1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 29
Текст из файла (страница 29)
10.39. Правой ветви гиперболы — — — = 1 (извне и изнутри, х у и2 Ь2 со скоростью Ъ', = 0). 10.40. Полупрямых — со < х < — 1, у = ~я. 10.41. Полупрямых 1 < )х! < со, у = О. В задачах 10.42 — 10.46 рассматриваются периодические течения (Ъ'(г + ы) = Ъ'(г)) и течения в криволинейных полосах (каналах).
Для построения этих течений криволинейные полосы следует конформно отобразить на прямолинейные полосы, затем продолжить течения по принципу симметрии и использовать разложения мероморфных функций в ряды простых дробей. В задачах 10.42, 10.43 исследовать особенности, построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии и определить скорость на оо в полосе периодов для периодических течений с заданными комплексными потенциалами. 10.42. 1) и = — 1псйпг; 2) ю = — 1па1пг.
2а 2яг 10.43. ш = — с18 г (О < агбр < -). 2н 2 10.44. В прямолинейной полосе г-плоскости о: 0 < х < ы, построить течение, образованное внхреисточником (а; С~, Г), а Е Я, имеющее заданные скоРости 1г(х+Ьоо) = а1', У(х — Ьоо) = т"гы Всегда ли такое течение возможно? Построить схематически линии тока и эквнпотенциальные линии, если Г = 0 или аг = О. Указание. Продолжить течение по принципу симметрии и воспользоваться результатом задачи 10.42. а) См, задачу 2Л21 н отеет к нея. 176 Гл. Х. Прилокеения к механике н физике 10.45.
В прямолинейной полосе х-плоскости Я: 0 ( х с из, построить течение, образованное диполем (а;р), а й Я, имеющее заданную скорость Ъ~(х ~ зсо) = 1Ъ'. Построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии. 10.46. В криволинейной полосе х-плоскости 5, ограниченной контурами С1, Сг, построить течение, обтекающее С1, Сг, имеющее заданные вихреисточники, диполи в я и заданные скорости К, Ъгг в бесконечно удаленных точках Й1,111 полосы Я.
Указать достаточные условия для существования такого теченил. Течение называется двояквпвриодическим, осли его скорость ш'(х) является эллиптической функцией. Эллиптической функцией называется дввяквпвриодичвская меро! морфная функция, с периодами 2ш и 2вз', причем 1ш — ф 0 (в даль! нейшем принято, что 1ш — > 0).
Из этого определения следует, что г(г+ 2твз+ 2пвз') = г(г), где гп и и — любые целые числа или нули. Параллелограмм с вершинами ге, за+ 2ы,гв+ 2вз',ге+ 2ш+ 2вз' (ге — произвольная точка) называется параллелограммом периодов. Если Г"(г) — отличная от постоянной эллиптическая функция, то она обладает следующими свойствами (теоремы Лиувилля): 1) 7(х) имеет по крайней мере один полюс в параллелограмме периодов; 2) сумма вычетов функции г'(х) относителько всех полюсов, расположенных в параллелограмме периодов, равна нулю; 3) уравнение 7(х) = а имеет в параллелограмме периодов одинаковое число корней для любого комплексного числа а, конечного или бесконечного (это число корней называется порядком эллиптической функции); 4) разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов функции 1(х), расположенных в параллелограмме периодов, равна некоторому ее периоду, т.
е. ок — ~~~ (дь = 27звз+ 2ивз' (р и и — целые числа). Сигма-функцией Ввйврштрасса называется целая функция а(х) = х П (1 — -) е'7пч' Иго ~ (6) где зз = 2пиз+2твз' и произведение распространено на все 11, отличные от нуля. Функция сг(х) нечетная.
,Дзота-функцией Ввйврштрасса называется мероморфная функция (7) где суммирование распространено на все Й, отличные от нуля. Функция 1,(г) нечетная. б д Приложения и гидромеганиие 177 Функция Вейерштрасса р(г) с периодами 2ы и 2и!! (см. с. 167) связана с т,(з) соотношением р(з) = — т,'(г). Так как Цг + 2и!) — Цз)]' = (з(г) — ез(г + 2ш) = О, то !,(г+ 2ш) — !,(з) = 2п Дз + 2и!') — !,(з) = 2т/, н, аналогично, где и и т/ — постоянные. Пользуясь нечетностью функции !,(г), легко показать, что П = т',(ит) и т/ = ь(ит'). Величины т1, т/, и! и ит' связаны соотпношением Лежандра язз — и оз = я1/2. Обозначим ! ! П=цт, П =т1з и б+П =Ъ, ! ! Ш=Ш1, ит =итз и ш+ш =шз. Функции п1(г) определяются соотношениями пг(г) = — еи"' (Ь = 1,2,3). и( ь) (8) Соответственно ьг( )=— пь( ) пт„. (г) Функции пь(г) связаны с функцией Вейерштрасса р(з) и функциями Якоби епз, спг, йпз следующими формулами: аь(г) п(г) ' зтз(г) пз(г) спи = —, Йпи = —, !тз(г)' пз(г)' (10) ,— — — п(г) зпи = зте~ — ез— о'з(г) (11) 12 П.И.
Волкоеыский и яр. где и = г~/е~ — ез и еь = 1з(ить) (см. с. 167). При помощи п(г) и т,(г) можно выразить любую эллиптическую функцию. Если Дг) имеет в параллелограмме периодов только простые полюсы Ьь с вычетами Аь (Ь = 1, 2, ..., и), то и /(г) = ~ ~А1Дз — Ьь) + С. (12) Ь=1 Если Дз) имеет в параллелограмме периодов нули аь и полюсы Ьь (Ь = 1,2, ..., п), каждый из которых пишется столько раз, какова его з"я. Х.
Приложения и механике и физике 1Т8 кратность, то ( ) = С а(х аг)а(х аз)"'а(х а") а(х — Ь;)а(х — Ьз).. а(х — Ьн) ' (13) где Ь; = ~~~ ае — ~~' Ьь. Ь=з Тета-функциями Якоби называются функции д („), ~,- ( Ц ) -з/2)',)2 -4).4. л= — ее ее ( — 1)"г/~е4 г/2) 8)п(2п+ 1)ко, дз(и) = дг(и+ -), дз(о) = г) ' е 4"дг(о+ — + -), д4(о) = -зг) / е 4"дг (о+ -), (Рб) где 4) = е'", т = из'/га. Тета-функции связаны с сигма-функциями соотношениями вида гг(х) 2г ~геЯ~з )/)2аг) ( ) ~0) ' (16) и (х) = сгегз )/г~ ') ии (з = 1,2,3), д',,(0) (17) 10.47. Показать, что функция /(и) = — г,(и — а)+ Си является М 2к комплексным потенциалом двоякопериодического течения с одним диполем (гз;М) (з)з — момент диполя) в параллелограмме периодов.
рассмотреть, в частности, случаи; 1) гг = 0 и линии 1ши = ж1зпез' являются линиями тока; построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии; исследо- где х = 2ыгш Преимущества тета-функций заключаются в быстрой сходимости рядов, их определяющих. Пользуясь формулой (16), представление (13) можно записать в виде Л4 .
(-.:) ( —.:) '('.:-) '(' ")'( — ',.') '(',.') Пользуясь формулами (11), (16) и (17), можно записать выражения для функций Якоби апх, сох, г)ох через тета-функции. В дальнейшем предполагается, что иг — действительное число, иг' — чисто мнимое, т. е. параллелограммы периодов являются прямоугольниками. д1. Приложекик к гидромолакике 179 вать конформное отображение, осуществляемое функцией 1 = 1(и); 2) Г(и+ 2ы) = 1(и); построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии, исследовать конформное отображение г =,г'(и). 10.48.
Показать, что течения, определяемые комплексными потенциалами ~ь(и) (1 = 1,2,3), сводятся к течениям задачи 10.47 (при С = 0) с помощью сдвигов в плоскостях и и ~. Указание. Воспользоваться формулами (8) и (9). 10.49. Показать, что течения, определнемые комплексными потенциалами д~( — )/дг( — ) (к = 1,2,3,4) и Я(и) (см. с. 165), сводятся к течениям задачи 10.47, 2) с помощью линейных преобразований. 10.50. Показать, что течение, определяемое комплексным потенциалом Е(и) (см. с. 165), с помощью линейных преобразований сводится к течению задачи 10.47, 1).
У к а з а н и е. Доказать предварительно соотношения Е е~ ы К = (ег — ез)ы и — = + —. г7. К е — ег К 10.51. Найти комплексный потенциал 7(и) двоякопериодического течения с двумя днполями (онЛХ), (д; Х) в параллелограмме периодов. Выяснить, в каком случае функция .7(ц) будет эллиптической и линии 1гпи = ~1ты', Неи = ~го будут нвляться линиями тока и зквипотенциальными линиями (или наоборот); построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии. В задачах 10.52 — 10.54 исследовать двоякопериодические течения, определяемые заданными комплексными потенциалами 7(и).
10.52. зп и. 10.53. сп и. 10.54. Йп и. 10.55. Найти комплексный потенциал г(и) двоякопериодического течения с двумя вихреисточниками (сб Я, Г), (д; — Я, — Г) в параллелограмме периодов. Рассмотреть, в частности, случаи гг = О, сг = ы, сг = ы + Оl' и Д = ы'. найти вид функции г(и), удовлетворяющей условию 1(и+ 2ы) = = 1(и). В задачах 10.56 — 10.58 исследовать течения, определяемые указанными комплекснымн потенциалами 1(и).
10.56. 1) 1п ап и; 2) 1п сп и; 3) 1п бп и. 10.57. р(и). 10.58. 1пдл(и) (и = —, й = 1,2,3,4). Для построения комплексного потенциала 1(г) в двусвязной области .0 ее обычно сначала конформно отображают на круговое кольцо Н; р < ф < 1 (гг = 1/р — модуль Р); кольцо Н с радиальным раз- 12* 1ао Гл. Х. Прилолеения к мезонине и физике ревом [р, Ц при помощи функции 1 = е "'г отображается в свою очередь на прямоугольник с вершинами О, 2о~, 2ы+ иг', ьг' в и-плоскости м~ 1 1 так, что края разреза переходят в боковые стороны и т = — = — 1п —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
