1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В задачах этого параграфа рассмотрены уравнения и системы уравнений, приводящиеся к виду (1), а также некоторые свойства их решений '). 11.17. Показать, что система уравнений Карлемана и, — хи+ аи+ Ьо = г, и„ + ьх + си + йо = д, где а, Ь, с, сь 1" и д — функции переменных х н у, может быть записана в виде (1); юл + Аю + Вю = Е. Выразить А, В и Г через коэффициенты данной системы. 11.18. Показать, что уравнение юд — дз(х)где +Аю+Вю = Е с помощью чаффинногоз преобразования ю = а(х)го + Ь(х)Ы (2) можно привести к виду (1). Найти общую форму преобразования (2) и выяснить, когда оно невырожденное.
11.19. Показать, что уравнение юл — дг(х)ю, — дд(х)юл + Аю + Вю = Г ') По поводу приведенного цикла задач см. моногрвфиии Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.— Мл Физматгиз, 1959.— Гл. П1. с помощью преобразования предыдущей задачи может быть приведе- но к виду юд — д'иг, + Агю+ В'ю = хч. Найти общую форму преоб- разования и выяснить, когда оно невырожденное. Уг. Обобщенные енаяитические функции 201 Указание. Применить рассматриваемое преобразование к данному уравнению и к уравнению ю, — у1(г)ю, — узЯш, + Аш + Вю = = Г, исключить ш„а затем подобрать коэффициенты а(г) и б(г).
11.20. Показать, что уравнение ю» — д1 (г)ю, — уз(г) ше + Аю + Вю = Г (~у1(г)~+ р12(г)! < 1) с помошью замены независимой переменной г на переменную 1„связанную с г соотношением 1,2 = у1" С», может быть приведено к виду юС цгше + Аю + Вш = Г. Найти д1' и уг и вылснить геометрический смысл преобразования С(г). 11.21.
Доказать, что эллиптическая система дифференциальных уравнений вида а1и„= аие + (Д + (31 )ие + ои + би + 1, — а1и = ((1 — Я)и, + уие Ч-си+1Ь+д (условие эллнптичности здесь ай —;'12 > 0; кроме того, а > 0) может быть приведена к виду ю» — у1(г)и»» — у2(г)юг + Аш+ Вю = Р, причем )у,(г))+ )уз(г)) < 1, если а1 > О, и йу1(г)~ — )дг(г)й > 1, если а1 < О. Указание. См. задачу 11.9.
Случай а1 < О сводится к случаю а1 > 0 заменой ю = и+ее на 10 = и — гш 11.22. Доказать, что если ю( ) — непрерывно диффсренцируемое решение уравнения и»е — дг(г)шг = О, где дг(г) — аналитическая функция от г и (дг(г)( ф 1, то у ( ) + уе( )ф(г) 1 — ~уе( )Р где у»(г) произвольнал аналитическая функция. 11.23. Доказать, что если ю(г) — дважды непрерывно дифференЦиРУемое Решение УРавнениа юе — ф»(й)юе = О, гДе дг(г) — аналитическая функция от г и ~у2(г)! ~ 1, то Ш(г) — »»(г) + ) Ч2 (г)т»»»»г~ где ~р(г) — произвольная аналитическая функция от г. У к а з а н и е.
Сначала нужно доказать, что ю(г) есть сумма аналитической функции от г и аналитической функции от г. Гл. Х1. Обобщение пиалигпических функций 202 2 3. Некоторые интегральные соотношения н двойные интегралы В задачах этого параграфа С вЂ” область, ограниченная контуром С. 11.242). Пользуясь формулой Грина, доказать следующие соотно- щения (1(х,у) и д(х,у) непрерывно дифференцируемы в С): 1) Ц вЂ” с~ха)у = —.) 1оц; С С 2) ~~г)С+ дд~ = 24Ц( — — — д) г)хс)у; С С у() 1™М~ 1О' 9 Указание. Воспользоваться тем, что — = = ~ — ), д1(О 1 д 71К)х д( ~ — ° дс ~(-.)' и применить формулу п.
1) к области С без кружка й," — »( < д (р -+ 0). 11.25. Предполагая, что функции 1 и д непрерывно дифференцируемы в замкнутой области С, доказать, что выражение Гс)»+ дЮ тогда и только тогда нвляется полным дифференциалом некоторой д1 дд функции, когда ду д»' 11.26. Доказать, что если 1 и д — функции, аналитические н области С и непрерывно дифференцируемые на С, то в частности, 11.27. Доказать, что если функция 7(») конформно отображает область С на область С', ограниченную контуром С' = 1(С), то интеграл 1= -' ~УдУ 21 С равен площади Я области С', если же 1"(») конформно отображает область С на внешность контура С', то 1 = — Я. з) К задачам 11.24 — 11.27 см.
дополнение М. Ш иффера а книге: Курв нт Р. Принцип Дирихле, конфармиые отображении и минимальные поаерхности,— Мл Гостехиздат, 1953. 98. некоторые интегральные соотношения и деоаные интегризм 2ОЗ 11.28.з) . Пусть С вЂ” круг )г) < П < 1 и ио ~Р(Ь) = 1Ч = Ре' = С +гг1, Найти функцию г — гезу ) Е(г) = — — 11 (г б С) дГ дг' дГ дЕ и ее частные производные —, —, —, — для г у':О. Показать, ди ' дл ' дг ' дг дР' что из указанных производных только — существует и непрерывдв на в начале координат.
11.29. Доказать, что если функция г'1г) непрерывно дифференци- руема, то когда область С стягивается в точку г. Указание. Воспользоваться соотношением п. 1) задачи 11.24. 11.30. Пусть функция у(ч) непрерывна в замкнутой области С. Доказать, что функция у1~(адбнл дГ в области С удовлетворяет уравнению — = 9о(г), если производдг дг ную — определять по формуле задачи 11.29. дг 11.31. Доказать, что в условиях задачи 11.30 общее решение уравнения д1 —, =Фг) дв может быть в области С представлено в виде у" 1г) = —" ~~© С вЂ” — УЗо~~ б " 1формула Помпею). 2нг зУ ~ — г но'/ с Указание. Воспользоваться соотношением п. 3) задачи 11.24. з) К задачам Ы.25 — 11.31 смд Веку а И. Н.
Обобшениые аналитические функции.:-- Мг физматгиз, 1959. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Глава 1 1.1. 1) †, :2) †; 3) -(1 + 34); 1) -8. 1 5 1.2. 1) 3, — (здесь и дальше указаны только значения а«8«); 2) 2, л; 2 3) з/2, —; 4) з/2, — — '; 5) з/299, агсв8 —:, 6) з/299, -агсг8 —; 7) з/299, л — агс63 —; 8) з/299, асс!8 — — л; 9) )Ь), — — = — вбпЬ ); о 5 л)Ь! л 2'2''262 10) з/а + Ь, агс!8 — при а > О, агс18 — + л при а < 0 и Ь ) О, агс!3 — л Ь Ь о о приа<ОиЬ<0. 26л 1.3.
« = сов я«+ з в!и взь, где сз« = —, /с = О, 1, ..., п — 1; « = О. и 1.4. 1) 1, — — я — ; 2) ш — + †, -з; 3) я — (1 + з),я — (1 — з); оЗ зс/3 «,Гг ., г 2 2 2 2 2 2 4) ~ — (Л+ '),~ — (Л- ),~/2«; с/2 . с/2 2 2 5) +! ~ з, ~ — (1 + з). ~ — (1 — з); Л . мй 2 2 6) ~ — (1/~2+ 1 — !Ь/Г2 — 1)' 7) ~(2+ з) 2 8) /2~со (26+3/4)л .. (26+3/4)л| (/с = о 1 2). 9) ~з«5 ~сов (21с Е 1)л — агсгп (5/4) .. (2/с +!)х — агсзб (3/4) ~ + з'в!п 5 5 (1=0,...,4) вппЬ=! при Ь>О, вбп Ь = -1 при Ь < О. ) впп 6 означает символ Кроиекервс 26« ..
26«1 1.15. «ь = «з(сов — + зяп — ) (Ь = 0,1,2,...,п — 1). 2л .. 2«! 1.16. «з = «з+ («с — «з)(сов — я з'в!и — г!. 1.17 «с = «! -1- «з — «ь и «з — «з 1.18. Отношение должна быть действительным числом (условие «з — «! необходимо и достаточно), «з — «з «з — «з 1.19. Ангармоническое отношение («з, «з, «з, «4) = должно «! — «с «з «4 быть действительным числом (условие необходимо и достаточно). Глава 1 2О5 1.20. Р е ш е н и е.
При доказательстве можно считать (не нарушая общности), что прямой, о которой идет речь, является мнимая ось и что все рассматриваемые точки находятся справа от нее (в противном случае следует умножить все ль на некоторое число вида сов се Ч-гэ!во), Тогда очевидно, что Вель > О и Ве(1/зл) > О при любом к. 1.23. Внутренность круга радиуса К с центром в точке з = зе, внешность этого же круга; окружность того же круга. 1.24. Эллипс с фокусами в точках л = ш2 и большой полуосью 5/2.
1.25. Внутрснвость левой ветви гиперболы с фокусами в точках г =+2 и действительной полуосью 3/2. 1.26. Прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему точки з~ и зз, и проходящая через середину этого отрезка. 1.27. 1) Прямая х = С и полуплоскость, расположенная справа от нее; 2) полуплоскость, расположеннан снизу от прямой у = С. 1.28.
Полоса — 1 < у < О. 1.29. Внутренность угла (содержащая положительную часть действительной оси) с вершиной в начале координат и сторонами, образующими с действительной осью углы, равные соответственно о и Д внутренность такого же угла с вершиной в точке эе. 1.30. Парабола у' = 2х ж 1. 1.31. Полуплоскость, ограниченная прямой х ф у = 1 н содержащая начало координат. 1.32. Прямая, проходящая через точки щ и зз (из которой исключена точка л ); окружность, диаметром которой служит отрезок, соединяющий точки з~ и лз (из которой удалена точка х ), 1.33.
Внутренность окружностей )л — ~) = ч'2 и ~л -Ь г) = ч'2, за исключением их общей части. 1.34. 1) Внутренность области, ограниченной отрезком О < х < 2х действительной оси н одним витком спирали Архимеда г = ф; 2) множество точек, определенное в п. 1) и дополненное интервалом (О, 2э) действительной оси.
1.35. 1) Семейство окружностей, касающихся в начале координат мнимой оси, и сама мнимая ось (уравнение семейства: С(х + у ) = х); 2) семейство окружностей, касающихся в начале координат действительной оси, и сами действительная ось 1.36. 1) Семейство гипербол х~ — у = С; 2) семейство гипербол ху = С/2. 1.37.
Каждая линия — окружность, являющаяся геометрическим местом точен, отношение расстояний которых от точек з и ш постоянно (окружность Аполлонин относительно точек щ и ль 1.38. Семейство дуг окружностей с концами в точках з~ и зз (в это семейство входят также два прямолинейных отрезка с концами в точках з~ и эз, один из этих отрезков содержит бесконечно удаленную точку). 1.39. 1) Каждан линия — геометрическое место точек, произведение расстояний которых от точек э = — 1 и л = 1 постоянно (лемниската с фокусами л = ж1). При Л > 1 линии семейства — простые замкнутые кривые, 20б Ответы и решения при Л < 1 они распадаются на две простые замккутые кривые, которые при Л -2 0 стягиваются к точкам т1.
При Л = 1 имеем лемнискату Бернулли; уравнение ее в полярных координатах г2 = 2 сов 222, 2) Лемнискаты с фокусами в точках х1 и зз, где х1, хз — корни уравнения ~!22 21~ хз+ ах ф Ь = О. Лемнискаты состоят из одной линии, если Л ) ! ( г (22 — 2!( )22 — 2!) и из двух, если Л < 2/ . При Л = !/ — имеем лемнискату Бер- 2 1/ 2 2! ж 22 нулли с двойной точкой 2 1.40.
1) (х),е.„= — (Чае+ 4+ а), )х)„„„= — (1/а!+ 4 — а); 2 2 2) )2)„!„= — (-,/а' -~- 4)Ь( -~- а), !х!„а, = -(;/Ы -2- 4)Ь~ — а). 1.41. Спираль Архимеда г = 22. 1.42. Логарифмическая спираль г = ее. 1.43. 1) я; 2) —; 3) 2я; 4) я; 5) О. 3 ' 1 44,5=,, б=, „, С=; з=х+ !у= ~™. х2 -!- П1 ж 1' х2 ж Вз -2-1* х2 ч В2 ж 1* 1.45. (1/2, О, 1/2), ( — 1/2, О, — 1/2), (О, 1/2, 1/2), (2/2/4, - 1/2/4, 1/2).
Все четыре точки лежат на экваторе, долготы их соответственно рав- ны О,я,я/2, -х/4 (долгота отсчитывается от начального меридиана, лежа- щего в плоскости с, С). 1.46. Окружность радиуса 28 ()2/2 + я/4) с центром в точке х = О. "Юж- ному" полюсу саотаетствует начало координат, "северному" — - бесконечно удаленная точка. 1.47. 1) Полумеридианы с долготой еб 2) параллели с широтой /) = = 2 а!с!8 2 — х/2. 1.48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
