1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 19
Текст из файла (страница 19)
п=1 п=1 6.7. ц = е, где е = !нп 11 '> — — !пп) — постоянная П 1+1(п — . п=1 1=1 Эйлера. о зшо 6.8. Доказать, что П соз — =— 2п о п=1 Указание. Сначала доказать тождество а!пгр = 2'з!и — х ь гг 21 "П- — ' 2п п=1 6.9. Пользуясь решением задачи 6.8, доказать, что 2 2 2 л г ~г+:г гг ° / ° .гг Х 1. Беенонечныв произведения 6.14. Произведения Ц ри и Ц Би сходятся. Исследовать сходи- мость произведений: ) Ц(р.+.); ) Ц(.— .); 5) Ц -- ) Ц"— ," и=1 и=! и=1 и=1 В задачах 6.15 — 6.19 исследовать на сходимость и абсолютную сходимость данные произведения.
6.15. Ц ~1+ ( ') ]. 6.16. и=1 6.17. Ц ~1 + ( ') 1 (р > О). п=1 Ц"' " и=1 6.18. Ц (1+ — ) (р > О). и=1 6.19. Ц СОЗее, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧтО ряд ~ ~)З„(~ СХОдИтСя. и=1 п=1 6.20. Показать, что внутри единичного круга Ц('+" ) = —,', и=о произведение сходится абсолютно. В задачах 6.21-6.29 найти области сходимостн произведений Ои и 2 6.21.
Ц(1-2"). 6.22. Ц (1+'— ,„). 6.22. Ц (1 — — '„). п=1 и=1 624 Ц ~1 (1 Ч вЂ” ~ 625 Ц ~1+(1„~') и=2 и=1 6.26. Ц соз —. 6.27. Ц ~ ). 6.28. Ц (1+ — )е '!" и е/и 1 и п=1 и=1 и=1 6.29. Ц(1+ сиз), если известно, что ряд ~ (с„( сходится. 6.12. Выяснить, сохранится ли утверждение из предыдущей задачи, если условиться, что: 1) О < агбри < 2я; 2) гг < агйри < а+ 2я ( — 2н < се < 0). 6.13. Показать, что длн абсолютной сходимости бесконечного произведения Ц(1+ аи) (т.
е. абсолютной сходимости ряда ОО и=1 ОЭ )п(1+ а„)) необходимо и достаточно, чтобы ряд ~ ~аи сходился и=! и=1 абсолютно. ИЗ Бм 'й1, Бесконечные произнесения. Целые и мероморфные функции 6.30. Доказать, что произведение 00 1)ое! П~1+''), ~ ( =.1 ) о=1 сходится в полуплоскости Ке > 1/2 и сходится абсолютно в полу- плоскости Вез > 1. 6.31.
(7"„(з)) -- последовательность функций, аналитических в области С, причем все эти функции, за исключением конечного их числа, не обращаются в нуль в области С. Доказать, что если [)'„(з)[ ( < он для всех з е С, причем он не зависит от л, и рнд 2 он сходите=! ся, то функция Г(е) = П[1+ 7' (а)[ является аналитической в области С. о=1 В задачах 6.32 — 6.35 выясняются некоторые свойства гамма- функции, вытекающие из ее определения как предела бесконечного произведения (см., например, [2, гл. Ч11, у 4[ нли [3, гл. УП, у 1[).
6.32. Доказать, что произведение '!*"!= П.,".("— .) ((". ) ="'" ') сходится абсолютно во всей плоскости, кроме значений з, равных целым отрицательным числам, и представляет функцию, аналитическую во всей плоскости, кроме точек з = — 1, — 2, ... 6.33. Доказать формулу Эйлера (Пе Ее!по) Г(") = 1цп о ч ос е(с + 1) (с + 2)... (е + п) и поКазать, что: 1) Г(а+1) = зГ(г); 2) Г(!и+ 1) = т!, если т — натуральное число. 6.34. Доказать, что ~-у о(о+ ~3-Ь и) Г(а+ 1)Г(Д+ 1) ~~ (а+я)(Ц+п) Г(о+~9+1) 6.35. Доказать формулу Вейерштрасса Г( ', Ц = с и ~1+ И.-*'", о=1 где С вЂ” постоннная Эйлера.
Указание. Воспользоваться решением задачи 6.7. дй. Разяоисение в ряды простые дробей и в бесконечные произведения 118 6.36*. Пусть рз, рз, ..., р„, ... — последовательность всех простых чисел (р! = 2, рз — — 3, рз — — 5, ...), а л(в) = ~ ~п ' (и и=! = е """) — дзета-функция Римана, аналитическая в полуплоскости Кев > 1 (см. задачу 5.23). Доказать, что: )(()= /П( — .') и=! 2) функция !,(е) не имеет нулей в полуплоскости Пев > 1. П р и м е ч а н и е. Исследованию дзета-функции посвящена обширная литература.
См., например, монографию: Титчмарш Е. Б. Теория дзета-функции Римана. — 5!.: ИЛ, 1953. 6.37 . Доказать, что ряд 1 †, гле (р ) -- последовательность 1 и=! простых чисел, расходится. 8 2. Разложение в ряды простых дробей и в бесконечные произведения. Суммирование рядов 6.38. Пусть 1(з) — мероморфная функция с простыми полюсами в точках ам аз, ..., а„, ..., причем 0 < )о!( < (аз! < ..., 1пп а„= со.
Обозначим через А„вычет функции 1(з) относительно пол!оса а„ (и = 1,2, ...). Допустим, что существует последовательность замкнутых контуров С, удовлетворяющих следующим условиям: 1) С не проходят ни через одну из точек а„; 2) каждый контур С содержится внутри контура С,„.л!., 3) минимальное расстолние от контура С до начала координат (обозначим его через П ) неограниченно возрастает при гп -+ сю; 4) отношение длины Т„, контура С,„к Л остается ограниченным, т. е. Ьт = С(П„); 5) щах !,г'(з)! = о(Л ) (это условие, очевидно, выполняется, если зеС функция 1(з) ограничена на всех контурах С ). Доказать, что при этих условиях имеет место разложение функции 1(з) на простейшие дроби Дз) =~(0)+ лс А„( + — ), о=! причем сходимость ряда будет равномерной во всякой замкнутой области, ие содержащей точек а„, если под знаком суммы сгруппировать слагаемые, относящиеся к полюсам, заключенным между С и С л! (пз = 1, 2, ...).
8 Л.!!. Вояковыския и лр. 114 гл. И. Бесконечные произееоенин. Целые и мероморфные функции У к а з а н и е. Применить теорему о вычетах к интегралу )' УЫ) К 2п1,г ~(с — е) С,п и перейти к пределу при п! -г со. П р и м е ч а н и е. Относительно различных обобщений сформулированной теоремы см., например, [1, гл. Ъ'П1, п. 4].
В задачах 6.39-6.46 доказать справедливость разложений. 6.39. с!8л = — + ~, . 6.40. —. = — + ~~~ Цп2 е ег — поп' ' егя л г е' — пгп' ' п=! п=1 6.41. !82 = ~~ г 6.42. — = гг ~~ 1 ~-~ ( — 1)п(2п — 1) соек ~ 1(2п — 1)и] гг=1 Лà — ~ 2 гю 6.43. 15е = ~ ~~,. 6.44. — = — + ~~~ и=! е'+ (2п — !)п1г е1ге е гг -г пгпг п=1 2 6.45. = 1 — — + г е' — 1 2 г ег -Ь 4пеиг п=1 6.47. Пусть Де) — целая функция с простыми нулями в точках аг,аз, ...,а„, ..., причем 0 ( (аг( ( (аз! ( ..., !пп а„= оо. Лопустим, что существует система контуров (Сп), удовлетворяющая условиям 1) — 4) задачи 6.38, на которых Показать, что во всей плоскости имеет место разложение В задачах 6.48-6.54 доказать справедливость разложений.
оо ~г 6А8, а!па = е П (1 — г 4). де. Разяозкение в ряды просгпых дробей и в бесконечные произведения 11в 6.49. спал = Ц (1 — ~ «=1 Из 2 6.56. вЬ. = . Ц (1+ — ',,), п=1 6.51. сЬ з = Ц (1+ ~(~,) ~ ~. з=о 6.52. е' — 1= гезгз Ц (1+ 4«зкз/ =1 6.53. е'з — ези = (а — б)ее< ч-')"'22 П [1+ (а 4пз 112 «=1 гс 6.54. сЬ вЂ” сола = -2 Ц (1+— 4и" пг I п=1 6.55. Пусть г'(з) — мероморфная функция, имеющая конечное число полюсов аг, ав, ..., а,„, не совпадающих ни с одной из точек з = О, ~1, ~2, ... Доказать, что если существует последовательность контуров (Сп), стягивающихся к бесконечно удаленной точке, при- чем пп 1 1'( ) сгйявгЬ = О, (1) с то ~ 1(п) = — я~~ гев[Г(з)с1яя [2 п= — сю в=1 6.56.
Доказать, что если в условиях предыдущей задачи требова- Г У( )дз ние (1) заменено условием 1пп зг = О, то игги егп кз СЮ l,. ~ ( — 1)"1(п) = -зг~ геа ~ ] п= — сс 1=1 В задачах 6.57 — б.64 найти суммы рядов, предполагая число а таким, что ни один из знаменателей не обращается в нуль. сз п пс 6.57. ~~ . 6.58.
У ( ) . 6.59. 7 (а + п)2 ~-г (а.1-п)2 ~-~ (2п Ч-1)2 и=-сс ии-сэ =о п=с и=с п=с 6.63. ~ ~—, (зс — натуральное число). 1 «=1 116 Гл. Рб Бесконечные произведения. Г(алые и мероморфные функции Указание. Сначала доказать, что если г = Π— полюс функции Г(»), то формула для суммы ряда из задачи 6.55 остается справедливой, если в ее левой части суммирование распространено на все значения и от -оо до +ос, кроме значения и = О. При 1сьб «г»1 вычислении гез ~ — ~ «=о удобно воспользоваться разложением из задачи 3.102. в=1 ( я<5<я). Указание. Воспользо- Рнс. ЗО »е' '«Г» ваться интегралом 1' г «(ф— контур из задачи 6.56).
(пг — »з) г(п «г» 6.65. Доказать, что ъгз/2 ~~ (и' — 3)ч«4пг — 3 „У(3 — х«)~/3- 4хг 6 „г(х + — с(5 (к(2 — Л)) . У к а з а н и е. Воспользоваться интегралом / » с15 к» «Г» (»г — 3)ч/4»з — 3 с„ где ф— контур, ограничивающий указанную на рис. ЗО двусвязную область. 3 3. Характеристики роста целых функций' ) ') По поводу задач этого параграфа смл Левка В. Я. Распрелеленне корней целых функций.— Мл Гостехнздат, 1956; а также (3, гл.
У11, 4 1). Пусть у(») -- целая функция и М(г) = пгах~Д»)(. Число р = — 1и 1и М (г) = — 1пп называется порядком целой функции. Если О < — «с 1п« вЂ” 1и М(г) < р < оо, то число а = 11т называется типом функции. Ест-«со гя ли а = О, функцил Г(») называется функцией минимального типа; если а = оо, функция Г(») называется функцией максимального типа; если О < а < со, функция Д») называется функцией нормального типа.
уа. Характеристики раста целик функций 117 6.66. Доказать следующие утверждении. 1) Если р ф оо и а ф со — соответственно порядок и тип функции 1"(г), то для любого а > 0 можно указать такое число Л(г), что при г > В справедливы неравенства М(г) < е", М(г) < е~'"'~" . Можно также указать такие последовательности чисел (г„) и (г'„), сходящиеся к бесконечности, для которых М(г„) > е"" и М(га) > е~~ 2) Если для некоторого натурального числа 1. — М(г) 0( 11п1 <сю, — г" М(1) то 7" (г) — полинам степени к (значит, существует 1пп— — ~со ту Указание.
Воспользоваться неравенствами Коши для коэффициентов степенного ряда 7(г) = ~ с„г". к=о 3) Если 7"(г) — целая трансцендентная функция, то 1и М(г) с — ~ж 1иг В задачах 6.67 — 6.79 определить порядки и типы указанных функций (и, — натуральное число).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
