1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 44
Текст из файла (страница 44)
!и [ — [+ — г (ь) = 2хе [ь — Я [ 4' 1 !сч-Я! 3 1 = — Ра ~ ~— [! — —; Г(0) = --, Г'(О) = — —. 2х! [( — Я[ 4' 2' 1гЯ 7.12. 1) О, если [х[ < г или [х[ > Я, и 1/х", если г < [х[ < Я; 2) 1/х", если 1гл х > я, и О, если 1щ х < я; 3) О, если [1щх[ < и, и — 1/х", если [1щ х[ > л; 1 Я+с Гп! Я+ х 4) — Ьп — — 2Т, если т= Н, Ьп— 2 ! ~ Я вЂ” - (йй — !)Язь 12[' Я вЂ” х ьм Я-1- х = 1п) — (+ п2с(ага(ь — х) — вгдД -- однозначная ветвь в х-плоскости Я вЂ” х ) На первый взгляд решение очевидно; 1 1 Г Ис 1 1 х — 1 — / — = — [!и (1 — х) — !о ( — 1 — х)] = — !л —.
2х! / (-х 2х! 2хе х -!- 1 -1 Необходимо, однако, проверить, что заключительное преобразование действительно приводит к укаэанной ветви логарифма, так как равенство 1паз — !и х1 = = !п(хз/х!), вообще говоря, несправедливо. Это замечение следует иметь в виду и в дальнейшем. Ответы и решения 254 с разрезом вдоль С, определяемая значением Ьп 1 = О. Предельное значение гг г' Зн1 этой ветви на С слева имеет мнимую часть —, а справа — ( — — ).
Этим 2' г)' ( це-! определяются предельные значения Г (г,) нв С; Г(0) =— 2гг! нно Е+х 5) функция Г(х) тв же, что и в предыдущем пункте, толька Ьп —— й — х однозначная ветвь в х-плоскости с разрезом по другой полуокружности С, с тем же значением Ьп 1 = О. Предельное значение этой ветви на С слева Згг г' н1 имеет мнимую часть —, а справа — ( — -) . Этим определнются предель- 2 г)' ( 1)а — 1 ные значения Г (г,) на С; Г(0) =— 2гг! ай" й+х Примечание. В пп.
4) и 5) ветви Ьп — совпадают в круге (х) ( Я, й — х вообще же они различны; так, например, на со в первом случае ветвь имеет значение — нг, во втором +н!. Однако Г(оо) = О. Ь вЂ” х гЬ вЂ” х Т.13. Ьп — = 1и ~ — ~ + гг1с агй ((' — х) — однозначная ветвь а — х а — х в х-плоскости с разрезом вдоль С, определяемая значением Ьп1 = 0 (так же определяются ветви в задачах 7.14-7.17). 7.14. Ь вЂ” а+ х Ьп ((6 — х)/(а — х)). о га Т.15. 1) ~А яхь '+х" Ьп —; 2) ) ) с„Аььхх '+1е(х)Ьп —, а — х а — х я=! =гь ! 6" "+! — а" где А„о = н †6 1 г' Ь вЂ” х Ь вЂ” хо 1 7.18.
— (Ьп — — 1 и — ). х — хо(! а — х а — хо) и ь — * ь— 7.17. Ьп — — Ьп — + ~ Ао(х — хо) ~, Аь = — х (х — хо) ~ а — х а — хо Ь вЂ” 1 1 1 х (, — „,~, Г(хо) = — А„о!. ~(6 — хо)ь ! (а — хо)" Т 18. 1) Го(х) = 1п(х+ Я), Г (х) = 1и (1+ — 1; Г+(~) =!и 2Ясоа — + +! —, Г (Ь) = 1п2соз — — ! —; 2) Г+(х) = 1п(К вЂ” х)+гг! ), Г (х) = 2 2 2 = 1и (1 — — ); Г (г,) = 1п гй~ зги — ! + ! —, Г (Ь) =!п 2! агп — г+ !— (отсчет угла оо = агй г, соответствует условиям задачи). 7.19. 1) Г+(х) = О, Г (х) = 1п(1 — 1/х) Г~(ь) = О, Г (ь) = 1п(1 — 1/ь); 2) Г+(х) = 1п(х/(х — 1)), Г (х) = 0; Г+(~) ы 1п((/(~ — 1)), Г (~) = О. 7.20.
Г(х) = — ~ — 11п — — 2~ ~, где он = Нг Е- ( — )Е -г~' Ы' и ! ь ! о) Если Ьн * н 1о х — ветен, указанные а условии задачи, то Ьо * = 1и (-х) + н!. Глава )г/1 255 /Г+ х а Ьп — имеет то же значение, что в задаче 7.12, 4). Этим определяются 11 — х «« и предельные значения Р~(г,") на С. Если [х[ ( Я, то Р(х) = ~ с„х", с„= «=е 1 / 4 гас' = — / !и— 2ка/ б — 1("+' с Т.21. Р+(х) = — —, [2 + а/х !п — ~ г Р (х) = — — ~2 + а/х 1и 1 Г 1 — а/»1 1 Г 1 — а/х 1 ! +,/-1 1+ чгх~ — /». 7.22.
Р+(х) «в О, Р (х) = Ьп Ях — Ь)/(х — а)) (ветвь логарифма определяется условием задачи). 737. 1)!и! ); 2) !и~ (; 2« 2гг 7АЗ. и(х) = — ( и(Ь) йВг и(со) = — ! иЯгГВ. 2гг / Яа — 2Кг сох( — Чг) + га 2гг В о о 7.45. 1) /(х) = г/г(х) + а/г(йа/х), /г(х) = — г/г(лаа/х) — а/г(х)г причем о(0) = = 1па /(О) = 1гп [ах(0) + г/г(со)); 2) /(х) = — ааааа(х) + аг/г(хаа/Х), /\(х) = ааг(»ах/х) + аа/г(х), о(0) = 1па/(0) = = 1иа [ — арго(О) ь аг/г(оо)). Т.46.
1) /(х) = х", /,(х) = — Га'"/х" (здесь и в ответах к задачам 7.46— 7.50 значение о(О) взято равным нулю). 7.47. /(х) = х /11 «, /г(х) = — 1/х". 7.48. /(х) = — !п(1 — х/га~) (1и 1 = О), /г(х) = 1п(1 — 1/х). 7.49 /(х) = 1/(О) = ~)г /а(х) = — „/— 7.30. /(х) ы!п В, /г(х) гн — 1и В. 3) ! /'., '.,! 7.23. Р"(х) = 1, Р (х) = 1 — , а(( х — Ь 7.24. Р+(х) =х — Ло — (1 — Л)Ь, Р (х) =х — Ла — (1 — Л)Ь вЂ” (х — а)" х х (х — Ь)' Т.25. Р~(х) = Ьп — ", Р (х) = Ьи —. х — Ь » †х 1/ 7.27. — х +х — 3,5. 7.28.
1) — [!п — /а; 2) — а1!и — / 21. х — 1/ 2 1 — г 2 1 х и-';х 7.30. Если [х[ > 1 и х к С то Р(х) = — 1и — 1 п — + Ра(х), где 2 ага х — 1 й — х га -~- х Рг(х) — авалитическая функция при [х[ > 1, а ветвь Ьп — выбрена так д — х же, как в задаче 7.12. 4). Отсюда видно поведение Р(х) в точках хû— концах дуги С. 7.31.
Р(/) — площадь области С', на которую /(х) отображает область С. Ответы и решения 256 иг 'г и я(! — — ) — в случае иг(», Г). 2) 7.62. иг(г, Г) = — а»8 гг,,/» -1- чггг !и !»~ — !и В и для !»( = и. !и» вЂ” 1и Н 2» — В 7.61. иг(»,Г) = — а»8 —. т»жд 7.63. для !»( = гг 1и й — 1и г 7.66. и(») = ~г с иг (»). =! Глава ггП1 8.1. 7'(») = ~ ! этим разложением г" (») аналитически продол- (1 — а)ам =о жается внутрь круга )» — а) < )1 — а), который не лежит целиком внутри круга !») < 1, если а не принадлежит интервалу [О, 1), 2 г'2 г " (» -!- 1/2)и 8.2. Д») = !и — + ~1и !х — г! ! круг сходимости этого ряда ) +1)2~ <3Д.
7.52. и(») = — ( в(1) 1 уж 1 Г и(!) аг У(») = —. У + гС (для сущест(-*) +" вования первого ийтеграла достаточна кусочная непрерывность и ограни- ченность и(1) во всем интервале (-со,со), для второго — дополнитель- но, например, функция и(1) должна иметь на бесконечности порядок 1!'(1( (а > 0)), 7.53. У(»)=и(»)+го(») = — ~ и(1) с»Ъ г(1- — ( иг(1) т)г г(1, 17 т(г-») ! Т т(г — ») 21/ 2 2г,/ 2 где и,(1) = и(1+ г) (для существованил интегралов достаточно, например, чтобы и(1) убывала на бесконечности, как 1Щ'+, о > 0 ).
7.55. Окружности в круге ф < 1, касательные к окружности !») = 1 в точке е'~. Т.57. Дуги окружностей, соединяющие внутри круга ф < 1 точ- ки е дг егхи !» — ь 1 7.58. ы(»;а,Ь) = — агб, иг(»1-со,Ь) = — агб(» — Ь); ш(»;а,со) = т» — а т 1 = 1 — — агб(» — а). Геометрическое значение этих гармонических мерв деленный на л угол, нод которым виден отрезок или луч из точки». 1 1 Т.59. 1 — — агд» для луча агб» = О и — аг8» для луча агб» = у. т т 2» — й х 2йу 7.60. иг(»,.бг) = — агб — — 1 = 1 — — агс»8, иг(», Г) + й г йэ — ~ !ы = 1 — иг(», !»).
Линии уровня — дуги окружностей, соединяющие точки ж!й, из точек которых диаметр гэ виден под углом — (1-Ь ге) в случае ьг(», гз) 2 Глава Р!11 257 8.15. Решение. Подстановка е' = х приводит интеграл к виду 1(в) = 1ощ ля* — (х' = е' *). Интегрируя по частим, получим 1(в) = соз1— х' 1с — бх. Последний интеграл сходится в полуплоскости Вел > -1. /*э 1 8.19.
0 < Пел < 1, — 1 < Ке л < 1. 8.21. Точка з = 1 — простой полюс с вычетом равным единице. 821. Решение. Обозначим через 1о(л) = /е 'Чо(зл) Ж. Аналитичность о функции й(з) в круге )з) < 1 следует из результата задачи 3.150 и общих свойств интеграла Лапласа (см. с. ). Интегрирун по частям (и+ 1) раз и пользуясь неравенствами задачи 3.150, получим при (з) < 1 1о(л) = — ~з [е 17~ ~(зо)), +з ~~/е ~Оршами(зг)оЫ = ь о о а„з" + з"+'о~ е 'Ооше н(ео) <й. о=о о Из оценки для )ужоц) следует, что второе слагаемое а правой части по- следнего равенства стремится к нулю при и -о оо ( )з) < г). Для доказа- тельства второго утверждения возьмем любую точку з б С.
Тогда внутри и на границе круга, длн которого Оз явлнется диаметром, не будет, как это нетрудно доказать, ни одной особой точки функции 1(з). Поэтому при достаточно малом б ) 0 внутри и на границе С круга радиуса )з)7'2 + б, концентрического с уже построенным, функция 1(е) также будет аналити- ческой. Таким образом, для коэффициентов е„разложения 7(з) = ~ с„з" 1 1 У(о) =о справедливы равенства с„ = — ~ — б~ и, следовательно, гл11' ( о С оос" Г([()бо оо(зГ) = — ~о — ) 2яа о' о о з"о" УИ) Так как ряд ) о!( м сходится равномерно на С, то оо(зо) = =о = — ~ 1(С)е —.
Максимум величины Пе(з/Ь) на С равен «ОГ Лг ~г) / С = д < 1 (при доказательстве этого утверждения достаточно рассмотреть случай, когда з действительно и положительно, так как поворот вокруг начала координат не изменяет величины Ке (з1о,'), и, следовательно, )у(зл)) < < Аео' (А — постоянная). Отсюда и следует, что интеграл ~е '1о(лз) ой сходится. о 0)з оо з ео 8.26.
Если Ьп — — ветвь функции Ьп, аналитическая в е — ло л — ео з-плоскости с разрезом по дуге ч~ и обращающаяся в 0 при з = оо, то 17 Л.И. Волкоаыскяй н лр. Ответы в решения Е (э) = (а — Ь)1пп! ', Е+(х) = (а — Ь)1пн! — ~+2яЬС; внутри Сс: х х! з — з! Г (л) = (а — Ь)1п! ! — 2э.с(а — Ь) при аналитическом продолжении ! х — хс х л! через /! и Е (з) = (а — Ь) 1 и — при аналитическом продолжении чеСп х — зс с х! рез 1с. 8.28. 1) з = в3; 2) э = в21; 3) з = в2сд Во всех трех случанх значения ю'(э) различные.
8.30. Над з = 1 два элемента: х = 1+ С, 1 — (1 — с)'/' в = = — + — С+..., )1~<1, С 2 3 1+ (1 — С) /с 2 Вг= = — — — +еа 0<(С(<1; С С 2 над з = 2 один алгебраический элемент; х = 2+ Сс, ю = — = 1 — Ы— 1+и — С'+..., ф <1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
