1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Рис. 5), тоznwn 0arg z (t0 )rγΓ arg f 0 (z )0w0 r @@ arg w 0 (tz00)Рис. 5а р г у м е н т п р о и з в о д н о й аналитической функции f (z) р а в е ну г л у п о в о р о т а кривой γ в точке z0 при отображении с помощьюфункции w = f (z).37Пусть теперь γ1 — отличная от γ гладкая кривая Жордана, проходящая через точку z0 , а Γ1 = f (γ1 ) — ее образ. Очевидно, что криваяγ1 в точке z0 поворачивается при отображении w = f (z) на тот же угол(равный arg f 0 (z0 )), что и кривая γ, поэтому угол между кривыми γ иγ1 в точке z0 равен углу между их образами Γ и Γ1 в точке w0 = f (z0 ).Другими словами, в каждой точке z ∈ D, в которой f 0 (z) 6= 0, при отображении с помощью функции w = f (z) имеет место к о н с е р в а т и з му г л о в.К о н ф о р м н ы м о т о б р а ж е н и е м области D называется топологическое, т.

е. взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображениеэтой области, при котором в каждой точке z ∈ D имеет место консерватизм углов и постоянство искажения.Из геометрического смысла модуля и аргумента производной непосредственно следует справедливость утверждения: если функция w == f (z) осуществляет отображение, обладающее в каждой точке zобласти D консерватизмом углов и постоянством искажения, то онааналитична в D, причем f 0 (z) 6= 0.В силу последнего утверждения конформное отображение осуществляется однолистной аналитической функцией w = f (z) с производной f 0 (z) 6= 0.Позже будет доказано, что у однолистной аналитической в областиD функции f (z) производная f 0 (z) 6= 0 всюду в D. Тогда обратнаяфункция z = f −1 (w) обладает на множестве f (D) отличной от нуля производной, а следовательно, является и непрерывной функцией.

Отсюда,ввиду сказанного при обсуждении вопроса об обращении функции комплексного переменного, следует утверждение: однолистная аналитическая функция w = f (z) конформно отображает область своего заданияD на некоторую область D1 плоскости w, причем обратная функцияf −1 (w) однолистна и аналитична в D1 .Рассмотрим теперь отображение с помощью функции w = f (z), гдеf (z) осуществляет конформное отображение области D. Очевидно, чтопри этом отображении в каждой точке z ∈ D имеет место постоянство искажения, а углы сохраняются по абсолютной величине, но меняют знак.

Такое отображение называется к о н ф о р м н ы м в т о р о г ор о д а или а н т и к о н ф о р м н ы м, а осуществляющая его функция— а н т и а н а л и т и ч е с к о й. В терминах формальных производных этоозначает, что wz = 0 в области D.38Главная линейная часть приращения аналитической в области Dфункции w = f (z)ω − w0 = f 0 (z0 )(z − z0 )(1.15)обладает тем свойством, что при f 0 (z0 ) 6= 0 она переводит окружность| z−z0 | = r в окружность | ω − w0 | = ρ = | f 0 (z0 ) | r с сохранением направления обхода.

Это следует из того, что в силу (1.15)| ω − w0 | = | f 0 (z0 ) |·| z − z0 |,arg (ω − w0 ) = arg f 0 (z0 ) + arg (z − z0 ).Обратно, если частные производные ux , uy , vx , vy непрерывны иглавная линейная часть приращения функции f (z)ω − w0 = fz0 (z − z0 ) + fz (z − z 0 ),0где∂f fz0 =,∂z z =z0(1.16)∂f fz =,0∂z z =z0переводит окружность с центром в каждой точке z0 ∈ D в окружностьс центром в точке w0 = f (z0 ), то функция f (z) аналитична либо антианалитична в D.В самом деле, в силу (1.16) имеем(1.17)| ω − w0 |2 = |fz0 |2 + |fz |2 |z − z0 |2 + 2<e fz0 fz (z − z0 )2 .00Так как по условию окружность | z − z0 | = r переходит в окружность| ω − w0 | = ρ, то в равенстве (1.17) мы должны иметь fz0 fz = 0; при0этом либо fz = 0, fz0 6= 0, либо fz0 = 0, fz 6= 0, ибо одновременное00выполнение равенств fz0 = 0, fz = 0 означает, что окружность | z−z0 | =0= r переводится главной линейной частью приращения функции f (z) вточку w = w0 .Пусть в некоторой точке z0 ∈ D имеем первый случай: fz = 0,0fz0 6= 0.

Докажем, что тогда функция f (z) аналитична в области D.Действительно, пусть E = {z ∈ D : fz = 0} = {z ∈ D : fz 6= 0}, E1 == {z ∈ D : fz = 0} = {z ∈ D : fz 6= 0}. Ясно, что E ∪E1 = D, E ∩E1 = ∅.39Далее, в силу непрерывности частных производных ux , uy , vx , vy формальные производные fz , fz тоже непрерывны в области D. Нам надодоказать, что E = D.

Поскольку E 6= ∅, то для этого достаточно показать, что ∂E ∩ D = ∅. Предположим, от противного, что ∂E ∩ D 6= ∅и z∗ ∈ ∂E ∩D. Тогда, если z∗ ∈ E, т. е. fz ∗ = 0, то по определению граничной точки z∗ является предельной точкой множества E1 , а в силунепрерывности fz отсюда следует, что и fz∗ = 0, что невозможно; еслиже z∗ ∈ E1 , т. е. fz∗ = 0, то z∗ будет предельной точкой множества E,а значит, и fz ∗ = 0, что тоже невозможно. Таким образом, в рассмотренном случае f (z) будет аналитической в области D функцией.Во втором случае, когда E1 ∩D 6= ∅, таким же образом доказываетсяантианалитичность функции f (z) в области D.1.4.

Обращение некоторых элементарных функций.Понятия римановой поверхности и точкиветвленияКогда речь идет об обращении аналитической функции, следует выяснить, в каких областях она однолистна.О б л а с т ь ю о д н о л и с т н о с т и аналитической в области D функции f (z) называется любая м а к с и м а л ь н а я п о д о б л а с т ь ∆ ⊂ D,в к о т о р о й f (z) о д н о л и с т н а, т.е.

такая подобласть ∆, что не существует другой подобласти ∆1 ⊃ ∆, в которой эта функция однолистна.Для того чтобы найти область однолистности с т е п е н н о й функцииw = zn,(1.18)где n — натуральное число, n > 1, рассмотрим значения z1 = |z1 |eiϕ1и z2 = |z1 |eiϕ2 , ϕ2 6= ϕ1 + 2mπ, m ∈ Z, переменного z (поскольку при|z2 | =6 |z1 | получим |z1 |n 6= |z2 |n и следовательно, z1n 6= z2n ). Так какдля разности соответствующих значений w1 и w2 имеем w1 − w2 == |z1 | einϕ1 − einϕ2 , то w1 = w2 при ϕ2 6= ϕ1 + 2mπ только тогда, когда2π2kπϕ2 = ϕ1 + n (k 6= mn). Следовательно, всякий угол раствора n свершиной в точке z = 0 будет областью однолистности функции (1.18).Разделим комплексную плоскость z на n областейDk :2kπ2(k +1)π< arg z <, k = 0, 1, . .

. , n −1.nn40Каждый луч arg z = c функция (1.18) переводит в луч arg w = nc,а значит, область Dk — в область ∆, представляющую собой плоскость w без луча w ≥ 0 или, как еще принято говорить, плоскостьw с разрезом вдоль луча w ≥ 0. При этом граничные лучи arg z =2(k+1)π2kπ= n и arg z =области Dk переходят соответственно в верхnний и нижний края разреза области ∆.Так как w 0 = nz n−1 6= 0 при z ∈ Dk , то каждая из областей Dk , какобласть однолистности функции (1.18), конформно отображается ею наобласть ∆.

Обратную функцию, определеннуюв ∆, значения которой 1лежат в Dk , обозначим через zk = w n1zk = |w| n eiarg w+2kπn,k. Очевидно, что0 < arg w < 2π.Рассматривать каждую из функций zk как отдельную функцию нецеπлесообразно, потому что, например, область D : | arg z| < n , также являющаяся областью однолистности функции (1.18), отображается этойфункцией на плоскость w с разрезом вдоль луча w ≤ 0, а обратнаяarg wфункция11z = w n = |w| n ei n , | arg w| < π,при 0 < arg w < π совпадает с z0 , а при −π < arg w < 0 — c zn−1 .Поэтому функции zk называют в е т в я м и многозначной функции z =1= w n . Каждая функция zk аналитична в ∆, причемdzk1 h 1 i1−n11 1nwwn .= n−1 ==dwnznnwkkkПри отображении (1.18) во взаимно однозначном соответствии находятсялишь точки z = 0, w = 0 и z = ∞, w = ∞, каждой же точке w 6= 0, ∞ставится в соответствие n точек zk , k = 0, 1, .

. . , n −1.41Будем говорить, что осуществляемое функцией (1.18) отображениепри n > 1 является м н о г о л и с т н ы м (n-листным). Чтобы раскрытьсущность такого названия и наглядно представить это отображение, рассмотрим наложенные друг на друга n листов области ∆ : ∆0 , ∆1 , . . . ,∆n−1 , где область ∆k поставлена в соответствие области Dk . Отождествим или, как еще говорят, склеим нижний край разреза области ∆0 сверхним краем разреза области ∆1 , свободный нижний край разреза области ∆1 с верхним краем разреза области ∆2 и т. д., свободный нижний край разреза области ∆n−1 со свободным верхним краем разрезаобласти ∆0 . Полученная n-листная область называется р и м а н о в о й1поверхностьюмногозначной функции z=w n . Соотношение (1.18) осуществляет взаимно однозначное соответствие междурасширенной комплексной плоскостью z и римановой поверхностью1n-значной функции z = w n , которое является конформным всюду, кроме точек z = 0 и z = ∞.

Точки w = 0 и w = ∞ — образы точек z = 0 иz = ∞ — обладают следующим свойством: если, выйдя из фиксированнойточки w ∈ C ∗ , обойти, например, вокруг точки w = 0 против часовойстрелки m раз, то при возвращении в эту точку происходит переход отзначения ветви zk в точке w к значению ветви zk+m в этой же точке.Аналогично дело обстоит и с точкой w = ∞.Точка, обход вокруг которой в достаточно малой ее окрестности приводит к другому значению функции при непрерывном ее изменении, называется т о ч к о й в е т в л е н и я этой многозначной функции.Заметим, что при m = n получим zk+n = zk , а точки w = 0 и w = ∞называются а л г е б р а и ч е с к и м и точками ветвления п о р я д к а n−11многозначной функции z = w n .1В заключение отметим, что ветви zk n-значной функции z = w nможно также определить соотношениями1zk = |w| n eiarg wn ,2kπ < arg w < 2(k +1)π,и тогда листы ∆k , из которых строится риманова поверхность много1значной функции z = w n , определятся как∆k :2kπ < arg w < 2(k +1)π, k = 0, 1, .

. . , n −1.42Такое определение листов ∆k более наглядно объясняет принципсклеивания, соответствующий теперь непрерывному изменению arg wпри переходе с листа ∆k на лист ∆k+1 , k = 0, 1, . . . , n −1, ∆n = ∆0 .Так как для э к с п о н е н ц и а л ь н о й ф у н к ц и иw = ez(1.19)zzиз равенства e 1 = e 2 следует, что z = z +2kπi, то областью ее одно21листности является, например, любая полоса ширины 2π, параллельнаядействительной оси.Разделим плоскость z на совокупность полосGk :2kπ < =mz < 2(k +1)π, k = .

. . , −1, 0, 1, . . .При отображени с помощью функции (1.19) прямая =mz = c переходит в0луч arg w = c. Ввиду того, что ez = ez 6= 0, функция (1.19) осуществляетконформное отображение области Gk на рассмотренную выше область∆, причем прямые =mz = 2kπ и =mz = 2(k+1)π, составляющие границуобласти Gk , переходят соответственно в верхний и нижний края разрезаобласти ∆.Соотношение (1.19) равносильно равенствам | w | = e<ez и arg w == =mz+2kπ, k ∈ Z. Следовательно, для обратной функции zk = (log w)kв ∆, значения которой лежат в области Gk , в рассматриваемом случаеимеемzk = (log w)k = log |w| + i arg w + 2kπi, 0 < arg w < 2π, k ∈ Z.Многозначная функция, обратная экспоненциальной, называетсял о г а р и ф м и ч е с к о й ф у н к ц и е й, и для нее мы будем пользоватьсяобозначением z = Log w. Так как все ветви zk , k ∈ Z, различны, функция z = Log w бесконечнозначна или, как еще говорят, функция w = ezб е с к о н е ч н о л и с т н а.Взяв бесконечное можество листов ∆ : .

. . , ∆−1 , ∆0 , ∆1 , . . ., наложенных друг на друга, склеив нижние края разрезов областей ∆k , соответствующих областям Gk , с верхними краями разрезов областей ∆k+1и исключив точку w = 0, получим риманову поверхность многозначнойфункции z = Log w. Экспоненциальная функция (1.19) конформно отображает плоскость z на полученную риманову поверхность.Так как при обходе вокруг точки w = 0 любое число раз все времяпроисходит переход к новым ветвям многозначной функции z = Log w,43то w = 0 является точкой ветвления — она называется т р а н с ц е нд е н т н о й точкой ветвления.

Очевидно, что таковой является такжеточка w = ∞.Для любого комплексного числа α степенную функцию с показателем α и показательную функцию с основанием α определим соответственно соотношениямиz α = eα Log z и αz = ez Log α .1.5. Дробно-линейное отображениеУсловие однолистности дробно-линейной функцииaz + bcz + d(1.20)ad − bc 6= 0.(1.21)w=заключается в том, чтобыВ самом деле, при различных значениях z1 и z2 переменного z дляразности соответствующих значений w1 и w2 функции (1.20) имеемw1 − w2 =(ad − bc)(z1 − z2 )(cz1 + d)(cz2 + d),(1.22)что при условии (1.21) дает однолистность осуществляемого функцией(1.20) отображения на расширенной комплексной плоскости z.При рассмотрении дробно-линейной функции (1.20) случай одновременного обращения в нуль постоянных c и d, очевидно, исключается,во всех же остальных случаях нарушение условия (1.21) означает, чтоэта функция постоянна.

Характеристики

Список файлов лекций