1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 49
Текст из файла (страница 49)
указание к задаче 9.41); 1 Е' — ~/ †,. Подставляя в уравнение (1), ь')( к' г) Рве. Эа 1Е'К вЂ” КК' Ч- ЕК'1 2аК' получим Сг [, 1 = а, т. е. Сг = — (см. формулу (10). на К' в с. 1бб). Тогда для определения й получаем из 3) трансцендентное уравнение (е' — к) ( — 1/ —,,«) + к' (-~ — „~) =-( ~го. Глава 1Х 283 Подробности решения и графики для определения параметров см. в книге: В е 2 е А. Коп(огше АЬЬПбцпй.— Вег1щ, 1948. 9.44. Случай 1), 2), 3) и 4) изображены соответственно на рис. 99, 100, Во всех случаях для сравнения приведено отображение на и-плоскость с помощью нормального эллиптического интеграла 1-го рода.
Продолжение отображения первого квадранта 1л-плоскости по принципу симметрии приводит в цс-плоскости к полосе с прямоугольной выемкой (см. области 1+ Низ рис. 99, 1), 2)), к полосе с прямоугольным выступом (см. области 1+ 11 на рис. 100, 1), 2)), а также к другим областям (некоторые из них показаны на рисунках). Основные возникающие при этом размеры Н, 1, 6 Таблипа П см.
в табл. П. Заметим, что второй ела'чай пссиводится к первому, а четвертый — к третьему заменой 2 на и й 22+ й' 1 = 1. При этом вместо ьц й в 2 случанх 2) и 4) возниссают значения и = — й', й' и соответствующие йг -~- и ос-фигуры получаются из вс-фигур длн случаев 1) и 3) посредством целых (ой)2 й2 ж р линейных преобразований с коэффициентами растяжения = =— (ой), йг (об)с йг -~- сс — — (индекс указывает случай). Для случаев и = -1 и и = — й (Ц)2 й2 на рис. 101 приведено соответствие между и и- и цс-плоскостями. ВоспольЗеааВШИСЬ табЛ. П, ПОЛУЧИМ дЛя сс = — 1 1 1и зподпи1 с с'., 1 1 цс = — ~й и — Е(и) + 2 = — -Е212й и, — 12, сои .( й' с )с' 1 = —,2(Š— й' К), й = —,2(Е" — йгК') И ДЛЯ сг = -й г й й й'2 1 1, 19* Ответы и решения 284 Рие.
100 1К Рие. 101 Гаева /Х 285 9.45. Решен не, Иэ условия Ь > 0 следует, что ез, ез, ез вещественны и различны и дз > О. Будем считать ез > ез > ез Верхняя полуплоскость 1пзл > 0 отображается на прямоугольник с вершинами О, ы, ы — ьз', — ьз' (принято 1шы'/ы > 0), соответствуюшими точкам оо, еь ез, ез Средним линиям прямоугольника соответствуют дне полуокружности (рис. 102): (з) Г l I г р~1 е Р(з езз ез 1Р Рнс. 102 первая с центром в точке ез, относительно которой ез и ез симметричны ь *- -,-з з,з -'ХХ *- е."* - °-- м---- "*,-З -".,~~ — г(е —.З) Продолжая отображение Р(нз) по принципу симметрии, находим полупериоды ьз, ьз' этой функции: зз е~ — Оо Иэ рассмотрения рис, 102 находим соотношения звз(Кзл/ы, Л) ' ез — ез Если дз > О, то ез < ез < 0 < ез и ьз < (ьз'( (ибо гз < л', следовательно, К < К'); если дз < О, то ез < 0 < ез < ез, следовательно, ьз > )ы'(.
Если дз = О, то ез = О, ез = — ез и ез = (ез'(. В этом случае отображение симметрично еще относительно вертикальной оси. Всей з-плоскости с разрезами ( — со,ез], (ез, со), (О, зоо) соответствует треугольник (О, 2ьз, 2ьз'), составляющий половину параллелограмма периодов (теперь это квадрат) (рис. 103). Заметим еще, что в случае произвольных ез, ез, ез (ез + ез + ез = 0) половине параллелограмма периодов соответствует л-плоскость с раэреэамн, вообще криволинейными, выходящими иэ еь ез, ез и идущими в оо (см. схематический рис.
104). 9.40. Реш е н не. Основное отображение показано на рис. 105. Оно получается с помощью принципа симметрии иэ отображения полукруга 11. Ответы и решении 286 Рие. 103 Рис. 104 Рие. 105 Глава РХ Замечая, что йи = и беря Агб(-1) = юя, имеем Агбе(ю = юя+Агбе(з— 1 — — ~Агя(х — еь), откуда сле- 2 ь:о дует, что Агб йю на сторонах ечетырехугольникае РВМС имеет соответственно значения -гг/2, О, н/2, -я, что приводит к указанному на рис. 105 отображению.
Так, например, на дуге РВ имеем (рис. 106) вгбйю = — я + + (о + а./2) — ( — оз + аз + + аз)/2 = — гг/2 + (оз + ог— — оз)/2 = — гг/2 и т, д. Длн определения комплексно сопрнженных полувериодов ьз, ю функции (з(ю) имеем Рис. 106 ео ез езх 3 ах ьз -Ьм ю — ю ;/(х — е!)(х — ег)(х — ез) ец — Ж вЂ” гз — *) ег — оз Если дг = О, то ег, ез, ез являютсн вершинами правильного треугольника и параллелограмм периодов имеет форму ромба с углом 60' в нуле, если дз ( 0 (тогда ег ( 0), и углом 120' в нуле, если дз ) 0 (тогда ег ) 0).
Аг Рнс. 107 В обоих случаях половине параллелограмма периодов соответствует х-плоскости с симметричными лучевыми разрезами, выходящими из точек ег, ег, ез (рис. 107, 108). 9.47. 1) ю = -[Р(х)/ез[з, полунериоды ю, зю 2) ю = р'(з)/2[ег[~е~, полупериоды ю = )зе ' зз, ьз' = )зе'"зе; где = аз/3/2; Ответы и решения 2ВВ 3) ш = р' (в)/4ев~, полупериоды те же, что в п. 2. 9.48.
1) в = вп(и, б), ш = е""~, !п р = 2яК) К', )йе и) < К, )1ш и( < К'; Аз Рис, 108 2) отображающая функция таже, что и в п. 1), только 0 < йеи < < К, )1ши) < К, !пр = з — „ 3) сводится к и. 1) с помощью линейного преобразования; при этом б = ч Л вЂ” ч/Л вЂ” 1 , где Л = (о, б, с, Ы) — ангармоническое отношение указанных ./Л +,/Л вЂ” !' точек; 4) сводится к п, 3) с помощью отображения ! = ~/вв+ Ьв; 5) в =вп(н,б), ш = !е' "дж', 1пр = — —; — 3К < йеи < К, 0 < 1ши < К'; б) сводится к п.
5) с помощью отображения ! = ~/Г+ вв; при этом б = = сова; 7) отображающая функция та же, что в и. 5), только один раз 0 < 1 1 хК < 1ши < -К', а другой — К' < 1гци < К'; 1пр = — —; 2 2 4 К 8) л = 5 во~(и, lс), хо = е '™~К, !ар = я —; (Вен! < К, 0 < 1ш и < К', К' 9) отображающая функция та же, что в и.
8), только один раз 0 < 1ш и < 1 1 т К' < — К, другой раз -К < 1ши < К; !п и = — —; 2 2 2 К' в+ 1 10) сводится к и. 8) с помощью отображения ! =; при этом б = ч'1+ р' = 1Пч7(+ р); 1 — в 11) сводится к п. 7) с помощью отображения ! = —; при этом б = 1+е' = в!п(а/2); Глаеа Х 289 12) сводится к и. 2) с помощью отображения ! = — » ива, при этом 7с = = (эЫ Нг)/(эЫ Нг); 13) сводится к и. 7) с помощью отображения ! = а|па; при этом Ы = = соэсЫН; 14) сводится к и.
5) с помощью отображения ! = эщг и последую!/Д- Л-1 щего линейного преобразования; при этом 5 =, где Л = »гЛ+ иг1 — ! (1+ э!пд)(1 — в!па) 2(а!и 5 — э!и а) дписпи! г» !К 15) э=С[Я(и) + ш = е !и и = 2я —, где Ы определяется во и К из уравнений Я(!3) 15 о = — „с!п !7 = —. г г Е 2К К 1 — спи а! 9.49. ! = —. Вершины К х гК, -К х гК переходят в точки е ', эп и — е"', где сов о = й. 2К 9.50. Сводится к задаче 9.49 с помощью отображения и = — агсзщ х.
При этом Ы определяется из уравнения 9 = е ~ =,, где 5 = -к'к 1 (аг + 6»)' т/аг 1 — бои 2К 9.51. ! =, где и = — агсжп х, !Не и( < К, !!щ ) < К'. Параметр азии е Ы имеет то же значение, что и в ответе к задаче 9.50. Фокусы х = х! к переходят в точки х †. 1+В С[В( )+ оп»спи( 1+спи эпи ! епи 2) х = С[Я(и) + —,1, ! = 2КК' !' Бои а г г и спидои! 3) х = — [Е(и) + !(Š— (с К ) — 7г и + ~. Об определении постобв( зли яниых см.
книгу, указанную в ответе к задаче 9.41. Глава Х 10.1. Поступательное движение со скоростью Ъ' = о — Щ Па сов диполь с моментом р = 2хс. Линии тока !!х+ оу = С; эквипотенциальные линии ах — !уу = С. 10.2. В точке х = Π— критическан точка (точка разветвления), на сов мультиполь порядка 2я (также точка разветвления); г" соз и!о = С вЂ” эквипотенциальные линии, г" шп игг = С вЂ” линии тока (х = ге!»); ьг =их 10.3. В точках х = 0 н х = сю — вихреисточники: (О; Я, Г), (со; — Я, — Г); !п г = — Гчг/1„1+ с — эквипотенциальные линии; !и г = !4 р/Г+ с — линии тока.
Оба семейства линий — логарифмические спирали; в случаях Г = О или Я = 0 одно из этих семейств — окружности г = С, другое — лучи у=С. Скорость г' = — '(е'!г 'г!О7~!' гг! ( =г '") !Г+!Сг! г 2хг Ответы и решения 290 10.4. В тачках а, Ь вЂ” вихреисточники: (а; !в,Г), (Ь; — 1;1, Г); линии по- Рис. 109 ] ! э ! 1 1 1 Рис.
110 Рис. 111 ля — логарифмические спирали вокруг точек а и Ь (рис. 109); !ар = à — — — д+ С вЂ” эквипатенцнальные линии; !и р = — У + С вЂ” линии Г /г — а вц à — гг2 а — Ь тока !1 — = ре' ). Скорость Ът = — ь )' — 2и! (У вЂ” а](л — 6) 10.5. В точке г = Π— диполь с моментам р = 2тп т = Ссаэ уг — эквипотенциальные линии; т = С в!и !г — ливии тока, Ьт = — ен"')т~, Ъ', = О. В точках 2 1 г скорость равна — (3 т 4!)/25. 10.6. 1) и 2) В тачках О и аа — диполи с моментами х2лЯ и 2х (верхний знак относится к п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
