1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рекомендуется заново решить указанные задачи и определить постоянные, входящие в общую формулу. 9.22. Отобразить внешность двузвенной ломаной (рис. 41) на внешность круга ф > 1 при условии ю(оо) = оо, ю'(оо) > О. 9.23. Доказать, что функция ю = 1(з), отображающая верхнюю полуплоскость 1ш з > 0 на внешность звезды задачи 9.21, имеет вид — П( -")"" (2 — 22)(2 — ес) Л=1 где зо — точка верхней полуплоскости, переходящая в оо. Рис. 40 Ле Гм 1Х. Нонформные отобрехения (нродоехение) 15б Се 9.24. Пусть область Р в 1о-плоскости ограничена лучом (О, оо), и — 1 отрезками, идущими из и1 = Ие 12, = 0 в точки В1 (1 = 1,2, ...,и — 1), и А Аз п1 — 1 лучами, идущими из точек Р, (е = 1,2,...,п1 — 1) в оо, такими, что их продолжения в противоположную сторону встречают начало координат (рис.
42). Пусть Аь (й = = 1,2,...,п) — вершины Р в начаРис. 42 ле, анп — соответствующие углы, С) О = 1,2, ...,п1) — вершины Р в со, у) и — соответствующие углы, А1 В1 Аз...А„С1 Р1 ...С вЂ” положительныйй обход границы Р. Доказать, что функция щ = )'(з), отображающая верхнюю полу- плоскость 1шг > 0 на Р, имеет вид )(з) =С П(з — аь) "/П(з — с;)ш (4) 1=1 1=1 где аы с, — точки на оси х, соответствующие вершинам А1, С,. Точки Ь„1(, на оси и, соответствующие вершинам В;, Р„нвляются корнями уравнения Ме в и т — = О. (5) с=1 " )=1 Рис.
43 Как определить параметры С, аы 31, с., а',? Что изменится, если один из параметров аь, бо с,, И, будет равен со? Указание. Доказать, что т П( — оь) П( — с,) ь=! ,1 =1 В задачах 9.26-9.30 отобразить на верхнюю полуплоскость 1шз > 0 области 1о-плоскости, указанные на соответствующих ри- 9.25. Доказать, что формула (4) из задачи 9.24 справедлива и для областей Р с границей, содержащей два луча [О,оо) (рис. 43). При зтом вершина в начале координат учитывается и тогда, когда из нее выходят только два луча, образующих одну прямую.
51. Формула Кристоффеля-Шварца 157 Рис. 46 Рис. 44 Рис. 45 9.26. Область, указанную на рис. 44, ю(А»=0, В=Ье» "', Аз,С=ос)-+л( — 1, Ь, 1, оо), 9.27. Область, указанную на рис. 46, ю(А»=0, В=16, Аз,С=со, йсс4Н, Се=ос)-» -+ з( — а, О, а, 1/а, оо, — 1/а). 9.28. Область, указанную на рис. 46, ю(А» —— О, В» — — — Ье ', АюВз = Ье', Аз, С = оо) -» -» з( — 1, — Ь, О, Ь, 1, оо). 9.29.
Область, изображенную на рис. 47, 0 В Ь алое Аз, С» — — со, Р = Не'ео', Сз = оо) -» -+ и( — а, О, 6, 1/6, оо, — 1/о). Се 9.30. 1) Область, указанную на рис. 48, 1), ю(оо) = оо, ю(~1) = ~1; 2) область, указанную на рис. 48, 2) (углы между разрезами я/п; А» А„1 1 -1 Рис. 48 сунках при заданных условиях, и определить параметры а и Ь (а>О,Ь>0). Гл. 1Х. Конформныв отоароневнин (прооовнеенив) 158 крайние отрезки образуют с соответствующими лучами действительной оси углы я/(2п)), ш(оо) =ос, ш(Ав,А ) — >л( — 1,1). 9.31. Пусть область Р в ш-плоскости есть горизонтальная полоса шириной Н с разрезами, идущими налево в со из точек В; Рис.
49 (1 = 1,2,...,п — 1) и направо из точек Ю, (в =1,2,...,гп — 1) (рис. 49). Доказать, что функцин и = )'(в), отображающая верхнюю полу- плоскость 1ш з > О на область Р, имеет вид )(в) = ~ ~— ~1п(з — ав) — ~ — '1п(г — с ) + С, (6) о к ь=в где агн ст — точки на осн х, соответствующие вершинам Ан и С. области Р; Ьв — расстояния между разрезами, идущими влево, а 1, — вправо. Точки Ь, (1 = 1,2, ...,и — 1) и Це (в = 1,2, ...,гп — 1) на оси х, соответствующие вершинам В; и Р„являются корнями уравнения (7) =О.
Как определить параметры С, аы 6;, с, Ы,? Что изменится, если один из параметров аы бь с, а, будет равен со? Указание. Задаче сводится к задаче 9.25. Можно также находить функцию )'(з), которая однозначна, или непосредственно исходить из формулы Кристоффеля-Шварца. 9.32. Пусть область Р есть верхняя полуплоскость 1шш > О с горизонтальными разрезами, идущими налево в оо из точек В; !а9 91. Формула Кристоффвлл-Шварца (! = 1,2,...,п) и направо в оо из точек ??, (в = 1,2,...,гп) (рис. 50).
Рис. 50 Доказать, что функция ло = ?(г), отображающая верхнюю полу- плоскость 1т г > 0 на область Р, имеет вид ?(х) = ~ ~— "!п(г — аь) — ~ ~— '!п(в — с )+Аз+В, (8) в=! л=! где ал, су — точки на оси х, соответствующие вершинам Аь и С области Р, и Ьг, 1. — расстояния между разрезами, идущими в одну сторону. При этом точка Ао переходит в оо, А > 0 и?гпВ = ~~ 1, л=! Точки Ь; (! = 1, 2, ..., п) и !?, (в = 1, 2, ..., тп) на оси х, соответствующие вершинам В;, и ?)„явля!ется корнями уравнения а ~п (О) ь=! !'=! Как определить параметры А, В, аы Ьо сл, с(,? Показать, что если Ао переходит в точку ао ф оо, то ?(л) = ~ ~— ~?п(х — ав) — ~! — '1п(г — с ) + Ь„ ь=! !=! + !п(х — ао) + + В, (10) Б — Н А в л — аа где Н=~~! Ьы Т=~~ 1, А<0 и ?лпВ=Х,.
в=1 л=! Если параметр ав или с равен оо, то в формуле (10) соответствующее слагаемое выпадает. Указан не. Воспользоваться формулой Кристоффеля-Шварца. Гя. лХ. Яонфорленые отображения (нродояжение) 160 для определения козффициентов при логарифмических членах сравнить приращения ш при обходе (по полуокружностям) точек ао, ая, с,, вычисленные геометрически и по фор- муле для 11г).
9.33. Пусть область Р— щ-плоскость с горизонтальными разрезами, идущими налево в оо из точек В, (1 = 1,2,...,п) (рис. 51). Доказать, что функция в = Г'1г), отображающая А~ А, верхнюю полуплоскость 1щ г > О на об- ласть Р, имеет вид У() = = — Ага+ Вг+ С+~ — ~1п(г — ал), Рнс. 51 9.34. Пусть область Р есть щ-плоскость с горизонтальными разрезами, идущими в оо налево и направо (рис. 52). Доказать, что функ- Рнс. 52 ция ео = 11г), отображающая верхнюю полуплоскость 1тпг > О на об- где аь — точки на оси г, соответствующие вершинам Ая области Р, и Ьл — расстояния между разрезами.
При атом точка Ао переходит в со, А > О и  — действительное число. Точки Ь1 (1 = 1,2, ...,и), соответствующие вершинам В, являются нулями производной 1'(г). Как определить параметры А, В, С, ал, Ь;? Указание. См, указание к задаче 9.32. у 1. Формула крисглоффелл-шварца 1б1 ласть Р, имеет вид /(л) =~~~ — )п(л — аь) — ~~ — ' !п(з — с,)+ + — + В, (11) А С 77 7Г в — ас 2 — СС в=о Г=О где А > О, С > О, Ло = 1ш (Р— В,), 1о = Ке (Р! — В„), а остальные параметры (включая Ь, и 71, для вершин В; и Р,) имеют те Гке значения, что в задаче 9.32.
Как определить параметры А, В, С, аь, Ь;, с, Г)7? Показать, что если оо = оо, то «-1 ОГ-1 Дз) = ~ — !п(з — ак) — р — !п(г — су) — + Аз+ В, (12) Ьь С л 77 с — св 2=1 Г=О где А > 0 и С > О. Если параметр ав (Гс ф 0) или с, (у ф 0) равен оо, то в формуле (12) соответствующее слагаемое выпадает. Указание.
См. указание к задаче 9.32. 9.35. Отобразить верхнюю полуплоскость 1птз > 0 на области в 2) А 3) с О Я 4) б) л! 172 О О 7) 9) 3) Рнс. 33 1) (АГ,В,А2,С) -+ (-1,Ь,1,оо); 2) (АГ,ВГ,А2,В27Аз,С) -+ ( — 1,-Ь,О,Ь,1,со); 11 Л.И. Вовксвыскнй н лр. ш-плоскости, указанные на рис. 53 (все размеры указаны на соот- ветствующих рисунках) при заданных условиях; найти а и Ь (а > О, Ь > 0): Гл. (Х. Кокформные отображения (продолжение) 162 3) (Е,0,1/) -+ (-1,1,со); 4) (Е,О,Р) + (-1,1,со); 5) (Е,О,С) 1 ( 1,1 оо); 6) (Ао В,А1) 1 (ос~О 1); 7) (А1,0,С) -ь ( — 1,0, 1); 3) (Ао, Вм А1, Вг) -+ (оо, — (1+ а), — 1, О); д = Ке(В2 — В1); 9)(А,В,С,В) -+ (оо, -1,а,1); /1 = Ке( — В); Ь = 11п( — В).
8 2. Конформные отображения, осуществляемые с помопчью эллиптических функций ) Интеграл и(х,к) = ( (1) ', ~/Р-~*5Р-з'ч где подынтегральная функция равна 1 при 1 = О, называется нормальным эллиптическим интегралом 1-го рода е форме Лежандра. Параметр /с называется модулем; в дальнейшем предполагается, что 0 ( /с ( 1. Замена независимой переменной г = 81поз и подстановка = 81пч(/ приводят этот интеграл к виду Ь г,з) =г(г,з) =( (2) ~ - э." е Обратная функция (3) г = эп (и, (с) (или, в других обозначениях, ьо = аши) является одной из основных эллиптических функций Якоби и называется, вп-функцией Якоби. Из ее определения следует, что бп (О, /с) = О.
с функцией ш1 (и, У) связаны две другие функции называемые соответственно сп- и г1п -функциями Якоби. Ветви корней определяются условиями сп (О, к) = дп (О, к) = 1. Если нет необходимости в указании модуля к, то пишут просто пни, спи, 11пи. ) Свойства и преобразование эллиптических функций и интегралов, используемые в задачах этого параграфа, приведены, например, в книгах; А х неве р Н. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
