1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 38
Текст из файла (страница 38)
з!п~ а соэз а 4иэ 2.108. 1) Окружностям )з( = Я соответствуют эллипсы + (Я вЂ” 1/Я)з 4из (я ж 1/я)' = 1 (окружности !з( = 1 — отрезок и = О, — 1 ( е ( 1), лучам агб з = а соответствуют ветви гипербол — — — = 1 (лучам р = 0 з!пз а созз а и р = и соответствует ось и = О, лучу ш = х/2 — луч и = О, о > 1, лучу !о = -я/2 — луч и = О, с ( — 1); 4и- 4и2) окружностям (з)=Я соответствуют эллипсы „+ (Я+аз/Я)! (Я-аз/ЯР = 1 (окружности (з~ = а — отрезок о = О, — а ( и ( а), лучам агб з = а и иэ соответствуют ветви гипербол, — „, = 1 (лучу агбз = 0— а! сова а аа з!оэ а луч о = О, и > а, лучу агб з = л — луч о = О, и ( — а, лучам агб - = а н/2— ось и = 0); 3) семейства софокусных эллипсов и гипербол, получаемые из соответствующих семейств для функции Жуковско! о (см.
задачу 2.106) поворотом на угол 7 и подобным преобразованием с коэффициентом подобия )с( (центр подобия — в начале координат). е"* 1 ь ор. и = — ! 7-"з); ~! = ! +~г:-ь' -— у)); с а+Ь обоих случаях при одном выборе ветви корня получаем отображение на внец!ность единичного круга, а при другом — на его внутренность. 2.110. и = "— ' ' — Р'-зч аз — Ьз — л + 'Р:|'- э),, А— а — Ь число; и = 'а +Ьт — 'У+1~' 1/ !1 2.112.
Вся плоскость с разрезом по отрезку [ — 1, — !та+ — г!~, если а > '21 а > 0; вся плоскость с разрезами по лучам ( — со, — !1а+ — г!1 и ( — 1, +ос), 21 а если а ( О. 2.113. и = — . 2.114. и = 5/4 — (л + !/з)/2 1'лава П ггз образом окружности С' нвляетсн (рис.
б7) е замкнутап кривап с угловой точкой ш = 1, причем касательные в этой точке наклонены соответственно под углами 2а — аб и 2а+ (л — а)6 к действительной оси; образ окружности С содержитсн в лд области, ограниченной образом окружности С'; внешность окружности С' отобража- -1 С и ется на внешность образа этой окружности. 2) Внутренность окружности С отображается на внешность области, ограни- Ркс. 67 ченной дугами окружностей, проходящих через точки -1, 1, причем в точке 1 касательные к этим окружностям образуют с действительной осью углы, соответственно равные: а) 2а+ +(л — а)б, 2а+ (2л — а)б, если функция ш(») определена в»-плоскости с разрезом по дуге окружности С, лежащей в нижней полуплоскостн; б) 2а — ад, 2а — (л+ а)б, если разрез, определяющий функцию пг(»), проведен по дуге окружности С, лежащей в верхней полуплоскости.
ег — 1 г' »е'»+1»мгз 1 2.123.— =( . /, где 7=а, если )7>0, и 7=а+а, в -~- 1»с*э .Ь ае гам если )7 < О. 2.124. Вся плоскость с разрезами по лучам р = О, х ( — 1/2 и у = О, х > 1/2, 2.123. Полуплоскость х > 1/2 с разрезом по отрезку р = О, 1/2 ( х ( 1. 2.126. Вся плоскость с разрезами вдоль лучей р = О, 1 ( х < со и у = О, — гю < х ( — 1, 2.127.
Угол — л/п ( а»8» < л/и с разрезом по лучу р = О, 7/1/4 ( х ( < оо. 1 2ьл 2.128. 1) Всп плоскость с разрезами по лучам )ш( > —, ахдш =— е4 (1 ж»")и" (гг = О, 1, ..., и — 1); 2) ш = К4» . г =ггЗ+~~= — 'ггзтг т:гг: ьг2 г = * = — (лг»г т:»г 2.130. 1) ш =(а" + а ") Решение. Функция (' = — г1»" + — ~ отображает сектор на нижнюю 2'1 полуплоскость, причем точки а и ае переходит в точки х — гха + — !. г11 Лалее, следует сжать полуплоскость (р = ь ы/ и отобразить ее на (а" + а ")/2/ единичный полукруг (т = р+,/ф — 1).
Функция ш = ,"/т будет искомой. 2), ( ж+а- ж)-зl (» Iз+»- lг+ (» 12 1»-пж)2 (а 72+а-э72)2)з1 Ответы в решения 2.134. ш = 2.135. При при Ь = 1 н~ 1-~-з 1-~-Ь вЂ”,ь,= —. 1 — з 1 — Ь при Ь > 1 2.136. ив ~ и~. = з/~~ + г ~ '~ ° ° ~ - я) т/2 -Ь,/б Решение. Функция Ь = з отображает верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезкам (О, 1 + 1], (О, — 1 + г) на область задачи 2.132, которую и отображаем на верхнюю полуплоскость. Найденная функция, в силу принципа симметрии, отображает данную в условии область на плоскость с разрезом по некоторому отрезку, Остается отобразить внешность этого отрезка на внешность единичного круга.
2.136. ю = — [(з+ /З вЂ” ц 2 + (3+ /зз — ц 1" + 2)ыз = ~/2 + / з "ц Г(2 ~+( + / з ц — дз«~) Л Р е ш е н и е. С помощью функции т = ~ ге, где ~ = л + з/à — 1 — функцип, обратная по отношению к функции Жуковского, верхняя половина заданной области отображается на область )г( > 1, 1ш т > О, которая функцией Жуковского отображается на верхнюю полуплоскость. Применяя принцип симметрии, получаем отображение внутренности правой ветви гиперболы на всю плоскость с разрезом по лучу ( — оо, -Ц; зта последняя область легко отображается на верхнюю полуплоскость.
П виме ч ание. Множитель 1/1/2 не играет роли, так как преобразование ш = Ьш (Ь > О) отображает полуплоскость на себя. 2.139. ш = (е ' (л+ з/зз — Ц) /ид~ — (е ' (л+ т/в — 1)) г1~д~, где Д = к — а. = -'( 'азу+ + /ГР+зт г-7), ъ/Ьтжс' — ъ~З+с ' где о = — (з/аз+се — ь/Ьз+аз) 11 = — (з/аз+ел+ з/Ьз+се). 1 1 2 2 = /'зтз+ зтз. Глава Н 225 л+ ьГл' — — еГ 1э Ь 2.140.
щ = [е '" ], где с = з/аз+ Ьз, о = эгсьб —, р = с а 2 ьгс45 (а/Ь) 2.141. 1) Область стРоитсЯ слеДУющим обРазом: кольцо г[ < [ю[ < гзз разрезается вдоль отрезка г[ < и < гз~ действительной оси и к нижнему краю разреза приклеивается часть такого же кольца: г, < [м[ < гм 2 3 О < агдщ < 2об если о = я, то второе кольцо — полное и его свободный край следует склеить со свободным краем первого кольца (в этом случае получаем двулистное кольцо г, < [и[ < гз); 2) если а < 1, то неравенство [з~ — Ц < а определяет две области (см.
задачу 1.39), каждая из которых отображается иа однолистный круг [щ — Ц < < а; если же а > 1, то неравенство [з — Ц < а определяет одну область, которая отображается на двулистный круг ]щ — Ц < а (для того чтобы построить этот двулистный круг, достаточно два одинаковых экземпляра круга ]щ — Ц < а разрезать вдоль какого-либо радиуса и склеить нижний край разреза 1-го экземпляра с верхним краем разреза 2-го экземпляра, а верхний край разреза 1-го экземпляра — с нижним краем разреза 2-го экземпляра).
2.142. 1) Область строится следующим образом: к плоскости щ, разрезанной вдоль отрезка [ — 1, Ц, приклеивается внутренность эллипса 4о2 4эз „+, = 1, также разрезанного вдоль отрезка [ — 1, Ц, при(й+ 1/К) (Я вЂ” 1/Я) чем к нижнему краю разреза плоскости приклеивается верхний край разреза эллипса, а к верхнему краю разреза плоскости — нижний край разреза эллипса; 2 1м — 11 2) двулистная область ~ — ~ < Гс~ ~неравенство ~ — ~ < Я опредеи+1 лает внутренность круга, если П < 1; полуплоскость при П = 1 и внешность круга в случае, когда П > 1). Разрез и соответствующие склейки идут вдоль линии, соединяющей точку м = 1 с какой-либо граничной точкой области !" „! <П'.
2.143. 1) и 2) Поверхность состоит из двух листов плоскости з, разрезанных по отрезку [-1, Ц, причем нижний край разреза первого листа склеен с верхним краем второго, а верхний край разреза первого листа— с нижним краем второго. 2.144. 1) и 2) Поверхность состоит из двух листов, разрезанных по лучам, идущим соответственно из точек — 1, О, 1 в бесконечность, например, параллельно действительной оси н положительном направлении.
Нижние кран разрезов первого листа склеены с верхними краями соответствующих разрезов второго листа, и наоборот. 2.145. Поверхность состоит из трех листов плоскости з, разрезанных по лучам ( — оо, — Ц и [1, оо). Вдоль луча ( — оо, Ц склеивание производится следующим образом: верхний край разреза первого листа склеивается с нижним краем разреза второго листа, верхний край разреза второго листа— с нижним краем разреза третьего листа и верхний край разреза третьего листа — с нижним краем разрезе первого листа. Вдоль луча [1, оо) следует склеить; нижний край разреза первого листа с верхним краем разреза второго листа, нижний край разреза второго листа — с верхним краем разреза третьего листа и нижний край разреза третьего листа — с верхним краем разреза первого листа.
15 Л.И. Валкоаькккй к др. 226 Ответы и решения 2.146. 1) В полярную сетиу р = сопла, В = совет; 2) а спирали р= еж е'/е (при Ь = 0 в лучи В = Ь); 3) в угол а < В < В (при а = 0 и В = 2л — в плоскость с разрезом по положительной части действительной оси); 4) во всю плоскость с разрезом по спирали р = ее; 5) в сектор р < 1, 0 < В < а (при а = 2л — в единичный круг с разрезом по радиусу е = О, 0 ( и ( 1); 6) в область р > 1, 0 < В < а (при а = 2л — во внешность единичного круга с разрезом по лучу е = О, 1 ( и < со); 7) в область е < р < ее, т < В < б (при 6 — л = 2л эта область явлнется концентрическим кольцом с разрезом во отрезку В = л, е < р ~ (е ). 2.147. Угол 0 < агб (з+ и) < л/и; полоса 0 < у < л.
2.148. 1) В прямоугольную декартову сетку и = С, е = С; 2) в прямые; 3) в полосуО <а < ей 4) в полуполосуи < 0,0 <о< об 5) в прямоугольник !и г1 < и < 1п ге, 0 < е < 2л. 2.149. 5) Ь = а[ЕП(ее/2)[, 1 = а]ба(пе/2)[. 2.150. 1) Семейство х = С преобразуется е семейство софокусных гн( и~ Ю пербол с фокусами в точках х1 — — = 1; семейства у = С вЂ” в хсозеС з1пзС / ~ з семейство софокусных эллипсов с теми же фокусами +, = 1); 1 оп зС еп зС 2) в верхнюю полуплоскостеп 3) в четвертый квадрант; 4) в правую полуплоскость с резрезом по отрезку [О, 1]; 5) во всю плоскость с разрезами по действительной оси вдоль лучей ( — оо, — 1] и [1,со); из б) во внутренность эллипса + = 1 с разрезами по отрезкам сьза зпел [- ЬЬ,-Ц и [1, ЬЬ], 2.151. 1) В полуполосу — л/2 < и < л/2, е > 0; 2) в полосу — л/2 < и < л/2; 3) в полуполосу 0 < и < л/2, е > 0; 4) в полосу — л/2 < и < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
