1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (538304), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Так, равенство sin z = 0 в силу (0.42) дает eiz −e−iz = 0 или e2iz = 1 = e2kπi , т. е. н у л и функции sin z имеют видπz = kπ, k = 0, ±1, . . . Аналогично получим, что cos z = 0 при z = + kπ.2Однако cos z и sin z н е о г р а н и ч е н ы на комплексной плоскости z.Например,| 2 cos z | 2 = eiz + e−iz e−iz + eiz = e−2y + e2y + 2 cos 2x → ∞при z → ∞ так, что | y | = | =mz | → ∞.Введем еще г и п е р б о л и ч е с к и е функцииchz =1 ze + e−z ,2shz =1 ze − e−z .2В силу (0.42) они связаны с тригонометрическими функциями соотношениямиcos iz = ch z, sin iz = i sh z.30Глава 1АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ1.1. Дифференцирование функции комплексногопеременного.

АналитичностьПусть w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) — функция, определенная в области D комплексной плоскости z.Говорят, что функция f (z) д и ф ф е р е н ц и р у е м а (м о н о г е н н а)в т о ч к е z ∈ D, если существует предел∆wf (z+∆z) − f (z)lim= lim, z+∆z ∈ D.∆z →0 ∆z∆z →0∆zЭтот предел называется п р о и з в о д н о й функции f (z) в точке z иобозначается через f 0 (z).Поскольку в случае моногенности функции f (z) предел f 0 (z) не зависит от способа стремления ∆z = ∆x+i∆y к нулю, то, положив сначала∆z = ∆x (∆y = 0), а потом ∆z = i∆y (∆x = 0), получимh u(x+∆x, y)−u(x, y)v(x+∆x, y)−v(x, y) i ∂u∂vf 0 (z) = lim= +i+i=∆x→0∆x∆x∂x∂xh u(x, y+∆y) − u(x, y) v(x, y+∆y) − v(x, y) i ∂v∂u= −i= lim+,∆y →0i∆y∆y∂y∂yоткуда∂v∂u=,∂x∂y∂u∂v=− .∂y∂x(1.1)Равенства (1.1) называются у с л о в и я м и К о ш и – Р и м а н а.Таким образом, если функция f (z) моногенна в точке z, то существуют частные производные ux , uy , vx , vy , которые связаны между собой условиями (1.1).Одного выполнения условий Коши – Римана недостаточно для моногенности f (z), что показывает пример функции1 − 4e z , z 6= 0,f (z) =(1.2) 0,z = 0.31Заметим сначала, что если для функции f (z) имеем f (0) = 0, то ееf (z)производную f 0 (0) можно вычислять как lim, поэтому для функz →0 zции (1.2) в точке z = 0, полагая z = x, а затем z = iy, получим:f (x)limx→0 xf (iy)limy →0 iy−1= lim ex→0 x1x4−1= limey →0 iy= ux + ivx = 0,1y4= vy − iuy = 0,т.

е. ux = uy = vx = vy = 0 в точке z = 0, и условия (1.1) выполнены, ноf (z) не моногенна, даже не непрерывна в точке z = 0, так как f [(1+i)x] =1= e 4x4 → ∞ при x → 0.Покажем, что при дополнительном требовании д и ф ф е р е н ц и р у ем о с т и функций u(x, y), v(x, y) в точке z выполнение условий Коши –Римана является и д о с т а т о ч н ы м для моногенности функции f (z) == u + iv в точке z.Действительно, в силу дифференцируемости функций u(x, y), v(x, y)в точке z имеем∂u∂u∂v∂v∆x +∆y + o(|∆z|), ∆v =∆x +∆y + o(|∆z|), (1.3)∂x∂y∂x∂yqгде |∆z| = (∆x)2 + (∆y)2 . Введя обозначения∆u =∂1 ∂∂ ,=−i∂z2 ∂x∂y∂1 ∂∂ =+i∂z2 ∂x∂yи учитывая, что1∆x = (∆z + ∆z),2∆y =(1.4)1(∆z − ∆z),2iравенства (1.3) можно записать в виде∆f = ∆u + i∆v = ∂u∂x+i ∂u∂v ∂v ∆x +∆y + o(∆z) =+i∂x∂y∂y∂f∂f∆z +∆z + o(∆z),=∂z∂z32(1.5)где∂f∂fивыражаются формулами∂z∂z ∂v ∂u i∂f1 h ∂u ∂v1 ∂∂ (u + iv) =,=−i++i−∂z2 ∂x∂y2 ∂x ∂y∂x ∂y ∂v ∂u i∂f1 h ∂u ∂v1 ∂∂ (u + iv) ==+i−+i+∂z2 ∂x∂y2 ∂x ∂y∂x ∂y(1.6)и называются ф о р м а л ь н ы м и п р о и з в о д н ы м и функции f (z) поz и z соответственно.Из (1.6) видно, что условия Коши – Римана в комплексной записи при∂fнимают вид= 0, поэтому из (1.5) получим существование предела∂z∂fo(∆z)∂f∆f=+ lim== f 0 (z) ,lim∆z →0 ∆z∂z ∆z →0 ∆z∂zчто и требовалось доказать.∆f∆f= f 0 (z) следует, что= f 0 (z) + η, гдеИз равенства lim∆z∆z →0 ∆zlim η = 0, поэтому для приращения ∆f функции w = f (z) в точке∆z →0z имеем∆w = ∆f = f 0 (z)∆z + η ∆z.Выражение f 0 (z)∆z — г л а в н а я л и н е й н а я (относительно ∆z)ч а с т ь п р и р а щ е н и я ∆f — называется д и ф ф е р е н ц и а л о мф у н к ц и и f (z) в точке z и обозначается через dw = d f (z) = f 0 (z)∆z.В частности, если f (z) = z, то d f = dz = ∆z, поэтому можно написатьd f (z) = f 0 (z) dzили f 0 (z) =d f (z).dzЗаметим, что все правила дифференцирования действительныхфункций действительного переменного переносятся на функции комплексного переменного.Функция f (z) называется а н а л и т и ч е с к о й в о б л а с т и D, еслиона м о н о г е н н а в к а ж д о й т о ч к е z ∈ D.Если мы будем говорить, что функция f (z) а н а л и т и ч н а в т о ч к еz, то под этим будем подразумевать, что она а н а л и т и ч н а в н е к от о р о й о к р е с т н о с т и этой точки.331.2.

Аналитичность суммы степенного рядаЗаметим сначала, что если R > 0 — радиус сходимости рядаS(z) =то радиус сходимости рядаS0 (z) =∞Xck z k ,(1.7)kck z k−1 ,(1.8)k=0∞Xk =1полученного из предыдущего почленным дифференцированием, тоже ра∞Pвен R.

Это следует из того, что S0 (0) = c1 , S0 (z) = z1kck z k при z 6= 0,k =1qqqkkklimk| ck | = limk lim| ck | ,k→∞k→∞k →∞и из формулы Коши – Адамара.Пусть теперь z — произвольная точка круга | z | < R и ∆z такое, что| z+∆z| < R. Очевидно, что S(z+∆z) − S(z)− S0 (z) ≤∆zPN≤ck (z+∆z)k−1 + z(z+∆z)k−2 + . . . + z k−1 − kz k−1 +k=1 P∞+(1.9)∞ Pk−2k−1k−1k−1ck (z+∆z)kck z+z(z+∆z)+. .

.+z,+k=N +1k=N +1где N — некоторое натуральное число. Возьмем число r, 0 < r < R,такое, что | z | < r и | z+∆z| < r.Из абсолютной сходимости ряда (1.8) при | z | < R следует, что длялюбого числа ε > 0 существует такое натуральное число N = N(r, ε),∞чтоXεk | ck | r k−1 < .(1.10)3k =N +1При данном N, учитывая неравенство (1.10) и выбранное r, получим,εчто второе и третье слагаемые правой части (1.9) меньше , а в силу3непрерывности степенных функций z m, m ∈ N, число ∆z можно выбратьεнастолько близким к нулю, чтобы и первое слагаемое было меньше ,3поэтому в итоге получим34 S(z+∆z) − S(z)−S(z) < ε.0∆zТем самым доказана аналитичность S(z) при | z | < R и справедливость равенства S 0 (z) = S0 (z), т. е.

степенной ряд можно почленнодифференцировать в его круге сходимости, причем сумма почленно продифференцированного ряда равна производной суммы исходного ряда.∞PТочно так же можно доказать, что сумма S 0 (z) рядаkck z k−1является аналитической в круге | z | < R функцией, причем00S (z) =∞Xk =1k(k−1) ck z k −2 ,k =2и вообще, сумма степенного ряда (1.7) имеет в круге | z | < R производную любого порядка, для которой справедливо равенствоS (n) (z) =∞Xk(k−1) . .

. (k−n+1) ck z k− n ,k=nn ∈ N,из которого при z = 0 получаем формулыcn =S (n) (0),n!n = 1, 2, . . .1.3. Конформное отображениеПусть w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) — аналитическая в области Dфункция, причем для некоторой точки z0 ∈ D имеемПоскольку в силу (1.1)f 0 (z0 ) 6= 0 .D(u, v) ux uy == u2x + vx2 = | f 0 (z) | 2 ,vvD(x, y)xyто условие (1.11) равносильно тому, что35(1.11)D(u, v) 6= 0 ,D(x, y) z =z0и по теореме о неявных функциях система уравнений u = u(x, y), v == v(x, y) в некоторой окрестности точки w0 = f (z0 ) определяет однозначные непрерывные функции x = x(u, v), y = y(u, v) со значениями вокрестности точки z0 . Нетрудно показать, что при непрерывном отображении открытого множества прообраз любого открытого множестваоткрыт и связность множества сохраняется, поэтому достаточно малаяокрестность точки z0 в з а и м н о о д н о з н а ч н о отображается функцией w = f (z) на некоторую область, содержащую точку w0 .

Обратнаяфункция z = f −1 (w) будет непрерывной в некоторой окрестности точкиw0 и дифференцируемой в самой точке w0 , причем1∆z10= 0f −1 (w0 ) = lim= lim.∆w →0 ∆w∆z →0 ∆wf (z0 )∆zЕсли f 0 (z) 6= 0 в каждой точке области D, то будем говорить, чтофункция f (z) л о к а л ь н о о д н о л и с т н а в D. Заметим, что из локальной однолистности не следует однолистность, что показывает при5πмер функции w = z 2 в области 0 < |z| < 1, 0 < arg z < .4Выясним теперь г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л м о д у л я и а р г ум е н т а п р о и з в о д н о й аналитической функции. Пусть в области Dзадана аналитическая функция w = f (z), удовлетворяющая условию(1.11), и пусть γ — проходящая через точку z0 гладкая кривая Жордана с уравнением z = z(t) = x(t) + iy(t), α ≤ t ≤ β. Если z0 = z(t0 ), t0 ∈∈ (α, β), тоz 0 (t0 ) 6= 0.(1.12)Функция w = f (z) отображает кривую γ на некоторую кривую Γ = f (γ),проходящую через точку w0 = f (z0 ).

Уравнение кривой Γ имеет видw = w(t) = f [ z(t) ] = u(t) + iv(t), причем в силу (1.11) и (1.12) имеем:w 0 (t0 ) = f 0 (z0 )z 0 (t0 ) 6= 0.Посколькуdz = z 0 (t)dt+ iy 0 (t) ] dt,q[x0 (t)] 2 + [y 0 (t)] 2 dt = | z 0 (t) | dt,q000dw = w (t) dt = [ u (t) + iv (t) ] dt, dσ = [u0 (t)] 2 + [v 0 (t)] 2 dt = | w 0(t) | dt,=[ x0 (t)(1.13)ds =36где ds и dσ — элементы длины дуги кривых γ и Γ в точках z = z(t) иw = w(t) соответственно, а в силу (1.13) имеемw 0 (t0 )dw = 0= f 0 (z0 ),dz t=t0z (t0 )то мы получаем равенство| f 0 (z0 ) | =dσ0,ds0где ds0 и dσ0 — элементы длины дуги кривых γ и Γ в точках z0 = z(t0 )и w0 = w(t0 ) = f (z0 ) соответственно.Таким образом, м о д у л ь отличной от нуля п р о и з в о д н о й аналитической функции f (z) р а в е н к о э ф ф и ц и е н т у и с к а ж е н и яэлемента длины дуги в точке z0 при отображении с помощью функцииw = f (z) и не зависит от направления дуги в этой точке, поэтому мыбудем говорить, что при указанном отображении в точке z0 имеет местопостоянство искажения.В силу (1.13) можно написать также, что (с точностью до 2kπ)arg f 0 (z0 ) = arg w 0 (t0 ) − arg z 0 (t0 ),(1.14)и покольку arg z 0 (t0 ) и arg w 0 (t0 ) дают углы наклона касательных ккривым γ и Γ в точках z0 и w0 соответственно (см.

Характеристики

Список файлов лекций