1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 42
Текст из файла (страница 42)
— ~ — + — ~~ ( — 1) 1 ) 1 л Ч ввг гй+! ' г !!+ая га ~ !ива+ (Ь+ !/2)влв) в-в Глава Ж 243 4.201. (при а = 1 1 = 1п2). 4.202. — СЬ вЂ”. т(1 — 2» г) гг яа Вгп ат 2 2 ксечз 4.203.. 4.204, 4.205. 2сЬ(гга/2] ' ' (ела .1. 1)з ' ' ' 2сов(а/2) ' л гг 1+а 4.206. — !и (1 + а), если О < а < 1; — 1и, если а > 1. 2 2 а 1п" с 4208.1) —; 2) —,еслиС>1; О,еслив<1; если1=1,то1=0 я! и! при я > 1 и 1 = 1/2 (глэвное значение) при гг = 1. е" с" 4.209.. 4.210. в(пС. 4.211.
1) сов С; 2) С вЂ” в(пг. а! е г евг егс 4.212. + (6 — а)(с — а) (а — Ь)(с — 6) (а — с)(Ь вЂ” с) 4.213. — ~1 — — ), если С ) 1; О, если С < 1. 4.216. 1) —; 2)— ,/зс', тс 4.217. егс з/С, где ег(и = /е * с(х. о 4.218. е ' ег( чге 4.219. ыпС, если С < з-, О, если С ) к. 4.220. 1, если О < с < а; О, если с = а; — 1, если а < с < 2а; -1/2, если С = 2а; О, если С > 2а. 4 221. п+ 1, если па < С < (и+ 1)а; и+ 1/2, если С = яа (и = О, 1, 2,,). х 4.222.
1 — ег( — (см. ответ к задаче 4,217). 2чгС 4.223. — + 2 ~ ( — 1) "е а пвг =1 с г е" 4.224. — Еа( — С), где ЕС(С) = /' — 4и. и 2 вн С 2лС 6 4.225. —. 4.226. —. 4.227. О, если Ь < О; згсЬ вЂ”, если Ь > О. с а а 4.230. (~/Г+ 1 > О при з > 0). ч в- + 1(л + чгвт + 1)" 1 4.231. 1), если а > Ь; О, если а < Ь; чс~-661' 16' 1 2) О,еслиа>Ь: —,еслиа<6. чггбт — гг 4.232. (н/2)уо(а(а(~/Р— Ьз). 4.233.
Если действительная часть хотя бы одного полюса положительнв, то !цп /(С) = оо; если действителысые части всех полюсов отрицвтельг-го ны, то Ит /(с) = О; если некоторые полюсы ресположены нв мнимой оси, С-ге в все остальные имеют отрицвтельную действительную часть, то /(С) при С -с со колеблется, причем амплитуда колебаний неограниченно возрастает, Ответа и решения 244 если хотя бы один полюс на мнимой оси имеет порядок выше первого, и остается ограниченной, если все полюсы, расположенные нв мнимой оси,— простые. Если на мнимой оси только один полюс — в начале координат, то ~(1) -+ оо, если полюс — кратный, и у(1) — + гее[е* уг(л)]*=э, если полюс— простой. 4.236 У(1) ъ'2е1х — а "е — — $ ге г — — Ф 4.239.Решение.
Представиминтеграл ввиде ~ Ш+/ — М. 1 1 — а Ж Так как при асимптотическом разложении по отрицательным степеням х е * О, то из решения задачи 4.238 следует, что второй интеграл асимптотически равен нулю. Согласно определению главного значения интеграла е — е е ~ — М = е ' Пш ~ / — 81 + / — ЙФ ~ "е-1 — е1 'е ' — е' Е о (в последнем интеграле подынтегральная функции непрерывна). Далее, е 1 Х а , "41= /'' ' " (1+~ — '41+~-"41-О(Ц+ /'-; (1. о о 1 1 1 Интегрируя по частям, получим е 1 1 где С = С(п) — постоянная величина. Осталось установить, что е1 Пшх е ~1 — В=О, а -~ ~ 1 а это легко доказать при помощи правила Ловителя. Г „э 4.242.
Р е ш е н и е. Рассмотрим ~ е" ' Ж, где контур С изображен на С рис. 68 (при Пел > 0). Этот интеграл равен нулю и поэтому (з = х+1у) е. ~ ит = /е 1 О1 — ~е 1мж1 гН. о о ь'х Первый интеграл в правой части равен — е*; 2 второй запишем в виде Оо 1 (" 1 «з Имх1з 1 1 /'е* 1ьих Рис. 63 2/ 1+ ау 2л 2,1 (1+ 1у)1 Повторяя интегрирование по частям, получим требуемое разложение.
Для Глава 1)г остатка имеем оценку 7"':- 1 ° З...(2п — 1) /ег !г+Г"! ! 1 ° 3...(2п — 1) Г ел 2» (4! .)зл Зл 11+ !у!зл з з г е* 1 Снова интегрирун по частям, получаем /, г(! <,, откуда и ,/ (! -!- гу)з 2!згз"з следует, что разложение является асимптотическим. Случай Вез < 0 рассматривается аналогично. Если же Вез = О, то с" » а о о 4.244. у(!) - — зва !1ы!+ -7! — —, ~ ' — + ..
1 . / гг1 1 Г Г(3/2) Г(7/2) ьг ~ 4 ! юг ! 4477 71777 „ Г(2п -!- 3(2) -474 / ! Г ( !)3 (Зл !)4 ) Л при малом ! У(!) = 2)( — [1 — + †...~ 2)( †. г7л ~ 1 ° 3 5 ! 3 5.7.9 1 !Г л 4.245. 7"(!) 1+ — ~ (-1)" 1 „Г(Зп + Зг2) 43 и-372 ; при малом ! 7"(!) = Г(бгг2) с !з !474 44з74 Г(4) Г(11/2) Зг/л 4.246. 1. 4.247. О. 4.248. 4. 4.250. 1; 3. 4.251. 0; 4.
4.252. 2. 4.253. 1. 4.254. п. 4.255. и. 4.257. Решение. Так как последовательность функций 7'„(з) сходится к функции си* всюду, кроме точки з = О, то для любого кружка К, с центром в точке з ~ 0 и не содержещего начала координат ни внутри себя, --- ~ьгл -".."1 Л г---- < гош )е "~, где С вЂ” - окружность кру- 17 *ес га К, и применить теорему Руше. П р и м е ч а н и е. Утверждение задачи непосредственно следует из теоремы Гурвица (см., например, (1, ф~" гл. Ъ'111, п. 2)). 4.261. О. 4.262. 2; 1.
4.263. В каждом квадранте по одному корню. 4.264. Во втором и третьем квадрантах по два корня. 4.266. В области г3 > О, о > +лггг (область 7 на рис. 69) гп = О; в области !3 > О, а < +~/Д (область 1)) гп = 2; в области )3 < О (область 1!1) ги = 1. Ответам и решения 24б 4.267. В области а > О, ф > 1/а (область 7 на рис. 70) т = 0; в области, где или а ( О, или а > О, ф < 1/а (область Д),т = 2. 4.268. В области а > 1/2 + 1/~ + 1/4 (область 1 на рис.
71) т = О; в области 0 < а < 1/2+ !!/3~+ 1/4 (область 7)) я! = 2; в области, где или а < Ркс. 70 Ркс. 71 < 1/2 — !/ф~ + 1/4, или 1/2 — 1/Д- '+ 1/4 ( о < 0,,3 > 0 (область Ш), !и = 1; в области 1/2 — !//)- '+ 1/4 < о < О, /3 < 0 (область Л') т = 3. 4.270. Областзч содержащая положительную полуось а и ограниченная линиями а+ Ь = О и . ' О ~(1 ~( —. (а = — 1соятг/сбпт1, !! Ь = 1/гбпте, 2 4.271. Область, ле!кащея н первом квадранте и ограниченная линиями ( Ь =1 /соаг1, 2г' 4„272. Конечная область, ограниченная отрезком Ь = О, 0 ~ (а ~ (я/(2т) ( а = 1з!пт1, я кдугоя,, ' 0<1( —, ( Ь=1 соет1, 2т' 7Ю 2 р ик-! 4.282. з = а Ч- —, /(а) Ч- —, — Ц/(а)]!) + ., + —, ([/(а)]" ) + ...
4 288 1 + ~ ( )„!п(п.1-1)...(2п — 2) 2 т" 2!к — ! . и! 1 „п(п Ч- 1)...(2п — 2) 2 г!.-' сд =! ш1 2 4.284. л = а + — — (а — 1) + — — „— ](а — 1)е] + ... 1! 2 21 2з Иа 2 — — ((а — 1)"]+ ... и! 2" На" и — ! ап — ! ап + Ь)" 4.286. 1) з = ), ш"; 2) еь* = Ь) ', ш". «=! к=о Галла !г 247 1и - 1 4.287. л = а+ ~ — — (з(пи а). о1 лаи =1 з — гг/2 л 4.288. Решение. Функции ш = — аналитична в круге )з — -) < э!о з 2 < г, если г < —, и не имеет в этом круге других нулей, кроме з = —. 2' 2 2г На окружности этого круга )нг) >, поэтому круг )нг( < р радиуса е" + е 2г гг р < отображается на соответствуюшую окрестность точки л =— ег -!- е 2 взаимно однозначно и разложение л(ш) в этом круге сходится.
Функция 2г 1„* и" 41 7, л1 имеет максимум при г = г', где е!"* = (г' = 1,19... < — 71, е' -!- е г* — 1 ' 2 2г и этот максимум равен,, = /г"- — 1 = О,бб27... Таким образом, е" * -1-е искомый радиус сходнмости не меньше чем О, бб27,. В та же время тачки 11гл гг ш, в которых — = О, т. е !8 х = з — —, не могут находиться внутри круга г1з ' 2' сходимасти разложеннл з(нг). Обозначив л — — = й преобразуем уравнение 2 лгс !и !1+ 1 — = О к виду с!81 = — 1 или е ' = —. Следовательно, В = г" — корень ез И вЂ” 1 Лгл 1 2!и' уравнения — = О.
Саответствуюшее значение ег = 41 созс е'* -Ь е —" 2г' откуда )нг( =, . = ъ'г*! = О, бб27... Эта точка находится, таким обе" же разом, на окружности круга сходимости, и радиус сходимости равен, следовательно, !/г 1 = О,бб27... Глава Ч 5.1. Кольцо 1/2 < ~з( < 1. 5.2. Внешность единичного круга (~л~ > 1). 5.3, ф ( 1. 5.4.
Полуплоскость Вез < — 1. 5.5. Действительная ось. 5.8. Вся плоскость, кроме точек л = О,к1,ш2,... 5.7. ф > 1. 5.8. ф < 1. 5.9. Вся плоскость, кроме единичной окружности ()з! ф 1). 5.10. Вен плоскость, кроме точек з = 4!гие111+!! 17 (/с,н = 1,2,, ) 5.11. Решение. Если ряд ~ аи сходится, то при )з~ < 1 сходии=! ОО О аихи алли мость ряда ~ очевидна> а из тождества 2 = — ) а 1 — ли 1 зи =1 =1 и=1 (1/з)и следует, что ряд сходится и ири )л! > 1. Если ряд ~г а , 1 — (1/л)и расходится, то ряд ) а зи имеет радиус сходимости П ~( 1. При (л) > и=! 243 Омлеты и решения а л» > 1 расходимость ряда ): " следует из того, что в противном случае о» =! а а а»л сходился бы ряд ) †, а следоветельно, и ряд э 1 — л" Х1 — л" 1 — л" =! «=1 а„. Если же ф < 1, то модуль отношения о общих членов рядов »=! о! а л" и ~ эанлючен в пределах 1 — (л) ( 7 ( 2 и, следоеатель- 1 — г" «=! но, оба ряда сходятся или расходятся однонременно.
5.12. 1) ) Ь„л", где Ь„ = 2 аю причем суммирование распространено .=1 на те индексы р, которые нвляются делителями числа и, включая 1 и и. Радиус схадимости Н = ппп (г, Ц, где г — радиус схадимости ряда ~ а„х". »=! ( — 1) (1ад)« / 1 то1 5.13. ') о„(х — 2)", где а„= — ~ (оо = ~ —, = — ); »1 РД (, Ьэ 6!' =о о=! ь-.! 1 1 5.14. —, если (э! < 1, и — —, если )л) > 1. 2' 2' 5.15., если )л! < 1, и,, если (л( > 1. о 1 (1 — о12 (1 — о!2 5 16.
л, если ф < 1, и 1, если )л( > 1. о 1 5.17., если )л) < 1, и, если )х! > 1. о — !' х — 1 5.19. 1) и 2) сходятся равномерно во всяком круге ф ( г < 1 и во всякой области (х~ > В > 1; 3) сходится равномерно на всей действительной оси; в остальных точках расходится. 5.21. Сходитсн равномерно на окружности (л! = 1; во всех остальных точках расходится. 5.22. Сходится равномерно в любой полуплоскости Кех > 6, где 6 > О. 5.23. Сходится равномерно в любой полуплоскости Вел > 1 + 6, где 6 > О. 5.24. Сходится равномерно на действительной оси; во всех остальных точках расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
