1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 18
Текст из файла (страница 18)
П р и м е ч а н и е. Это показывает, что даже из абсолютной сходи- мости ряда в замкнутой области не следует равномерная сходимость. 2) Доказать, что в этой же области ряд 1, сходИтсЯ ран- 3, 11+ге)п п=е номерно и абсолютно, но не абсолютно равйомерно (т. е.
ряд из модулей не сходится равномерно). 5.30. Доказать, что если ряд ~ ) Гп(г)) сходится равномерно во и=1 всякой замкнутой области, внутренней по отношению к области 6', то этим же свойством обладает и ряд ~ )Яг)). и=1 ба. Ряды Дирихле 2 2. Ряды Дирихлег) 1оа Ряд вида ~~1 а„е ""', где а„— комплексные коэффициенты о=1 и ˄— положительные числа, удовлетворяющие условиям Л1<ЛЧ<...
и 11щ Л„=со, называется рядом Дирихде с положительными показателями. 5.31. Доказать, что если рлд Дирихле сходится в точке до = хо + + суп, то он сходится во всех точках полуплоскости Вез > Веге, причем сходимость РавномеРна в каждом Угле ~агб(д — хп)~ < 0 < л/2. Указание. Применить преобразование Абеля к сумме Ч Ч Е =Е -Л г — Л эое-Л (л-ло) и = ~~а„е о=р п=д и воспользоваться неравенством (а < 6, г =- х + Чу) ь )е "— е ~'! = (з/е '101~ < ) (е '* — е ел) о 5.32.
Доказать, что если рнд Дирихле сходится абсолютно в точке д = дп, то он сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости Вез > > Вега. В задачах 5.33 — 5.39 найти абсциссы сходимости (х,) и абсциссы абсолютной сходимости (х,) данных рядов. ОО со 5.33. ~ е " е '" . 5.34. ~ е ""'"" =о =2 1 и оо 5.35. ~1 ( ) ""'"" 5.36. ~~~ (-1)" п=з п=з 5.37. ~( — 1)"е """ 5.38. ~ ~— е '"".
5.39. ~е' е *" . о=.1 п=1 о=о 1) по поводу приводимого цикла эвдач см., иапример, (2, гл. 1лг, 1 2). Из теорем, сформулированных в задачах 5.31 и 5.32, следует, что областью сходимости ряда Дирихле (если таковая существует) являетсн полуплоскость Вез > х, (х, > -оо), а областью абсолютной сходимости (если таковая существует) — полуплоскость Вез > х, (х, > -оо), причем ряд либо сходится абсолютно на всей прямой Вед = х„ либо не сходится абсолютно ни в одной точке этой прямой. Числа х, и х, называют соответственно абсциссоб сходимости и абсциссоп абсолютной сходимости ряда Дирихле.
\Оа Г*. К Различные функциональные рады. Интегралы от иаралстера — 1и )аи! х, =х„= 1!щ са — а си Ли !и та 5.40. Доказать, что если !пп — =О, то и-асо Ли — 1и и 5.41. Доказать, что если 1пп — =1, то «-аоо Л„ х,— х,<1. В задачах 5.42-5.46 исследовать сходимость ряда Дирихле на границе полуплоскости сходимости. 5.42. ~~а ( — 1)и '"" 5.43. ~ 'л~иг «=1 «=1 си 1 и ,1% 5.44.
ь — е '" 5.45. ь — е '" 5.46. ь е '". «=1 «=1 Указание. См. задачу 3.64. «=1 3 3. Интегралы, зависящие от параметра Сходимость интегралов 5.49. Доказать теорему; пусть С вЂ” простой контур (замкнутый или незамкнутый), имеющий конечную длину, и !(т,х) — функция, аналитическая по переменной з и непрерывная по т для всех з из не- В задачах 5.47, 5.48 рассматриваются ряды Дирихле с комплекс- ными показателями.
5.47. Пусть числа Ли удовлетворяют условиям 1и и — 1и )аи! !пп — -=О и 11щ "=й<со. — Ли (Ли! ДОКаватьь Чта ЕСЛИ СС < ат6 Ли < Д, тО ряд ДнрИХЛЕ СХОдИтСя аб- солютно во всякой точке г = х+ гу, длл которой при всех уа из (сг, Д) имеет место неравенство х сезар — у з1иар — и ) О, и расходится в точке, для которой при всех ар из (сх, Д) имеет место х сов ср — у сйиар— — Й < О. 5.48.
Дан произвольный ряд Дирихле р а„е ""=. Пусть са=1 lс(уа,сс) = 1пп —" и Й(ар) = 1пп Й(ср,о), ь- !Л ,! и-ае где (пь) — последовательность всех индексов, для которых ар — сх < < аг8Л«, < ар + о (если не существует такой подпоследовательнос- ти (и ), что !1щ аг8Л« си ар, то следует положить Й(уа) = — оо).
1и и Доказать, что если 1пп — = О, то ряд сходится абсолютно внутиаси Ли ри области С, точки г = х+ьу которой при любом ср удовлетворяют условию хсоаар — усйпср — й(ср) > О, и расходится во всякой точке, лежащей вне С. рЮ. Интегралы, эаеисящие ет параметра 107 которой области 77 и для всех точек т, принадлежащих контуру С; тогда функция, представленная интегралом г (г) = (1(т,г) Нт, есть аналитическая функция по переменной г и с Е (г) = ~~,'(т, г) Йт. с Если интеграл /,г(г, г) Дг несобственный, т. е. если подынтегральс ная функция имеет разрывы при каких-либо изолированных значени- ях т б С или контур интегрирования содержит бесконечно удален- ную точку, то определение сходимости и равномерной сходимости такого интеграла совершенно аналогично соответствующим опреде- лениям, известным из курса математического анализа.
5.50. Доказать: для равномерной сходимости интеграла ~$(т,г)Йт с на множестве Е по отношению к какой-либо точке га ~ оо контура С необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало чис- ло 5(е) такое, что ~ / 7(г, г) Йг ( е с для всех точек г из множества Е и для всякой дуги С контура С, лежащей в 6-окрестности точки го и не содержащей зту точку ни внутри себя, ни на концах. 5.51. Сформулировать и доказать аналогичный критерий равно- мерной сходимости интеграла, если ге —— со. Рассмотреть случаи, ког- да контур С неограничен: н одну сторону", в обе стороны. 5.52. Доказать, что если (((г,г)/ < (4(г)/ для всех точек г из мно- жества Е и если ~~гр(т, г)(ганг сходится, то интеграл / г(т, г) Жг схос с дится равномерно на множестве Е.
5.53. Пусть )(т,г) — функция, аналитическая по г и непрерыв- ная по т для точек г, принадлежащих некоторой области В, и то- чек т, принадлежащих контуру С, за исключением некоторых изо- лированных его точек, где условия, наложенные на функцию 1(т, г), нарушаются или для всех точек г, или только для некоторых. Доказать, что если несобственный интеграл р'(г) = / ('(т, г) Дт с равномерно сходится внутри области Ю (т.
е. во всякой замкну- той подобласти области 0), то функция К(з) аналитическая и р' (г) = ~ — Нг, гдУ дг с 1еа Гл. У. Различные функииональные ряды. Интегралы от наралстере причем последний интеграл сходится равномерно внутри Р. В задачах 5.54 — 5.61 найти множества, на которых равномерно сходитсл указанные интегралы. 5.54. Г(г) 11 1е с аг (1 — 1 е~ — 0~ с) о 5.56. / —, аг.
5.57. / —, йй 5.58. (' — аб о о о сжгсс сс с--ке с, 5.59. / — сЫ (с Ф 0). 5.60. / — Ш (с ф 0). с<и се с с-Ьссс г 5.61. 1 — 41 (с к О, г' = е""'). у 5.55. /е ' аг. о Интеграл Лапласа Интеграл вида о где функция 1(1) интегрируема на отрезке (О, а] при любом положительном а < оо, называетси интегралолс Лапласа. 5.62. Доказать следующие предложения: 1) если интеграл (1) сходится в точке г = го, то он сходится в полуплоскости Ве г > Ке хо, причем сходимость равномерна в Угле ]агб (г — го)] < 6 < л/2; 2) если интеграл (1) сходится абсолютно при г = го, то он сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости Вез > Кего,.
— ь]у(е)] 3) если 1цп =)3, то интеграл (1) сходится абсолютно в по- С-ссс г луплоскости Вез > Д и равномерно во всякой полуплоскости Кег > > )3+а (г > О) (построить пример интеграла Лапласа, сходящегося абсолютно во всей плоскости, длл которого Л = оо); 1п ]У(1)] 4) если !пп = сх, то интеграл (1) не сходится абсолютно ни с-к в одной точке полуплоскости Вез < и. Из теорем, сформулированных в задаче 5.62, следует, что областями сходимости и абсолютной сходимости интеграла Лапласа (если такие области существуют) ивпиютси полуппоскости Вез > х, и Вез > х,; число х, называют абсциссой сходилсости, а х — абсииссой абсолютной сходилгости интеграла Лапласа. 9'Я. Интегралы, гаеисеигие ет параметра 109 В задачах 5.63-5.69 найти х, и х, для интеграла /е "/(С)г!1, где /(!) — заданная функция.
о 5.63. /(!) = 1. 5.64. /(С) = е ' . 5.65. /(!) = ег . 5.66. /(С) = В задачах 5.70 — 5.73 исследовать сходимость интегралов Лапласа е "/(!)г!! на границе полуплоскости сходимости. а 5.70. /(!) = 1. 5.71. /(!) = 0 при 0 < ! < 1, /(!) = 1/тз при !>1.
5.72. /(!) = 0 при 0 < ! < 1, /(!) =1/! при ! > 1. 5.73./(!)=О при 1=0, /(!)=1 при 0<!<1,анри!>1 /(!) определяется следуюшим образом; У(!) = /(!) + 1, если (2Й вЂ” 1)з < !+ 1 < (2й)з, г /(!) — 1, если (2!е)з < !+1< (2й+1)з -гл е' при — е' при 5.67. /(!) = ее'!г при — ее~а и и 5.68. /(!) = е' при -е' при 5.69. /(!) = 0 < ! < 1п !и 3 и !п 1п 2!с < ! < !п 1п (2И + 1) (!с = 2,3,...), !и 1п (2!с + 1) < ! < 1п 1п (2 !е + 2) (И = 1, 2, ...) . 0 < ! < 1п !и 3 и 1п !и 2И < ! < 1п !и (2И + 1) (И = 2, 3, ...), 1п1п(2/с+ 1) < ! < 1п!п(21+ 2) (й = 1,2, ...). 0 < ! < 1п 1п 3 и 1п!п 2Й < ! < 1п !п (2И + 1) (й = 2,3,...), 1п!п(25+ 1) < ! < 1п!п(2!е+ 2) (!е = 1,2, ...).
при 1п (2!е — 1) < ! < 1и 2Й (!е = 1, 2, ...), при !п2/с < ! < 1п(21+1) (И = 1,2„...). ГЛАВА И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 2 1. Бесконечные произведения В задачах 6.1-6.7 доказать указанные равенства. 6Л. П п=з 6.3. П п=з П П !1+ ( +2)) п=1 6А П~'-щ. ~)=Ю 6.6. П [1+ ' """~ = 1. п=1 и — 4 г пг — 1 1 4 и — 1 Э пэ + 1 2 3' Валлиса — = ц эх — — !. 2 хх 12п — 12п+1)' как обычно, считать — л < атбр„< гг, П ° рп сходится и расходится одновре- 6.10*. Доказать формулу 6.11. Доказать, что если, то бесконечное произведение менно с рядом ~~г !прп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
