1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 25
Текст из файла (страница 25)
гл, П, 1 3]; Ко н вен фе л ь с В., Ш те л ь м в и ф. Практика конформнма отображений.— Мс ИЛ, 1963 (в втой книге содержитсн также каталог отображений различного рода многоугольников). 91. Формула Кристоффеля-Шварца 149 Я.1. Доказать, что если одна из вершин многоугольника — образ бесконечно удаленной точки, например, аи = оо, то отображающая ли — 1 функция имеет вид )1з) = С/ Пйз — ай)"" аз+ Сй.
о й=й 1 Указа н и е. Совершить преобразование ~ = — —, если все ай ф О, 1 и й = ††, где а ф ай, если одна из точек ай = О (к = 1,2,... в — а' ..., и — 1). Я.2. Доказать, что если одна или несколько вершин Ай лежат в со, то формула (1) остается в силе, если под айя понимать угол между Ай Ай Ай й-1 Ай, Ай„ 1 Ай' А А, АЙ Рис. 32 соответствующими лучами в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус. Указание. Пусть Ай = оо. Если глй < 1, то рассмотреть многоугольник Р', отсекаемый от Р отрезком А'„.Ай', где Ай и А'„' лежат Составляя отношения длин и — 3 сторон к одной из трех оставшихся, получаем и — 3 независимых уравнения для определев п ния и — 3 точек ай. Тогда функция 4 = ~ Ц(з — ай) ' 'Нз опрео й=й делит отображение верхней полуплоскости на многоугольник Р' в 4-плоскости, подобный данному. После этого строим линейное преобразование ш = С4+ См переводящее Р' в Р.
Отображение верхней полуплоскости на внешность того же многоугольника реализуется функцией Р(') = С/ П(' — а'„)л -' ~', „+ С,, (2) о й=й где 6 — точка верхней полуплоскости, соответствующая бесконечно удаленной точке и-плоскости; а' — точки, соответствующие вершинам Ай многоугольника (теперь со ) а' ) а' » ...
ай > — со); и 13йя — внешние углы многоугольника (й3й = 2 — ой ~~' Дй = п+ 2) й=1 Га. 1Х. Конфоржные опяоороженип (нродолзяение) 160 достаточно далеко иа сторонах Ае 1Аь и Ар мАе (рис. 32, 1)), и в формуле (1) для Р' совершить предельный переход А'„— > оо, А'„' -я оо. Если же яяе > 1, то А~А~ соединить в Р ломаной (см.
рис. 32, 2)) и, подобно ее расширяя, удалить в со. 9.3. Определить величины аы входящие в формулу (1), для образоваииых параллельными лучами бесконечно удаленных вершин 2) Ае А 3) 4) Ая ~Аз Ае А,,Ае Ая ЦЯЯ~~Ц 6) Ая Ая А "~2 8) А — Ае Ая Ае Ая А Ае Рес. 33 "многоугольников", изображеииых иа рис. ЗЗ. Указание. Совершить предельный переход, аналогичный реко- меядовапиому в указании к задаче 9,2.
9.4. 1) Доказать, что при отображении единичного круга )з) < 1 иа многоугольник Р, расположенный в конечной части плоскости, отоб- ражающая функция имеет вид л п 1(з) = С/ П(е — аь) ' ~ яяз+ Ся, О Е=я где ае = еяо (уя < ярз « ... ио„) — точки иа окружности )е~ = 1, соответствующие вершинам Ае, обходимым в положительном пап- равлеиии, а сяяя — внутренние углы многоугольника Р. 2) Доказать, что фуикция, отображающая единичный круг )з) < 1 у 1. Формула Крисллоффе*л-Шварца на внешность того же многоугольника Р, при условии, что точка х = 0 переходит в точку ш = оо, имеет вид х «-1 ,)(Х) = С ( П (Х вЂ” ал)ль 1 1с=1 где а„' = ело' ((о1 > срз » ... цл~), а (1ьл — внешние углы Р.
9.5. Найти все случаи однозначного обращения формулы Кристоффеля — Шварца (1), т. е. выяснить, для каких многоугольников Р обратная функция х = х(ш) определена и однозначна во всей ш-плоскости. Указание. Многоугольники, получаемые из Р любым четным числом зеркальных отражений относительно сторон, должны без пропусков и перекрытий замостить всю ш-плоскость. В задачах 9.6-9.8 отобразить верхнюю полуплоскость 1тх > 0 на указанные области Р, расположенные в ш-плоскости, при заданном соответствии вершин Р и точек действительной оси. Определить также период или периоды обратной функции х(ш), группу С ее инвариантных линейных преобразований ю-плоскости и фундаментальную область В этой группы (см, с, 38).
9.6. 1) Р— полоса 0 < о < )1; и1( — со, оо) -+ х(0, оо) 1); 2) Р— полоса 0 < с < 11; ш( — сю, со) -1 х( — 1,1). 9.7. Р— полуполоса 0< и < л, е < 0; ш(О,л, — хоо) — 1 х(1, — 1,сю). 9.8. 1) Р— прямоугольный треугольник с острыми углами 3' —:, ш О,и1,их+ — '" ~) — 1 «(0,1,оо); 2) Р— прямоугольный равнобедренный треугольник; ш(0, со, и1 + ти1) -+ х(0, 1, оо); 3) Р— равносторонний треугольник; 9.9. Найти области плоскости и, на которые функция ш(х) = /( '(1 — 1)~ '1(( (агбш'(х) = О, если 0 < х < 1) е отображает верхнюю полуплоскость 1птх > О, если: 1) 0 < сх < 2, 0 < )3 < 2; рассмотреть случаи: 1) Здесь и в дельиеашем символом ш(А,В,...) -1 х(а,Ь, ) оаолилчеко соответствие точек и- и х-ллоскостеа: А + — 1 а, В + — + Ь, Га.
1Х. Конформные огполрахениа (продоехение) 152 а) а+)3 < 1; б) а+)3 = 1; в) а+)3 > 1, в частности а+)3 = 2 и а =)3= 3/2; 2) 1 < а < 2, — 1 < р < О, а + )3 > 1; рассмотреть случаи: а) а = 1, )3 = 0; б) а + )3 = 1; в) а = 2; г) а х 2, )3 = 1/2; д) а = 2, )3 х — 1. 9.10. 1) Найти области плоскости ю, на которые функция ю(з) = пт = х/з(з — 1.) + (1 — 2Л) 1п (х/з+ х/е — 1) —— .'л — -) отображает верхнюю полуплоскость.
Рассмотреть случаи: Л < О, 0 < Л < 1/2, Л = 1/2, 1/2 < Л < 1 и Л > 1. 2) Найти области плоскости 1о, на которые функция (.) = 1 (" ' ' — "' = Ч! ( /. + /с: 1) — ЛЪ Я 2ез IФ вЂ” 1) 1 е1 1 отображает верхнюю полуплоскость. Рассмотреть случаи: Л О<Л<1 и Л>1. <О, 9.11. Отобразить верхнюю полуплоскость 1пз з > О на области 1) 2) 3) С С В А А В 1~~ Ь~ С С С 5) 4) С В л~~~ фн В А вин точек: 1) 1о(А = О, В = 1, С = со) -1 з(0, 1, оо); 2) ю(А = О, В = 1, С = оз) -1 з(0,1,оо); 3) то(А = О, В = оо, С = со) -+ з(0, 1, оо); 4) ю(А = О, В = со, С = оо) -+ з(0, 1, со); Рнс.
34 в 1о-плоскости, указанные ка рис. 34, при заданном соответст- 21. Формула Кристоффвля — Шварца 183 5) ю(А = О, В = 1а, С = со) -+ з(0,1,оо). 9.12. Отобразить верхнюю полуплоскость 1тз > 0 на области в ю-плоскости, указанные не рис. 35 (О < д ( 1): 1) ю(А,В = О, С = со) -+ з(0,1,оо); 2) ю(А, В = О, С = оо) -+ з(0, 1, оо). В случае, когда у — рациональное число (д = р/д), выразить получающиеся интегралы через элементарные функции. 1) С В ЕБ~ С А 2) С А Рис. 36 Рис. 33 9.13.
Отобразить верхнюю полуплоскость на область, указанную на рис. 36 (дуга АС вЂ” полуокружность) ю(А = ав', В = оо, С = 0) — 1 л(0, 1, оо). У к а за н не. При помощи отображения Ь = а/ю сводится к частному случаю задачи 9.12, 2). 9.14. Отобразить верхнюю полуплоскость 1гл г > О на область ю-плоскости, указанную на рис. 37, при условии ю(А = — Ь, В = оо, С = 5, В = оо) -+ г( — 1, О, 1, оз). (Возможность такого отображения следует из принципа симметрии.) В В Рис.
37 Рис. 38 9.15. Отобразить верхнюю полуплоскость 1т г > 0 на ромб в юплоскости с углом ка при вершине А и стороной д (рис. 38). ! 154 Рл. )Х. Конформные отоораженип (продолжение) Соответствие точек задано схемой в(А = О, В ж Ы, С = 11 (1 + е' о), .0 = г1ег™м) -+ х(0, 1, со, — 1). Обосновать возможность такого отображения. 9.16. Отобразить верхнюю полуплоскость 1пгх > 0 на области 3) ч ь 0 В ь ч~ А В ь' Р с и, В Е В В В' А Рис. 39 9.19. Найти область, на которую функция нЛ о отображает единичный круг ф < 1. в в-плоскости, указанные на рис.
39. Параметры а, Ь (а > О, Ь > > 0) — прообразы соответствующих вершин — не могут быть заданы произвольно, и их следует найти: 1) в(А = О, В = со, С = Н + 1Ь, В = оо) — г г(0, 1, а, оо). 2) в(В=ос, С=Н+1Ь, В=со, С'= — Н+121, В'=оо) — 1 -+ г(1,а,оо,— а,— 1). Указание. Провести дополнительный разрез по мнимой оси и воспользоваться принципом симметрии; 3) в(А = О, В = оо, С = оо, В = -Ьз — 1(Ьг — 61), Е = оо) -+ -+ г(0, 1.,а, со, -Ь). 9.17. 1) Найти функцию в(г), отображающую круг ф < 1 на внутренность правильного и-угольника с центром в начале координат и одной из вершин в точке в = 1, при условии, что в(0) = О, в'(0) > О.
2) Отобразить круг !~! < 1 на внешность того же п-угольника при условии, что в(0) = оо, в(х) > 0 (О < х < 1). Определить с 1 в разложении в(г) = с 1(г+ ... 9.19. 1) Найти функцию в(г), отображающую круг )г) < 1 на внутренность правильной пятиконечной звезды с центром в начале координат и одной из вершин в точке в = 1; условия нормировки: в(0) = О, в'(0) > О. 2) Отобразить круг )г) < 1 на внешность той же звезды; в(0) = со, в(х) > 0 (О < х < 1); определить с 1 в разложении в(г) = с 1/г + ... у К Формула Кристоффеля-Шварца 9.20.
Отобразить верхнюю полуплоскость 11пз > 0 на правильный и-угольник в ю-плоскости с центром в начале координат и одной нз вершин в точке ю = 1; нормировка: ю(1) = О, ю(0) = 1. 9.21. Пусть область Р в ю-плоскости есть внешность "звезды", сос- Аз таящей из п отрезков, выходящих 2 1 из точки ю = О (ряс. 40).
Пусть Ал — вершины Р в начале координат и ссьп — соответствУющие Углы В! с ( аь = 2), Вь — вершины Р в 2=1 концах отрезков звезды (А1, В1, Аз, В2, ... расположены в порядке положительного обхода Р), )ь = АлВЛ вЂ” длины отрезков звезды. Доказать, что функция ю = 1(з), Г'(0) = оо„отображающая единичный круг ~з~ < 1 на Р, имеет вид и)=-',П( -")" Ь=1 где С вЂ” комплексная постоянная, а ал = = евое — точки на окружности ~2~ = 1, соответствующие Аь.
'Точки бв = е'е", соответствующие вершинам Вы являются корнями уравнения с Ле'" --'=О. (3) ь=! Как определить параметры С, аро Ьь? О Указание. При продолжении по принципу симметрии функция /(г) умножается на постоянные множители, поэтому функция Р( ) =У'(2)/П ) Рвс. 41 является однозначной в з-плоскости. Примечание. Полученная формула сразу дает решения ряда задач из гл. П, например, задач 2.128, 2); 2.129, 1); 2.131; 2.137.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
