1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 51
Текст из файла (страница 51)
2лС 10.36. 1) в(ю) = !/(юсова — Съ/Р -оса!по)+сопл! (Ъ" = Ъ'е* ); Г 2) в(ю) = 1/(юсоаа — с~й- '— оса!па) + — !п(ю+ г/юо — с') + сопас, где 2ггг Г = — 2яс!/з!па (с — точка схода). 10.37. Пусть профиль Жуковского получается при отображении ю = 1( 1] = — (г;+ — ! окружности [г, — (о[ = [1 — г,о[ = /с ) 1, ьо = 1 — Ве 'л (О < < /1 < — 1!. Тогда при циркуляции Г и $/ = )/ег" 2/ Ий/ю — (о+ г/ют — 1 ()= — ! е г"+ 2 1 и + ) + — Г !и (ю — ~о + ~/Р: 1) + с, ю Со+ Огюг — 1 2хг причем Г = -2хЕ(/з!п(а + /2) (Г определяется из условия ю'(1) = О в соответствий с постулатом Жуковского — Чаплыгина).
10.33. в(ю) = 1/" — р/2+ с — обтекание параболы извне; о/2ю — р го(ю) = гс!г — обтекание параболы изнутри. 2 /и 10 30 в(,) 1 [(ю+,~р —,л) долг; /гглг о/2 — (ю — ъ/юс — со)"/Г~ЛГе' /гса']+ сопл! Ь вЂ” обтекание правой ветви гиперболы извне (Сба = —, /Р = гг — а, с = = /ас Ф Ьс) и в(ю) = — [(ю -1- ~/юс — со)" /па1.1- (ю — г/юс — со) "/(гаг] -1- соплов г/2 обтекание правой ветви гиперболы изнутри. 10.40. ю(ю) определяется из уравнения ю = е /" + ггог/о (значения Глава Х 297 функции тока на обтекаемых полупрямых взяты равными шс). 10.41.
ш = Агс)г л = 1п (з+ ~/зг — 1) (значения функдии тока на обтекаемых полупрямых взнты равными О и х), 10.42. 1) Течение с периодом и; в точках Ьг ()г — целое) — источники обильности 1„г;точки гг/2 + йх — критические. Скорость На СЮ В ПОЛОСЕ ПЕрИОдОВ ЬГг, ж 1Г(Х ~ ГСО) = = ш(„гг/(2я). Линии тока и эквипотенциальные линии см, на рис. 120. 2) То жег только вместо источников в тачках кя — вихри обильности Г и г'(х ж Рис.
120 шсо) = ~Г/(2п). Лля построения поля следует линии тока и эквипотенциальные линии на рис, 120 поменять ролями. 10.43. Течение с периодом и; в точках )гп — диполи с моментом р; агар= 2 Рнс. 121 скорость Ъ'(х ш гоо) = О. Линии токе приведены на рис. 121.
10.44. Решение возможно при гг = 1' — 1)/ьг; Г+ЙГ . т(з — а) — Г+гГ> . х(а+а) .Г)г ог = )пз!и + 1пшп 2лг 2ьг 2 2м згл 10.45. ш = — ссб р х(г — а) Р х(г + а) — — ссп + г)гл+ с. 2х 2ьг 2гг 2ы 10.46. Пусть 1 = /(з) конформно отображает Я на прямолинейную полосу Яг, причем йг, йз переходят в бесконечно удаленные точки Яг. Если существуют не рваные нулю производные /'(йг), /'(йз), скорости К, Ьгз касаются границы Я на оо и произвольно задана одна из них, то для Яг зада- 29 Л.И. Волкоеысккд н лр. Ответи п решения ') В С В С СО С=ел 4) О С С<ез В С В А В А ез<С<ез 4 А С=ее О С О С С С В А с=, сз<С<е, А О С С С с~<С<со Рис. 122 ча приводится к задачам 10.44, 10.45, решение существует и единственно.
10.47. 1) Необходимо и достаточно, чтобы числа М и С были действительными. В этом же случае линии Неи = шш лвляютсн эквипотенциальными линиями. На рис. 122 показано отображение 1 = г(о) = Дп) -~- Сн при различных действительных С. Рис. 122 соответствует случаю ы > > ~ы'~. Согласно решению задачи ОА5 при этом сз < 0 < сз < е~ и )с~ > 1/2. 2) г"(и) =— М д',((е — о)Д2и)) + с. Для о = 0 и М = 2з. отображение 1 = 4гы д1((н — о)/(2ы)) = 1(н) = ь(н) — — и = — ', показано на рис.
123 (заметим, что ез < О 1 д'(н/2ы) и 2и д1(и/2ы) <-ОУ <.,). М Ж 10.51. у(н) = — г'(и — о) + — С(н — Д) + Сн + с. Чтобы функция ((в) 2л 2л М была эллиптической, она должна иметь вид /(н) = — [ь(н — а) — ь(н — Д)) + 2л + с. Если 1ш и = ш 1глы' — линии тока, то М должно быть действительным, Глава Х 299 0 с в с В Рис.
123 Рис. 124 20* а если зквипотснпиальные линни, то — чисто мнимым. Для сс и с3 возможны только значения О, ыь ()с = 1,2,3). Лля о=б, 1)=асса М=2л У(и) = ч(и) — ч(и — всл) = р'(и) = пь 2 р(и) — ес сс,(и)ве(и) = ле -~- в(и)вь(п) (с, ь й -- перестановка из 1, 2, 3). Точки и = —,ь (псос1вс,св') 2 критические, т.
е. в ссих Г(и) = = О. Основные отображенин см. на рис 124. Указанные там прямоугольники отображаются на полуплоскость, ограниченную горизонтальной прямой (й 1), полуплоскость ограниченную вертикальной прямой (1 = 2), и на лвулистный квадрант с линией склеивания, представляющей горизонтальную полупрямую, соответствующую штрпковой линии на прямоугольнике (й = 3). Эти отображения продолжают~я по принципу симметрии.
10.52. Периоды течения 4К и 2сК', диполи 2гпК -~- (2п+ +1)сК' с моментами 2п( — 1/сс), критические точки (2гп+ 1)К+ ясК' (пс, п — целые числа). Отображение см. на рис. 125. Ответы и решения ЗОО 1К' Я вЂ” К вЂ” 1К Ркс. 125 2*к' спи Рис. 12б 21 К' Яйй) — К Рнс. 127 10.53. Периоды течения 4К и 2К Ч- 21К', диполи те же, что и в зада] че 10.52 с моментами гя, критические точки гтК+ ги1К' ей Глава Х и (2тп+ ЦК+ (2и-!- 1)зК' (рис.
12б). 10.54. Периоды течения 2К и 4зК', диполи те же, что в задаче 10.52 с моментами 2х( — 1)"+~з, критические точки зпК+ 2изК'. Основные отображения см. на рис. 127. 10.55. !"(и) = 1п +Си+с. В частности, для о=0, аз,ы+ Г -~-зО а(и — о) 2вз а(и — б) !' + 1О + ы' и В = аз', опуская аддитивную постоянную и множитель, меняя 2аз' С и преобразуя а-функцин, получаем !и — +Си, 1п — +Си,!п а(и) а1(и) аз(и) аз(и) ' аз(и) ' а(и) +Си. Если Г(и+2аз) = 1'(и), то Ди) = 1п +с.
Г+зО д~((и — о)!(2зз)) 2вз д~Яи — б)((2ы)) -1К' 2!К' О 2зК' О Рнс. 128 10.56. 1), 2), 3) Двоякопериодические течения с источниками обильности 2я и — 2л в нулях и полюсах функций впи, спи, з(пи (рис. 128), Ответы и решения 392 10.57. Лвоякопериодическое течение с квадруполями в нулях Р(и) (рис. 129). 10.58. Периодические течения с периодом 2ьз (период скорости), с источниками обильности 2п в нулях дз(о) (рнс. 130, 1) для д» и для дз Я~) ° е, ез е А Ркс.
129 2) Рвс. 139 при сдвиге вправо на 1/2; рис. 130, 2) для дз и для зчз при сдвиге вправо на 1/2). 10.59. 1) /(е) = Г/(2яз) 1и е + с; 2) /(з) = Г/(2яз) 1п1(е) +с, где 1(з) отображает область Р на круговое кольцо так, что сохраззяются направления обхода граничных контуров; 3) /(е) = Г/(2нз) 1п((л — лз)/(х — лз)) + с, гле лз, лз взаимно симметрич- Г Х ЗОЗ ны относительно квждой из окружностей (т. е. являются точками пересечения окружности, ортогональной к двум данным, с прямой, соединяющей их центры), причем точка л9 Лежит внутрИ ОКружности с ЦИрКУляцией Г; 4) /(л) = Г/(29гг) 1п1(л) + с, где функцин 1(л) отображает область 22 не кольцо с сохранением направления обхода контура с циркуляцией Г. 10.60.
/(з) = Ф(ы/(л9) 1п з), где 1 ~ д'((и — а)/(2ы)) д',((и -~-а)/(2ы))~ Ф(и) = — 1р -р' 1+с, а= — !па. 4лза ~ д9((и — а)/(2ы)) д~ ((и + а)/(2ы)) 9 ' лг функция /(л) отображает Л на внешность двух парвллельных отрезков, В Рнс. 121 )Ве тр! отстоящих друг от друга на расстоянии (рнс. 131). Концы отрезков 2ла определяются из условия Ф'(и) = О. 10.61. /(з) = Ф(и(з)), где д',((и — а)/(2ы)) -, д'((и — а)/(2 ))) 2ы ( д9((~ — а)/(2ы)) 69((и — Л)/(лы))) а и(л) = а+ 1/л Ф ...
— функция, отображающея область Р на прямоугольник. 10.62. /(л) = Ф( — 1пз), где Ф(и) = .49з(и) + — ' + с, А = г ~~ В д',(и/(2ы)) 2ы д9(и/(2ы)) с зил ии — — В = — (с л — с 9). Задача возможна, если с действитель- л- л ное число, в разность с — с ~ — чиста мнимая. Если А ф О, то функция /(з) отобрвжает Л на внешность горизонтального луча и параллельнога ему отрезка, отстоящего от нега на рвсстоянии ~с-9 — с И/2. Концы отрезка и начала луча определяются из условия Ф (и) = О (рис. 132, 1); на рис.
132, 2) изображен случай В = О). Если же А = О, т е имеетсн только диполь, то В отображается на полуплоскость, ограниченную горизонтальной примой и имеющую разрез вдоль горизонтальнога отРезка, отстоящего от прямой на расстоннии )с 9(/2 (рис.
132, 3)). 10.63. 1) Решение возможно, если Г9 — Гз = Г; при этом условии /(л) = = Ф(ы/(л9) 1пл), где Г д9((и а)/(2~))) 19 ы Ф( 9 = †.1 2л1 д ((и .1. а)/(2ы)) 2ы Ответы и решения 304 д1(и — а) /(2ы) ) (необходимо иметь в виду, что прираШение!и при изменедо((и + а)/(2ы)) нии и от 0 до 2ш равно 2яо, а при изменении и от 2ои+ йи' до йи' равно 0). Критические точки течения определяются из уравнения р(и) = Р(а) + 2 (ь (а) — ча/ы) + Л(0(ы') — чы'/ы) ' где Л = Г /Г, и располагаются на сторонах прямоугольника с вершинами (О, ы, со+ а~, оо~) и прямоугольников, симметричных с ним. В случае Го = о о и Ь с а Ь Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
