1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Щ) = 1 (зо к С). Вычислить, в частности, Г("о). (( — е)" У к а з а н и е. Воспользоваться равенством ИО юЫ) — о( ) + ~Ф) — — ~ — е 7.18. Найти Ге(з), Г (з) и предельные значения Г*(~), если С вЂ” окружность Ц = Л, ~о(~) — логарифмическая функция, определенная условиями: 1) ~о(Ч) =!пЬ = 1пЛ+ по, — л < ~р < л; 2) р(~) = Еп ~ = )п Л+ ир, О < у < 2л. У к а з а н и е. Рассмотреть контур, состоящий из окружности ф = Л с разрезом по радиусу [-Л, 0) в первом случае н (О, Л) — во втором. Примечание. Если не фиксировать заранее ветви логарифма, а требовать ее непрерывного продолжения вдоль контура интегрирования, то интеграл будет зависеть от выбора начальной точки интегрирования.
7.19. Найти Г+(з), Г (з) предельные значения Г"(() на С, если у(~) = 1п —, а контур С: 1) окружность Ц = Л (Л ) 1); 124 Гм у!!. Интегралы тило Коши. Интегральные формулы 2) прямая 1щ ~ = 1, пробегаемая слева направо. 7 20 Найти г'(г) и предельные значения Ел(Ь) на С, если угу = = 1п —, а контур С вЂ” полуокружность ф = й (Н > 1), 0 < вге ~ < а ~ — 1' (начало в точке !1). 7.21. Найти,('ь(г) и Г (з), если р(О = ~/7 (О < агКЯ < к) и С вЂ” окружность Ц = 1.
В задачах 7.22 — 7.24 найти г'~(г), если С вЂ” замкнутый контур, точки а и б лежат внутри него, а д(~) — однозначная ветвь многозначной функции, определенная вне разреза, соединяющего точки а и б и лежащего внутри контура С. 7.22. ф~) = Ьп — (Ьп 1 = 0). 7.23. у(() = — (уг(оо) = +1). Указание. Для отыскания интеграла по контуру, окружающему разрез, разложить — в ряд по степеням ~(О) 1 7 24 ~р(~) = (~ — а)Л(Ь" 6)г-Л (Ф~1 ~ 1) ~-ь с= 7.25. Найти г'~(г), если контур С замкнутый, точка а принадлежитобласти Р, точка Ь вЂ” области Р и у(Д =Ьп— ( — а ь" — о (Ьп 1 = 0) — однозначная ветвь, определенная вне разреза, соединяющего точки а и Ь и пересекающего контур С в одной точке (о.
Указание. Присоединить к С разрез вдоль дуги ~оа, если г лежит в области Р+, и вдоль ~оЬ, если г лежит в области Р 7.26. Доказать справедливость равенств (О < Л < 1): 1 1)/( — ) — = — «1 — ( — ) ~ (г к (О,Ц); о 2) /( — ) — = «1 — ( — ) созЛл~ (т Е (0,1)). о Указание. Для получения первой формулы рассмотреть интеграл Ноши — ~ ( — ) —, где ( — ) — функция, однознач2нг ! (~ — 1! ~ — е' ~~ — 1! с ная в плоскости с прнмолинейным разрезом (О, Ц и равная 1 на оо, а С вЂ” граница двусвязной области: круга ф < Я (Н > 1) с разрезом по отрезку (О, Ц. Вторая формула получается из первой при помощи формул Сохоцкого.
О1. Интегралы типа Коши 125 7,27. Вычислить сингулярный интеграл 1 г )~ — «'+З вЂ” — а ( — 1«*1). l ~(1+! ! — * — ! 7.28. Найти интегралы: ! ! 1) / 1п — — (з р (О, Ц); 2) Г 1п — — (т с (О, 1)). о о 7.29. Рассмотрим сингулярный интеграл Г(з,!о)= —, I (у=а+ъ0, 0<а<1), 2л! / (т — уг)о(т — г) с где С вЂ” дуга, соединяющая точки а и 6, !о — точка атой дуги и (т — го)о — однозначная ветвь в плоскости с разрезом, соединяющим точки го и оо. Если точка !о совпадает с одним из концов дуги С, то будем считать, что разрез проходит по всему контуру С; если же точка го внутренняя, то разрез проводим по дуге (!о,Ь) контура С.
Доказать следующие утверждения. 1) В окрестности точки а !'уе Г(е,а) =, (г — а) '+ Г!(з) (з ф С), 2!згп ул Г(1,а) = (! — а) ~ + Гг(!) (! с С), где Гу(з) — функция, аналитическая в окрестности точки а. У к а за н и е. Рассмотреть разность 1 у Ит е' '~ Гг(з) = — (з — а) у 2л! / (т — а)у(т — -) 2! гйи тл с и, пользуясь формулами Сохоцкого, доказать, что Гг(з) будет анали- тической функцией в окрестности точки а. 2) В окрестности точки Ь -тле Г(з,Ь) = — (з — 6) '+Го(г) (з р С), 2!зш ул Г(1,6) = -"йт (! — 6)- + Г,(!) (! ~ С), где Гз(з) -- функция, аналитическая в окрестности точки Ь. 3) В окрестности внутренней точки го контура С Г(з,уо) = (з — 1о) У + Гз(з) слева от С, Г(з,го) = Г4(з) справа от С, Г(г го) = -(г го) ~ + Го(г), если г ь С, где Гз(з), Ге(з) и Го(з) аналитичны в окрестности точки Фо.
З2Е Гл. У11 Интегралы типа Коши. Интаграаьныв фарлгулы 7.30. Выяснить поведение интеграла типа Коши 1 Г С йь —,~ 1и —— 2я1',/ à — 1 à — г С вблизи точек г = — В и г = В, если С вЂ” полуокружность Ц = В (В ) 1), лежащая в верхней полуплоскости (начало в точке В). Указание. См, задачу 7.20.
Примечание. О поведении интегралов типа Коши вблизи особой линии смл Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— Мл Физматгиз, 1962.— Гл. 1; Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— Мл Физматгиз, 1963.— Гл. 1. '2 2. Интеграл Дирихле, гармонические функции, логарифмический потенциал и функция Грина Интеграл Р(и) = Ц(из + из) Йхйу называется интегралом Дирихле, а интеграл Р(и, с) = Ц(и,с, + илег) йх йу — соответствующей ему билинейной формой.
7.31. Доказать следующие свойства интеграла Дирихле и соответствующей ему билинейной формы: 1) Р(и) = Ц(из+ — из) дхдр (г = х+ гу = тече); С 2) Р(и) и Р(и,с) инвариантны относительно конформных отображений области 6'; 3) Рз(и, о) < Р(и)Р(и) (знак равенства имеет место только в случае иГ'о = сопят); 4) если функция 1(г) = и+1о аналитична в области С, то .0(и) = Р(о) = Р(Г) = ЦЦ'(гЯ йхор. Каково в этом случае геометрическое значение Р(1)? 7.32.
Пользуясь формулой Грина ЦиЬийхйу+ Р(и,и) = ~о —" ог С С (и — внешняя нормалгя Ь вЂ” оператор Лапласа), доказать следующие свойства гармонических функций и, иы из (и — функция, сопряженная к и): дд. Интеграл диригле, гармонические функции 127 1) .0(и) = /и — йг = / ийо; 2) / — сЬ = /йе = 0; с с С С 3) если и2 = из на С, то и2 = из в С; ди1 диг 4) если — = — на С, то и2 — из = сонат в С. дп дп 7.33. Доказать, что если и гармонична в круге ~г! ( Л и непрерывна в загикнутом круге ~г( ( Л, то 2г и(О) = — ~и(Легг) йд = —, ~~ и(те'т)т йт<йр.
о (г(<Я тдо Указание. Из равенства 71 — йг = 0 следует, что интеграл l дп с ийр не зависит от т; найти это значение с помошью предель)г(=г ного перехода при т -+ О, а затем совершить предельный переход при т -+ Л. 7.34. Интегралы вида //р(~) 1п сЦйц, /р(~)!и (йЦ, /ыЯ вЂ” 1п ~сЦ с с с (ь = с + щ, и — нормаль к С) называются соответственно логарифмическим потенциалом, логарифмическим потенциалом простого слоя и логарифмическим котекциалом двойного слоя. Проверить следуюшие равенства: 2г 1п —, если ф>Л, 1 1) — ' /1 ' йд = (ц = Ле'г); 2ку (~ — г( 1 о 1п —, если (г! ( Л 1п —, если )г) > Л, 1 ~а(~ 1п — +-[1 — ( — ) 1, если $4(Л; 3) / ы(ч) 1п ~сК! = /ы(ч) авгК(ч — г) (нормаль и берется д ! дп С с слева по отношению к обходу С); а — а угол, под которым виден отрезок ( — а, а) из точки г (а > 0). Функиией Грина области С для задачи Дирихле д(х,у,С,ц) (коротко, д(г, Ь), г = х+ гу, ~ = С + гц) называется гармоническая 128 Ри г11 Иптаграхы типа Ноши.
Интегральные формулы функция обеих пар переменных х, д и С, г1, равная нулю на границе области с1, имеющая особенность при х = ~, причем д(х, ~) = 1п — + гармоническая функция. 1 1 -0 функция Грина симметрична относительно своих аргументов, т. е. д(х, С) .= д((,х) (см., например, 12, гл.
Ч1, з Ц), 7.35. Сформулировать задачу Дирихле для гармонической функции, эквивалентную отысканию функции Грина д(х, Ь). 7.36. Пусть функция ш = 1(х, С) конформно отображает односвязную жорданову область С на круг !ш/ < 1 так, что ДС, ~) = О (С е сх). Доказать соотношения д( 0=-~ ~У( ь)~ 1(х,Ь) = е где п(х,ф) — гармоническая функцин, сопряженная с д(х,С). 7.37. Пользуясь соотношением (1) задачи 7.36, найти функцию Грина д(х, Г) для следующих областей: 1) для круга ф < Л; 2) для полуплоскости 1шх > О; 3) для полосы О < 1шх < 1 7.38.
Доказать следующие утверждения (и — внутренняя нормаль, 1„— окружность (х — Ц~ = т): 1) если и(х) непрерывна вблизи х = Г, то 1пп / и(г) д ' хЬ = 2гги(х); дд(х, г) о дп 2) если и(х) непрерывно дифференцируема вблизи х = ~, то 1пп / д(х, С) — ~Ь = О; ди(х) х е ' дп 7 3) если и(х) гармонична в 0 и непрерывно дифференцируема на С, то .К)=,— /'.(.) "," ° (. а). С Указание. В формуле /(и — — д — )хЬт /(и — — д — )хЬ С тх совершить предельный переход при г -+ О. 4Я.
Интеграл Пуассоне, формуле Шеарцц гармоническая мере 129 2 3. Интеграл Пуассона, формула Шварца, гармоническая мера Если действительная функция и(~) = и(Л,В) определена и кусочно непрерывна на окружности ~ = Ле'в (О < В < 2я), то инлгеграл Пуассона зе тг и(г) = и(т, ~р) = — ~и(й, В), ЫВ (1) о определяет в круге ф < Л (в = текр) гармоническую функцию, имеющую в точках непрерывности и(~) граничные значения, равные и(~): Дгп и(г) = и(~) т-гс (г — > ~ по любым некасательным путям).
Соответствующая функция г(з) = и+ го, аналитическая в круге ~в~ < Л, определяется пс фарму- ле Шварца. У( ) = †' l~(() ~ " ВВ + ги(0) 2в Л о (о(0) — произвольное действительное число). 7.39. Доказать следующие утверждения: зг яг г 1) — '~ 2в 2 йг — 2йт сов ( — чг) + тг о 2) и(т,чг) — и(й,уо) = зг г г = — ( [и(Л,В) — и(й,уе)) йг Л, ду; о 3) если )и(Л,В) — и(й,уо)! < в для ) — Во( < сг, то г Кг тг — / )и(Л,В) — и(й,уо)( йг 2Л,В,, ВВ < в; М-во!<а 4) если ) — Во! > сг и )Вс — Во~ < о/2, то Лз — 2йт сов( — ~о) + тз > 4йт вгп 5) если рр — Во( < се~2 и выполнены условия п. 3), то рг(йг г) )и(т,~р) — и(Л,Во)) < в+ где А = 4яйтвгп —, М = / )и(Л,В) — и(Л,Во)(ЙВ. о 9 Л.И. Воековысккя к вр.
1ЗО Г». г11, Интегралы тала Коши. Интегральные фор»ьр*ы 7.40. Доказать, что если Ь = Ве'е, в = геее, то ~+ е (Ве — гв)+ а2Ягеш(ье — В) ~ -е Вь — 2Ягсое( — ье) +ге Пользуясь доказанным равенством, получить следующие разло- жения; lгьк и(х) = и(0) + ~ ~~ — ) (а„совпьо+ Ь„вшпьо), .=1 Iг о(х) =и(О)+ ~~ь (-~ ( — Ь„савау+а„вшпр), »=1 У(з) = ДО) + ~ с х", ,((0) = и(0) + ьи(0), где 1 г зк 1 г 2к а„= — ~ и(В,В) сов пВВВ, Ь„= — ~ и(В,В) вшпВсйУ, о о 2к с„= „" = — „/ и(В, В)е ™ ВВ. о 7.41. Доказать, что для гармонической функции и(в) интеграл Дирихле Й(и) = 0 (и +и„) йхйу = к~ ~п(а,, + Ь„) )г)<я »=1 (коэффициенты а„и Ь„определены в предыдущей задаче).
При этом обе части равенства одновременно могут обращаться в бесконечность. Указание. Перейти к полярным координатам (г,у) н доказать, что если г < В, то 11„(и) = Ц (из + и„)ь(х др = .н ~~~ и ( †) (а~ + Ь„). 1к! < »=1 7.42. Доказать, что для непрерывной функции (В,В) =~ " "," »=1 интеграл Дирихле определяет гармоническую в круге (з! < В функцию и(х) с граничными значениями и(В,В) и бесконечным интегралом Дирихле В(и) = со. 7.43. С помощью интеграла Пуассона решить внешнюю задачу Дирихле для круга )х) < В: найти функцию и(в), гармоническую в области ф ) В, регулярную на бесконечности и имеющую заданные граничные значения и(ь,) на окружности Ц = В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
