного неравенства (0.24) и свойств 30 , 40 заключаем, что условие H(µ) эквивалентно требованию, чтобы на каждой_стандартной дуге ab кривой Γ выполнялось неравенство| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ≤ A | r1 − r2 | µ ,(2.70)где r1 = | t1 −a |, r2 = | t2 −a |.В неравенствах (2.68) – (2.70) под A можно понимать одну и ту жевеличину, так как при необходимости в некоторых из них величину Aможно заменить большей.В дальнейшем нам понадобятся следующие неравенства.Для любых положительных чисел σ1 , σ2 и µ, 0 ≤ µ ≤ 1, имеемσ1µ + σ2µ ≤ 2 1−µ (σ1 + σ2 ) µ ,(2.71)| σ1µ − σ2µ | ≤ | σ1 − σ2 |µ .(2.72)Считая σ1 ≥ σ2 , что не ограничивает общности, и полагая σ =дим к неравенствам1 + σµ≤ 2 1−µ(1 + σ) µ(0 ≤ σ ≤ 1),σ2, прихоσ11 − σµ≤ 1 (0 ≤ σ < 1),(1 − σ) µсправедливость которых устанавливается путем определения максимумов функций переменного σ, стоящих в левых частях.Далее, при x ≥ 0 и 0 ≤ µ ≤ 1 имеет место неравенство(1 + x) µ − 1 ≤ µx,(2.73)так как для функции f (x) = (1+x) µ − 1 − µx имеемf (0) = 0,f 0 (x) = µ [ (1 + x) µ−1 − 1 ] ≤ 0.Функцию, удовлетворяющую на гладкой кривой Γ условию H(µ),будем называть еще п р и н а д л е ж а щ е й к л а с с у H(µ) на Γ, или,если не требуется указания значения µ, — к л а с с у H._60 .

Пусть разомкнутая гладкая кривая ab разбита точкой t0 на две___части: at0 и t0 b. Если функция ϕ(t) непрерывна на ab и ϕ(t) ∈ H(µ)___на at0 и t0 b, то ϕ(t) ∈ H(µ) и на ab.85__Действительно, если t1 ∈ at0 , t2 ∈ t0 b и σ1 = σ(t1 , t0 ), σ2 = σ(t0 , t2 ), тов силу (2.71) получим| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ≤ | ϕ(t1 ) − ϕ(t0 ) | + | ϕ(t0 ) − ϕ(t2 ) | ≤≤ A (σ1µ + σ2µ ) ≤ 2 1−µ A (σ1 + σ2 ) µ = 2 1−µ A σ µ (t1 , t2 ).Ясно также, что если функция ϕ(t) непрерывна на замкнутой гладкойкривой Γ и ϕ(t) ∈ H(µ) на дугах γ1 и γ2 , на которые Γ разбиваетсядвумя точками, то ϕ(t) ∈ H(µ) и на Γ.70 .

Если ϕ(t) ∈ H(µ), ψ(t) ∈ H(ν) на Γ, то функции ϕ(t) + ψ(t),ϕ(t)·ψ(t) принадлежат классу H(λ) на Γ, где λ = min (µ, ν).Для суммы это утверждение очевидно, а для произведения оно следует из неравенства| ϕ(t1 )ψ(t1 ) − ϕ(t2 )ψ(t2 ) | ≤ | ψ(t1 ) |·| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ++ | ϕ(t2 ) |·| ψ(t1 ) − ψ(t2 ) | .80 . Пусть ϕ(t) ∈ H(µ) на Γ, 0 ≤ λ < µ ≤ 1, t0 — произвольнаяфиксированная точка на Γ иϕ(t) − ϕ(t0 ), t 6= t0 ,ψ(t) =| t−t0 | λ0,t = t0 .Тогда ψ(t) ∈ H(µ−λ) на Γ.Действительно, пусть γ — стандартная дуга с концами a, b, вырезаемая из Γ стандартным кругом радиуса δ с центром в точке t0 .В силу 60 можно ограничиться случаем, когда t находится на части__t0 b дуги γ.

Положение точки t на дуге t0 b однозначно определяется∼величиной r = | t−t0 |, поэтому, полагая ψ (r) = ψ(t), ω(r) = ϕ(t) − ϕ(t0 )и считая h > 0 (что не ограничивает общности), будем иметь ω(r + h) ω(r) | ψ (r + h) − ψ (r) | = −≤λλ(r + h)r| ω(r + h) − ω(r) |(r + h) λ − r λ≤+ | ω(r) |.(r + h) λr λ (r + h) λ∼∼86(2.74)Обозначим последние два слагаемые соотношения (2.75) соответственно через ∆1 и ∆2 .

Ввиду того, что ω(r) ∈ H(µ), имеем h λhµ∆1 ≤ A1h µ −λ < A h µ −λ .(2.75)=Ar+h(r + h) λЧтобы оценить ∆2 , воспользуемся неравенством | ω(r) | ≤ A r µ ирассмотрим два возможных случая: r ≤ h и r > h. При r ≤ h в силу(2.72) получим h λr µ −λ ≤ A h µ −λ ,(2.76)∆2 ≤ Ar+hа при r > h в силу (2.73) будем иметьhih λµ−λ1+Ar−1 h 1 + λ − µr∆2 ≤h µ −λ < Ah µ −λ . (2.77)< Aλrh λ1+rВ силу (2.75) – (2.77) из (2.74) получаем∼∼| ψ (r + h) − ψ (r) | ≤ 2A h µ −λ ,следовательно, согласно 50 функция ψ(t) ∈ H(µ−λ) на γ.Перейдем к рассмотрению функции ψ(t) на части Γ \ γ кривой Γ :t = t(s) = x(s) + iy(s), где s — длина дуги кривой Γ, отсчитываемая вположительном направлении.

Будем считать, что t(0) = a, t0 = t(s0 ) == x0 + iy0 . Положив ρ = r −λ , где r = | t−t0 | на Γ \γ, получим dρ dρ = = λr −λ−2 | [ x(s) − x0 ] x0 (s) + [ y(s) − y0 ] y 0 (s) | ≤dtds≤ λr −λ−1 ≤ λδ −λ−1 .Поэтому согласно 20 , 70 и 10 функция ψ(t) ∈ H(µ) ⊂ H(µ−λ) на Γ \γ.Таким образом, в силу 60 функция ψ(t) ∈ H(µ) ⊂ H(µ−λ) и на Γ.90 . Пусть ϕ(t) ∈ H(µ) на Γ, t0 — некоторая фиксированная точкакривой Γ, ω (t) — ограниченная на Γ функция, | ω (t) | < M, имеющаяпроизводную по t всюду, кроме, быть может, точки t = t0 , удовлетворяю dω щую условиюC,(2.78)≤dt| t−t0 |где C — некоторая постоянная, ψ(t) = [ ϕ(t) − ϕ(t0 ) ] ω(t).

Характеристики

Список файлов лекций