1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 52
Текст из файла (страница 52)
132 = 0 функция У(з) отображает В не круг с разрезом по дуге окружности (рис. 133; Г > О). В случае Гз = — Го = -Г/2 функция .У(л) отображает /2 на двулистную область, образованную склеиванием внешностей кругов ).У) > 1 и !.У) > р/а вдоль разрезов от -оо до Уо = -ео "о1~, где о/Ч вЂ” значение ф в критической точке. Функция а(.У) отображает зту двулистную об- Г лесть на внешность двух лемнискат, и /(з) = — — !и ((а(з) — ао)(а(з) + ло)) 4х! Глава Х 305 )Ф © Ои ~11!. (11 Рнс.
133 Ои Рнс. 134 (рис. 134, Г > О, а < р; полуполосы в 1-плоскости нужно склеить вдоль об- щего разреза). В общем случае ф = О на нижнем основании прнмоугольника в и-плоскости и у изменяетсн от — Г/2 до Г/2+ Гз, а на верхнем основании Г 1 1з 1 Ф = — 1и — + — 1и — и р изменяется от О до Гз (Г > 0). гл а гл р 2) /(з) = Ф(и(л)), где ° д(Ии — а)/(2 )) — -и д~Ии — 5)/(г ))) гы ( д~((и — а)/(гы)) д~((и — а)/(гш))! + 1и + — и+С, Г! — Г д~((и — а)/(гю)] Гз 2хе д~((и — Л)/(гх)) 2ы н и(л) = а+ )г/з+ ... отображает область В на круговое кольцо. 10.64. и = жх — ))р, е = )зх+ ар, Е = — (с; диполь (со; — 1с), гд,, 10.65.
и = гор, и = го )п-; Е = — е'"; точечные заряды (а; го) и (сю; — го), л — 5 1 л — а! 2д(6 — а) 10.66. и = го агб —, е = го1п ~ — ~; Е =; точечные л — а л — 5 (л — а)(л — Ь) заряды (Ь; го) и (а; — 2о). Ответы и решения 306 10.67. и = -2оят6(л! — а'), о = 271п(лз — а~~; Е = — 468/(х! — а!); точечные заряды (а; — 2о), (-а; — 2о) и (оо; 4а) (см. рис. 113). Рес. 135 тзае ага, 1 1 й а! а2 Рис.
136 10.68. и = !р~!/ге!и(!р — о), о = (р!/г соя(Е! — а); Е = !раен г "'/г', диполь (О; р) (рис. 135). К! 10.69. и = (гх — ) сое!р, и = (гт — )е!п1а; Е = — г(1 те!'г — ); г г! липоли (О; ~зРь~) и (со; — !) (см. Рис. 110, 111). 10.70. и = — ру+ 22!р, ю = рх+ 27 )п(1/г); Е = — р+ 2де'г/г; точечные заряды (О; 2о) и (со; — 2о); диполь (со; р) (ср. с рис. 118). 1 2дь 10.71. и = -ру+ ) 2оь1рь, о = ух + ~ 2оь 1и —, Е = — р + ) —" е*"", ь=! й-.! гь й=! ! ь где х — аь = ге'г"; точечные источники (аы 2оь); диполь (оо; р) (рис. 136).
Глава Х 307 10.72. 1) Величина точечного заряда сохраняется; закон изменения момента диполя тот же, что в задаче 10.18; 2) знак заряда мевнется на противоположный; закон изменения момента диполн тот же, что в задаче 10.20 при продолжении через линию тока. 10.73. о = 249(«,а), 10.Т4. ю = 294!п — + с. » — »а 10.75. 1) и 2) ю = 29! !и + с. В(« — «а) 1 « — ъ«г с г г г 10.76. ю = 29« !в — +сопза, где /(») = —, сг = а — Ь .
/(») а — Ь 1 10.77. ю = 29« !и +с, где /(») = —- /(«) В 1 10.78. ю = 24« !и —, где ! = /(«) определяется из уравнении « = /(«) 1 24 Го»Г-гт 4 а)! + — (см. задачу 9.17 для и = 4 и 9.32). В(1/2, 3/4) В 2 г 1 1 — сп (К»/а, Ь) 10.Т9. ю = 24«' !и — + с, где /(«) = и )а определяется /(«) ап (К»/а, Ь) из уравнения К'/К = Ь/а (см.
задачу 9.49). /(«) Ог((» — «г)/(оа))«аг((« — »з)/(4а)) и ю = 2а, ю' = 2«Ь, »г = (4а — хо) -!. Гуа, »г = (4а — ха) + «(4Ь вЂ” уа), «» = ха + 4. «(4Ь вЂ” уо). 10.81. ю = — ж - ж с ! ао ~ О, а = —, р" = —,, гп = — — —,, « -!- » — о « — а' а а- » Й. 4-с (а = О), с — действительное число.
Сравнить с задачей 10.23, 2). 10,82. ю = -!- -!- с ! ао ~ со, а* = —, р* = —,р), ю = —— « — а « — а а а- » — — „«+ с (а = со). См, задачу 10.25, 2). яг 10.83. ю = р(» соз а + г яп о ъ' »г — Лг) -!- сопл!. 10.84. ю = — ((໠— Ьо/»г — сг) соло — г(Ь» — а~й~ — сг) ашо) + сова!, Р а — Ь г гдес =а — Ь. 2КР К К' Ь 10.85.
ю = — -(соло+ г яп а спи), где и = — » и — = — (см. зада2апи а К а чу 10.79). 10.86. 1) Если рг = ре', то 1 .Г 1 У(«) = р! (а) = ( ~ — + !(»)~ соа а + г ~ — — а(«)~ яп о) + с; '( ~г(«) а(«) Вгр яг 1 Г Вг4 2) /(«) = рИ(») — +с = р~ ~1(») + — 1 соло+«~4(») — — ~ ашо)+ г(') (~ г( )3 ! ( )1 4- с. где рг' = ре'о. Функнии в квадратных скобках осуществляют нормированные конформные отображения 11 на внешность горизонтального, соот- 303 Ответы и решения ветственно вертикального, отрезков и). 10.87.ш»»~ 20»»1п — +11'(а,а)~ — — р)(»,а)1+с,глез(»,аь) г(»,ая) /(»,а) и г(»,а) конформно отображают !1 не единичный круг с нормировкой 7(аь, аь) = 1(а, а) = О, 1 (а, а) > 0 и с — действительное число.
д 1 — 1и, если 1га» > О, 10.89. с(»,а) = — 1и, если 1»п» < О; !» — а! р(х,а,) = --,,(а = с»+1)3). ! я(х-а)з+3» 10.90. Ц Внутри круга !й — а»! — 1!п +1и — ~, если а 34 О, Г ! (а11 и(», а) = 1п = Г !» — Н»)а! й 1 1пй, если а = О. 1 Вне круга о(», а) = — 1и —. Плотность 1» — а( р(йе', а) — —— (а = 1а(е ). 2»Н й» вЂ” 2Н1а! со» (д — о) ф !а!» ! В частности, для а = О оне имеет постоянное знечение — и создеет 2»й потенциал обложения, имеющий постоянное значение!ий внутри круга и значение 1и !»( вне круге. 1Н» — а»! 1 „, ~,!1>й, Г! !.~, !!>й, 2) о(»,а) = е(»,оо) = — 1п —, а ф со, !»! < й; 11~й !»! ~ <й' !» — а! р(йе', а) —— .в ~а» й» (а = !а/Еы И а 34 ОО).
ЕСЛИ а = 2вй Н» — 2й/а/со» ( — а) + /а!» = оо, то индуцируется тот же потенциал, что в предыдущем случае для а = О. 10.91. и(»,со) =!и ', р(х,оз) = — (1х) < й). !» + и'З вЂ” йт! ! 2 йя Гй» вЂ” х~ 10.92. и(», со) = 1и !» .1- ~~Р: с~~ вне эллипса, о(», оо) = — 1п2(а — Д) г внутри эллипсе. Плотность р(»,оо) = — (ь — не эллипсе, с 2»,Я~ — с»1 =а*-Р). 10.93. р(~) = — ' . 10.94. р(~) =— 10.95.
р(х) = (1х( < й). 2ху'й~ — х~ 10.98. р(Ь) = (с = — б ). 10.92. й, 2в ЬГГЬ3 — с»! и) Ср. приложение П. Шиффере в книге: Курант Р. Принцип Днрихле, нонфорыные отобреження н мнниыяльные поверхности.— М» ИТЛ, 1953. — 3 1, и. 2, особенно с.
242, 243. Глава Х зав 1 на !«! ««1, ((.) (д 2кр !и р нв !«! ««р, 2ар!пр 1 Рп = Ри = — Ри = — Рп = — ! !ар 10.98. 1/(2Я). 10.99. 1/(2(а — Ь)). 10.100. а. 10.103. Если ы(«! г3) — гармоническая мера интервала г1 действительной осн в точке « относительно верхней полуплоскости: а!(«;«з) = ! г д ! = — / — 1п — !1! (см. задачи 7.58 и 10.102), то (опускается действительх да !! — «! г« ная аддитивная постоннная): 1) и! = — !и (« — а), и = сг!и(«; г.'г), !л = ( — со, а); 2) ю = — !п — , и = вг!и(«;!л), г)! = (а,Ь); л « — а 1 Г « — аг « — а 3) и! = — !гг! !и(« — а!) + хг!п + ...
+ !г„!и л « — а! * — а. -г~ и = гг сгыи(«;!3«)! г1« = (аь г,аь), а ! = — оо; ь=! 4) ю и и получаются из выражений, указанных в ответе к и. 3), заменой вгь на !гь — !лв, добавлением гфв к ги и !гв к и. Потенциал можно также представить в виде ) !Рыи(«! г5ь), гав = (а„, оо). ь=о сй !'г 10.104. 1) и!(«) = — !и «+ сопл!, и(«) = — !пг+ соне!, где р = —; !и р !и р т! сй Н 2) ю(«) = — !и!(«) + сопл!, и(«) = — !и )!(«И + сопл!, где р — модуль !па !ар области В (см, с.
35) и г(«) конформно отображает В на круговое кольцо. 10.106. и!(«) определяетсн формулой, указанной в тексте задачи 10.105, где: « — х! ( — х! х 2) и 3) !(«) =,/р, р = ( ), хг, хг определяются из урва« в хг ~ — хг ,л кения х + + х+ П~ = 0 (х! < тг); а а+Ь 4) !(«) = — («+ г/«г — сг),,и = —, с = г/а! — Ьг; с с 5) ! = ежк«ыlк, « = вп (и Гс), р = ег к«к (!!се и! < К /!!пи! < К'; см. задачу 9,48, 1); 2КЛ Г Йп и сп и! 6) ! = е ' «"П, « = !У(и) + ~, р = е ~, где Й опредевп и г ляется из уравнений: КЯ(р) = —, !)п /Г = — (см. задачу 9.48, 15), 2а' К 10.108. 1) ач(«) = 1 — —, ыг(«) = —; !и!«! !и!«! !пр' !пр' Ответы и решения 310 2) ыг(з) = 1 — ыг(з),а!г(з) = 1п /г(х)/ 1и и 1 Рг! = Ргг = -Ри = -Рп = —, 1п и где г(з) конформно отображает Р на кольцо 1 < ф < д, причем контур Г! переходит в окружность ф = 1.
10.110. о(г) =!ш((з) — ) оыоь(з), где г'(г) конформно отображает Р ь-! на плоскость с горизонтальными разрезами, причем р' — + ..., если а Р' со, У(з) = г а рга + ..., если а = со. 10.111. о(х) = 2дд(з,а) + ~оьыь(з), ыь(з) = — — д! ' сж 1 Г дд((,г) 2х l да ь=! г„ 10.112. Если 7" (а) = оо, то поле образовано диполем (а; р), где р опреде- ляетсн из разложения Д(з) вблизи тачки а: — +..., если афсо, Р! гл)= г — а рва+ ..., если а = со. 10.113.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
