1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 48
Текст из файла (страница 48)
1) В вершине А! а! = О; 2) в вершинах А! и А! а! = аз = 0; 3) в вершине Аз аз = 0; 4) в вершинах А! и А! аз = ои = — 1; 5) в вершине А! !хг = — 2, в вершине Ал и! — — 0; 6) в вершинах А, Аз и А! пз = сзз = а4 = 0' 7) в вершине Аз с!з = — 2, в вершинах А! и Аа о! = !хе = 0; 8) в вершине Аа сг! = — 2, в вершине А! с!! = о — 2. 9.5. Необходимо и достаточно, чтобы ол = 1/(пь) (пл — натуральные 11 числа или оо) и ~ !11 — — ) = 2, что возможно только для п = 4 с и! = ь=! оь = пз = пз = и! = 2 (т.
е. для прямоугольника) и для и = 3: Глава ГХ 275 Л 9.6. 1) ю = — 1пл+ о, з = е ое "И~ (о — действительный параметр), з(ш) —.- периодическая функция с периодом ш = 261; группа С порождаетсн преобразованием Т(ю) = ю+ ш; ее фундаментнльная область В состоит из удвоенной полосы и одной ее граничной стороны; Л ! -1- е н(ю — е) 2) ю = — 1и — -1- о, л = сЬ (о — действительный параметр); н 1 — л ' 2Л л(ю) — периодическая функция с периодом ш = 291; группа С и ее фундаментальнан область В те же, что в и.
1. 9.7. ю = а!сын 2, з = сйпю; л(ю) — периодическая функция с периодом ш = 2н; группа С порождается преобразованиями: Т(ю) = ю+ш, Я(ш) = — ю; ее фундаментальная область В состоит из паласы О < и < я и граничных полупрямых и = О, и = я, о ( О. 9.9'). 1) ю = С(л '74(! — л) !7'сЬ, где С = (В(р,д) = В(1/б. 1/2) а тн '(1 — х)е ' Их — интеграл Эйлера 1-го рода); л(ю) — двонкапе- а риодическая функция с периодами 2ш и 2ш ИЕ; группа С порождается преобразованинми: Т(ю) = и~ + 2ш, Я(ш) = юе~ Ие; ее фундаментальнан область В состоит из удвоенного треугольника и двух разноименных граничных сторон; 2) ю = С/ з зм(1 — л) Вз<Ь, где С = ; з(ю) — дволко- В(!/4, 1/2) а периодическая функции с периодами 2ш и 2ш1; группа С порождается преобразованиями: Т(ш) = ю+ 2ш, 5(ю) = 1ю; ее фундаментальнал область В состоит из квадрата со стороной ю и двух граничных сторон одного из составляющих квадрат треугольников; 1 3) ю = С/л М~(! — л) ттздл, где С =; л(ю) — двоякопери- В(1/3,1/3) а одическая функция с периодами 2Л( и 2Ле"Ие, где Л = шт/3/2; группа С порождается преобразованиями: Т(ю) = ю+ 2Л1, Я(и!) = юет Мз; ее фундаментальная область В состоит из удвоенного треугольника и двух разноименных граничных сторон.
Е) Схемы фундаментальных областей даны не рнс. б2. Ответы и решения 9.9. "Треугольник" с двумя вершинами в точках ш = О, ш = г( = В(а,)3) и углями яа, п,3 а этих вершинах. Если а+ г3 < 1, то третья вершине конечнея; если а+)3 ) 1, то третья вершина лежит в бесконечности; если а+ 53 = 1, то г( = Я/Япакг а "тРеУгольник" имеет фоРмУ полУполосы косой, если а ~ г3; в случае а+ г3 = 2 стороны "треугольника", выходящие из вершин основании, параллельны, направлены в противоположные стороны а+г3<1 а+)3=1 а+г3>1 Рис. 93 гг(а — 1) 3 иг)= ; если а = 13 = —, то "треугольник" представляет собой его х(а — 1) ' 2 внешность прямой полуполосы (рис. 93). 2) "Треугольник" с одной конечной вершиной в точке иг = О, с углом яа и двумя вершинами в са.
Две стороны "треугольника" представляют лучи, выходящие из начала, третья сторона -- прямая, отстоящая от на- егп еД Г(а)Г(13 -~. 1) чала на расстоянии 6 = — . (О вычислении величины гг см ,3 Г(а -~- ~3) книгу В. Коппенфельса и Ф. Штальмана, указанную на с. 148, и. 13.2.) В случае а = 1 получается полоса шириной и; в случае а+ 13 = 1 две стороны параллельны и Ь = и; в случае а = 2 получеется полуплоскость с разрезом 5!п хг3 вдоль действительной положительной полуоси и )г = , в частности, )1(г3 + 1) ' 1 6 = 4, если )3 = — —, и л = я, если г3 = — 1 (см.
рис. 93). 2 9.10. 1) См. рис. 94, 1); шг ш ш(1) = — гя(1/2 — Л); шх = ш(Л). 2) см. рис. 94, 2); шх = ш(Л). 9.11. 1) ш = — [ахсвш ~/х — (1 — 2л) 5ггх — 55]; 2 2 2) ю = — ]весе!и ьге — 5/я — л ]; Глава /Х 222 3) ю = — ( 1п — 2р/з) = — (ахСЬ!/з — т/з); Л !' 1+из '! 2Л ) 4) рв = 2Л(ахс19 рр/а+ агСЬ рр/з — 2рр/з)/я„5) рв = ъа(-~з(з — 3)/2 — 1) 1) л<о о<л<$ л<1 ° в! О 12 < л< 1 Л>1 ф~~~~ч """л 2) л<о О О<Л<1 Л>1 "фс, 1 зч 1 2 р ср Рис. 94 — —, где Г и 1 имеют те же значения, что и и и. 1).
! /~ а 1!' 2й 1 — ЙЛ Гз — 1 9.13. ю = -, где ч = — ~ — + 1п — ), —.~1-Вз 1+!) ~/ 9.14. ю = 2Л/я(р/зз — 1+ ахсжп (1/з)). 9.15. ю = )й '(1 — й ) ~ рй. В(а/2,1 — а) 2 о 3 р — ! ах аз 9 12. 1) ю = — — ) . Если 0 = -, то ю = — з — 1п ~1 — — ), зр-в(з цв ' вв Л в. ) ' 1 =в глеб= ( ) их„=с!" *~Р (в=0,1,...,д — 1).
лв р-! р а! гз 2) ю= — ) ~ ) р1з. Если в= —, тою=†к:.(- — зВ) (, з ), .~ В(вв 1) 1 =с 278 Ответы и решения 2/ / л Ь /=55 52 9.16. 1) ш = — (Н агссб / — + й агЬЬ вЂ” / — /1, где а = 1+ —; Н)/. —.1 Нз' 2) ш = — (Н ахсЬб у/ — +Ь ахЬЬ вЂ” )/ /5, где а = 1+ —; е2 22 Н 15' аз — »2/ Н 3) ш=С/ Г,Л 42 где С, а, Ь определяются из уравнений / (1 — 2)(2 — а)(2 ж Ь) ' о Ст Сзг»/е Ст»/Ь (а — 1)(а + Ь) (а — 1)(а + Ь) ' (Ь + 1)(а + Ь) 9.17. 1) = / (1 — 1") /" Ж; В(1/п, 1 — 2/и),/ В ' В(1/и + 1/2,1/2) 5 (т, 15 22/5 Ц 5.2 "( ~5)-5/5(1 15)2/541 В(1/10,1/5) о Г( — — -/Г( — ) 51п ш(1) 55 5!о— п ) — 2/ 9.29.
иг = СС ) з П (л — 55 — /5 ггх, если и = 2т, и тт / 2 22» 5»г -2/ 'гт / 2 2ТЬ вЂ” 55,/(,55~, — г — ) г... =5 гг, с= о ) »=г — С = — 22(2п) 2/"е ' /" и С, = — 22 2 2/" В(1/о,1 — 2/о) 9.21. Параметры определяются с помощью уравнения (3) для Ь», из равенств (/(Ь»)! = 1» (/г = 1,2, ..., п) и направления одной из сторон звезды. Одно значение а» выбирается произвольно. 9 22 — С(2 1) ( +1) С вЂ” Ь (1 ) 2 2 4 9.24.
Параметры определяются из значений ~/(Ьг)), (/(г(5)(, известных из задания Р и направления одной из сторон Р. Три параметра (о», Ьг, с, гг,) выбираются произвольно. Если один из параметров а» или с равен оо, то (4) и (5) остаются в силе, если отбросить множитель и слагаемое с этим параметром. Если один из параметров Ьг или 55, равен оо, то (4) и (5) остаются н силе без изменения. 25)5/5(1+ 55)-2/5 2-'/'Г(7/10) 2)ш=С И+1, с »=С= С Г(0/10)Г(4/5) о 9.19. Па многоугольную звезду с углами л — 2Т/и — Ля и л+ Лн цопеременно, с центром в начале координат и одной из вершин первого вида углов в точке Рлоеа 1Х 279 )«, ) , )-ег )-„ аг — аг аг+ аг 122 2 9.27.
ш = С) (, С = гЯН, о = )/ —. )/ 1 — аггг' ' )/ Н 9.23. =С"-"("-Ц", С=ЬЬ"-1(1-ьг)-, Ь=,/Г-2 . 9.29. ш = /ЬН( г! ( — 21, где о и 6 определяютсн из сис- ~1+,/ (,1 Ь,1 темы уравнений о 'Ь ' = Ь/ЦН, аг(1/о — о) = аг(1/Ь вЂ” Ь). 9.30. 1) ш =(Те(г)~ы", где Т„(з) = -[(з+ г/22 — 1)" + (2 — г/зг — 1)"]— полиномы Чебышева; 2)ш= Т„'(2) И:1 Н" 9.31. Параметры определяются из значений Ве/(Ьг) и Ве/(А), извест- ных из задания Р и положения одной из сторон Р.
Три параметра (оь, Ьг, с;, 12,) выбираются произвольно. Если один из параметров ог илн сг равен со, то (6) и (7) остаются в силе, если отбросить соответствующие слагае- мые. Если один из параметров Ьг или 11, равен со, то (б) и (7) остаются в силе без изменения (см. ответ к задаче 9.24). 9.32. Параметры определяются из значений ВеДЬ; ), ВеД21,). Три па- раметра ог, Ь„сг, 11, выбираются произвольно. В формуле (10) два пара- метра аг, Ь„с,, 12, выбираются произвольно. 9.33. Параметры определяются из значений Ве /(Ь,) н положения одной из сторон Р. Два параметра выбираются произвольно. 9.34. Параметры определяютсн из знечений Ве/(Ьг) и Ве/(4,) и по- ложения одной из сторон Р.
Три параметра выбираютсл произвольно. В формуле (11) два параметра, соответствующие вершинам, выбираются про- извольно. 9.35. 1) ш = — ' !и (з + 1) + — !и (2 — 1) + С, С = — — "' !и (Ь+ 1) — — "'!и (1 — -Ь), Ь = "' гг з Л1+ Ь2 2) ш = — 1и (2 — 1) + — !и з + С, л л С = — — ' !и(1 — Ьг) — — г!и6, Ь = т т ' !! 2Ь1+Ьг Ь1 2+аг Лг г — аг 3) ш = — 1и — + — 1и —. Параметры ог, ог определнются из т 1 +е12 з 1 е22 системы уравнений: а,"'аг' = е ", Ь1(1/аг — ог) = Ьг(1/ог — аг); Г1 1! 4) ш = /'(-(з+ -)~, где Дг) — отображение из п. 3; Ь Ь 5) ш = — 1иТ„(з), где Т„(х) — полиномы Чебышева (см.
ответ к задаче 9.30); б) =-„(.(.-1)+ ); Ь Ответы и решения 260 »+1 2 7) ш = !п — + А», А = —, где Ь определяется из уравнения 1 — » ' Ьз — 1' 6-!- 1 26 1и — + — = Ы; Ь вЂ” 1 Ьз — 1 8) ш = !и(»+1) — А»~ — »+ соиле, где А = 1/(2а) и а определяется из уравнения !па+ 1/2(а — 1/а) + а = О. В частности, если а = О, то а = 1; Л С Ь Ь з 9) ш = — 1п(» — а) + — + А»+соиас, где А = —, С = — (1 — а ) и л » — а 2ла' 2»а 1-а 2 ла' а определнется из уравнения !и — + — = —. В частности, если Ь = О, то 1+а а Л а = О, А = С = д/4.
9.36. Соответствие между плоскостями и, » и ш показано на рис. 95, Рис. 96 ЬКР Рнс. 96 л 1+6~ Аффиксы точек С и С' в плоскости у равны ш- + ! !и —. Штриховому 2 й отрезку в плоскости и соответствует штриховая полуокружность радиуса 1/~/Х в плоскости » (см., например, книгу Г. Бейтмена и А. Эрдейи, указанную на с. 162, п. 13.26).
а» гш 93. =ЬГ,*= 1-,~). л й с-.л- К' Ь из соотношений — = —, а = ЛК. К а 9.33. См. рис. 96. 9.39. См. рис. 97. Ответы и решения 282 9.40. Отображение л-плоскости на плоскость и показано на рис. 98 (имеющаяся на этом же рисунке в-плоскость относится к ответу задачи 9.41). 9.41. Соответствие между плоскостями л и э показано на рис. 98. Выражения длн1 и Ь указаны в табл. 1. 9.42. Решение. Лля определения параметров Сы й и Ь имеем три следующих уравнения: 1) ш(1) = а или С~[(й'Ьг— -1) к ж е) = а; 2) ш(1) = ш(1/й) или (АгЬг— Таблице 1 -ЦК+ Е = (Ьгь' — 1)(К+ К') + Е 3) ш(Ь) — ш(1) = 19, Из уравнения (2) имеем Ь = + 1(К' — Е') (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
