1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Определить значение и(оо). Указание. Сделать замену вь = Вз/». ус. Пнжеграл Пуассона, 4орму*а Шварца, гаресоничеснал мера 131 7.44. Доказать, что для [е] > В формула Шварца (см. введение к 2 3) определяет аналитическую функцию Л(с) = иг(с)+сиг(г), регулярную на бесконечности, и имеют место разложения: П~ ОО Л(с) = — /( — ) = — ДО) — ~:„", с „= сс~"сп, п=1 иг(с) = — (и(0) + ~ ( — ) (а„солинг+ Ь„е1пяр))~, п=1 то ис(з) = — о(0) + ~ ~~ — ) (-6„солинг+ а„з1писо), сП~ где а„, 6„, с„определяются так же, как в задаче 7.40.
При зтом ВеЛЯ = — Пе/(~) = — и(~), 1пгЛ(~) = 1пг/(~). Указание. В формуле Шварца для [с[ > В сделать замену с = = Пз/с~ и воспользоваться тем, что ~ = Пз/~ на окружности ф = В. В задачах 7.45 — 7.50 найти функции /(с) ([с[ < П) и Л(з) (]г[ > П), определяемые формулой Шварца, если и(~) — заданная функция. 7.45. 1) иЯ = Пе [у(~) + с6(~)]; 2) иЯ = 1гп [у(~) + с6(~)]; где д(з) — функция, аналитическая при ]з] < П, а гр(с) — при ]с] > П. 7.46. и(~) = Ве~".
7.47. и(() = Ке — „. 7.48. и(с,) = Ке 1п — (П > 1). т4а. (С)=г./ ~ (... С С,1 — г; г>1). Г7 ч — 1 ~/С-1 7.50. и(~) = Пе 1п с,". 7.51. Доказать, что формулу Шварца можно записать в виде 1(г) ~ .Я ~ -/(О). ~О=Я ч+с 2 1 У к а з а н и е. Воспользоваться равенством СЫ вЂ” с) С вЂ” г 7.52. Получить формулы, аналогичные интегралу Пуассона и формуле Шварца для верхней полуплоскости 1гп г > О, т.
е, выразить гармоническую функцию и(с) и аналитическую функцию /(с) = и(з)+ со(с) через и(1) ( — оо < С < со). У к а з а н и е. Воспользоваться кон фар ми ым отображением полу- плоскости на круг. 7.53. Вывести формулу Шварца длн полосы 0 < 1пгс < 1. У к а з а н и е. Воспользоваться конформным отображением полосы на полуплоскость. 132 Гл, г?Д Интегралы тило Коши. Интеграленые формулы Гармонической мерой ю(г,а, С) граничной дуги а в точке г относительно области С называется ограниченная, гармоническая в С функция, равная 1 во внутренних точках дуги а и Π— во внутренних точках остальной части границы. Гармоническая мера ю(г, а, С) инвариантна относительно конформных отображений.
В задачах 7.54 — 7.57 область С вЂ” круг (г~ < 1 и ю(2,0ы 02) — гар- моническая мера дуги а = (ВыВ2); ю = е'в, 01 < В < 02. Т.54. Пользуясь интегралом Пуассона, доказать, что вг 1 1 — г ш(г,дыВ2) =— , г(0, 2к 2 1 — 2г сое ( — у) + гг в, в частности, ю(О,Вы02) = (02 — 01)12ж 0 (,В,В) Т.55. Найти линии уровня функции ' ' при фиксированном значении В (г = гене — переменная точка).
У к а з а и и е. Доказать, что Вю 1 (ю' — г! 40 2к (ю — г(' где ю' — конец хорды, выходящей из ю и проходящей через г. Т.56. Обозначим через ю' конец хорды, выходящей из точки ю и проходящей через точку г. Пусть а — дуга (ВыВз), а а'(г) — дуга, описываемая точкой ю', когда ю пробегает дугу а. Доказать, что длина дуги а'(г) равна 2яю(г,Вы 02). 7.57. Найти линии уровня гармонической меры ю(г,Вы02) дуги (ВыВ2). пользуясь этим, доказать, что интеграл, определяющий гармоническую меру (см. задачу Т.о4), действительно имеет предельные значения 1 на (Вы02) и Π— на дополнении (рассматриваются внутренние точки дуг).
Т.58. Для полуплоскости 1щг > О определить гармоническую меру ю(г,а,Ь) отрезке (о,б), луча ( — со,у) и луча (а,со), Каково геометрическое значение этих гармонических мер? 7.59, Найти гармоническую меру сторон угла О < агйг < Г. Т.60. Для полукруга )г) < А, 1гп г > О найти гармонические меры диаметра Ь и полуокружности Г, а также линии уровня этих гармонических мер.
7.61. Найти гармоническую меру граничной полуокружности Г области ф > В, 1гп з > О. 7.62. Найти гармоническую меру греничной окружности Г области Ц > В, О < агй з < 2к. до. Интеграл Луассона, формула Шеариа, гармоническая мерп 1ЗЗ 7.63. Найти гармоническую меру граничных окружностей кольца г ( (г~ ( Н. В задачах 7.63 — 8.1 область С ограничена сложным контуром Г, состоящим из и простых, гладких контуров Г„(р = 1, 2, ..., и).
Обход контуров происходит в положительном направлении по отношению к области С; нормаль и — внутренняя по отношению к области С. Периодом аналитической в С функции по Г называется интеграл г. 7.64з). Доказать, что если гармоническая функция и(г) однозначна в С, то период аналитической функции 7'(г) = и(г) + зп(г) . гди вдоль Г, равен -з~ — с(л. л' дп г. 7.65. Доказать, что ддя комплексной функции Грина д+зл области С (д(г,~) — функция Грина области С, Ь(г,г,) — сопряженная к д гармоническая функция) период вдоль Г„равен — 2хио„(г), где ы,(з) — гармоническая мера Г относительно области С.
Дока- и зать, что ~ олк(0 = 1. к=1 Указание. Гармоническая в С функция и(~) допускает представление в виде иЯ = — ~и(г) ' ' Лл (см. задачу 7.38). дд(, ь) 2пл' дп г 7.66. Выразить через ы (г) ограниченную, гармоническую в С функцию и(з), имеющую постоянные значения с на Г„(р = 1, 2, ..., и). 7.67. Доказать, что для функции п(л), сопряженной с функцией ц(г), однозначной и гармонической в С, периоды р, вдоль Г„допусди к(г) кают представление р, = — /и(з) Нл.
дн г 7.68. Пусть о7,(г) — сопряженная к ы„(г) гармоническая функция н р„„— период функции а л(з) = ог„(л) + уй„(г) вдоль Гл. 1) Доказать, что р„„= р„л (7г, и = 1, 2, ..., п). У к а з а н и е. Воспользоваться представлением 1 Г дик Р л=- — /О7 2и/ "д г З) К задачам 7 64-7 70 см, дополнение Ш иффера к книге: Курант Р. Принпип дирихле, конформные отображении и минимальные поаерхности. — Мл Гостехиадат, 1953. 134 Гл. 'ьг11. Интегралы типо Коши. Интегральные формулы 2) Доказать, что ~~~ р„= 1 (и = 1,2,..ин).
и=1 7.69. Пусть с„ (р = 1,2,...,п) — произвольные действительные числа. 1) Доказать, что если р „— числа, определенные в задаче 7.68, то квадратичная форма ~и р,нс„сн > О, причем равенство имеет место тн=1 лишь тогда, когда все с, равны между собой, и Указание. К гармонической функции и1(г) = р с„ьо (г) приг дш и=1 менить формулу .0(и1) = — 11ш — гЬ (см. задачу 7.32; знак изменен дп г на обратный, потому что теперь и — внутрен(1яя нормаль). 2) Доказать, что квадратичная форма ~ ~р„„с„с„явлнется поки=1 ложительно определенной, т.
е. она положительна для всех систем ЗНаЧЕНИй (С,), ИСКЛЮЧая С1 = СЗ = ... = Си 1 — — О. 7.70. Доказать, что система уравнений и-1 оьрАн — — Вн (/х = 1,2, ...,о — 1) ии1 (А„ — неизвестные) имеет единственное решение для любых В„. Пользуясь этим, доказать, что для любой гармонической в С функции и(г), вообще говоря, неоднозначной, можно подобрать постоянные А1, Аз,..., Аи 1 так, чтобы гармоническая функция и — 1 и1(г) = и(з) + ~ ~А„й1„(з) была однозначна в С. ГЛАВА ЧП1 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ.
ОСОБЕННОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 2 1. Аналитическое продолжение 8.1. Функция 1(2) = ~ ~зп разложена в ряд Тейлора в окрести=о ности точки 2 = а (!а~ ( 1). При каких значениях а это разложение позволяет аналитически продолжить функцию 1(2)? п 8.2. Сумма степенного ряда 1(2) = 2 — разложена в ряд Тейп=1 лора в окрестности точки 2 = -1/2. Какова область, в которую будет таким образом продолжена функция Г(2)? пп п 8.3. Доказать, что функция г'(з) = 2 ( — 1)п+' — может быть п=1 продолжеяа иа большую область посредством ряда 1 — г (1 — г) (1 — 2)г !п2 — —— 2 2 . 21 3 .
22 8.4. Степенные ряды (2 2)п 11(2) = ~ ~— и 12(2) = гх + ~~~ ( — 1)п и=1 п=1 ие имеют никакой обшей области сходимости. Доказать тем ие менее, что функции 11(2) и !2(2) являются аналитическим продолжением друг друга. 8.5. Доказать, что функции, определенные рядами 2 2 1 (1 — а)2 (1 — а) 2 1+аз+а 2 +... и — — + 1 2 (1 2)г (! )г являются аналитическим продолжением друг друга, 8.6. Пусть степенной ряд 1(з) = ао + ага+ ... + апзп + ... имеет радиус сходимости В = 1.
Произведя замену переменной з = 1зб 1л. 9111. Аналитическое продолжение Я , приведем его к виду 1+ г' /() ж/( ~ ) =.р'(г) ж,+с,г+...+с„г" +... ~1+ В~ Обозначив радиус сходимости полученного ряда через р, доказать следующие утверждения: 1) р > 1/2, причем если точка з = — 1 является особой для функции /(з), то р = 1/2; 2) если — < р <1, то равенство /(з) = г'(Я) = Е'( — ) позволя- 1 1 л 2 (,1 ет аналитически продолжить функцию /(г) в область, внешнюю для круга Ц < 1 н внутреннюю для окружности Аполлония ~ — ~ = р; 1 — е 3) если р = 1, то указанное в п.
2) равенство аналитически продолжает функцию /(з) в полуплоскость Вез < 1/2; 4) если р > 1, то функции /(з) аналитически продолжима в область, внешнюю для окружности Аполлония ~ — ~ = р. !1 — л 8.7. Локазать, что степенной ряд /(з) = ~~ з~ представляет функцию, аналитическую в круге ф < 1 и имеющую окружность ~з) = 1 своей естественной границей (т.
е. /(з) является функцией, не продолжимой за пределы единичного круга). Указание. Пользуясь тождеством /(з) = с~+ел+ ... + аз + +/(гз ), доказать, что для любой точки вида ~= 'Л (1с — натуральное число) /(1~) -э оо при 1-+ 1 (О <1< 1). В задачах 8.8, 8.9 доказать что функции, представленные указанными степенными рядами, не продолжимы за пределы единичного круга. 8.8. /(з) = ~~ =о Указание. Если р и д — взаимно простые целые числа и н > д, , и! то ~ гсср '1о) = тел и! 8.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
