1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Элементы теории эллиптических функций. — М.: Наука, 1970; У иттекер Э. Т., Ватсон Дм. Н. Курс современного анализа. Т. 2,— М.: Физматгиз, 1968; Бейт мен Г., Эрдели А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Эллиптические и ввтоморфные функции, функции Ламе н Матье.— Мл Неука, 1967.
Сериа "Сцрааочная математическая библиотеке". Краткая сводка соответствующих преобразований приведена в первом издании настоящего задачника и в книгах: Корм Гч Кори Т. Справочник по математике.— Мс Науке, 1968; Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.— Мл Наука, 1964. бу. Отображения с помощью эллиптические узункпиа 1ба Из (1) †(4) следует, что депп Испи — = спи(1пи, — = — апих(пи, ди ' ди (5) Идпи = -кззп и сп и.
ди Значение функции и(г,к) при г = 1 (1о = к/2), т. е. интеграл 1 = К(й), ;1 х"ь.")и:хх ) называется полным эллиптическим интегралом 1-го рода, Величи- на 1с) = х/1 — И называется дополнительным модулем. К(к) = К и К()г)) = К называются связанными эллиптическими интегралами. В задачах часто используются следующие легко доказываемые соотношения (преобразования полных эллиптических интегралов первого рода); К(-„) = й(К+1К'), (б) К~ — '„",) =Ь'К, Заметим также, что х,)ь (()-)Х)-Х ) ) =к (...,..-- (=),Х). () ХХ ~ Х'(') К(1) = А (К + 1К) К( — '„'"') =УК'.
11' 9.36. Доказать, что образом верхней полуплоскости 1шг > О при отображении с помощью яормального эллиптического интеграла 1-го рода Ж ()- ')(' Х'() является прямоугольник с вершинами жК, жК+ 1К), соответствующими точкам ж1, ж1/Й. Продолжая это отображение по принципу симметрии, доказать, что обратная функция г = апи двоякопериодическая с периодами 4К и 2ХК'.
Рассмотреть соответствие между плоскостями и и (р, где и = = Р(р,у). Указание. Применить принцип соответствия границ. Особое ди внимание обратить на изменение аргумента —, когда г пробедэ' гает действительную ось. йе ХХ. Нонформные отоарожеяия (продолжение) 9.37. Отобразить верхнюю полуплоскость 1спг ) О иа прямоугольник в и-плоскости с вершинами жа, жа+сЬ (а ) О, Ь ) 0).
9.38. Найти образ четвертого квадранта г-плоскости при отображении с помощью эллиптического интеграла 1 аС 'О - рхге г с ц'Г Продолжая это отображение по принципу симметрии, найти образ всей г-плоскости с разрезами по лучам ( — со, — 1], [1, со), ( — Ссо, — й'/к], [й'(Ь, соо). где )сс принимает значения Й, 1()с, Й', 1/Й', сЦк', гк'[к.
У к а з а и и е. Воспользоваться формулами (6). Интеграл е Ь) /' 1 —" С олС /' 1 )г гфлф с(, Ь) (7) о о (г = лил 1о) называется нормальным эллиптическим интегралом 2-го рода е форме Лежандра. При г = 1 (у = е(2) получается полный эллиптический интеграл 2- рода ЕЯ = Е = /'~/ йС. 1 — С о (8) Введя обозначение Е(Ь') = Е', легко получить соотиошеиил Проверить, что обратной будет г = сп (и, й), и доказать, что оиа двоякопериодическая с периодами 4К, 2К+ 2сК'. 9.39. Найти образ четвертого квадранта г-плоскости при отображении с помощью эллиптического интеграла 1 аС и= Продолжая это отображение по принципу симметрии, найти образ всей г-плоскости с разрезами по лучам ( — оо, — )с'], [)с',со).
Проверить, что обратной фуикцией будет г = с(п(и, Ь), и доказать, что оиа двоякопериодическая с периодами 2К и 4сК'. 9.40. Найти образ первого квадранта г-плоскости при отображении с полсощью эллиптического интеграла 1-го рода и(г, Йс) = сСС ,,лг- ~')(~ - Ф ) ' ник с помощью эккиптическш функций 165 =-„'[(Е-Ь"К)- (Е'-Ь'К')), = 1 НЕ' — Из К') — 1(Š— Ь'2К)], (9) еские интегралы 1-го и 2-го рода, отвечающие дополнительным модулям Ь и Ь', связаны соотношением Лежандра ЕК' + Е'К вЂ” КК' = к/2. (10) Замена независимой переменной е = эпи в интеграле, определяющем о(е, й), приводит к функции Якоби Е(и, Ь) 6— 6 Е(и) = и(эпи, Ь) = /с(пзтдг, (11) о выражающей эллиптический интеграл 2-го рода как функцию эллиптического интеграла 1-го рода.
С фушсцией Е(и) связана функция В(и), определяемая формулой В(сс) = Е(и) — — и, Е К (12) 9.41. Найти образ первого квадранта е-плоскости при отображении с помошью нормального эллиптического интеграла 2-го рода и(е, Ьс) = ~с~ о где Йс принимает значения Й, 1/Й, к', 1/Й', й/Й', Ы'/Й. Указа ние. Воспользоваться формулами (9) и тем, что ь!ус э 1 (эта формула получается с помошью подстановки Йз1з+ Ртз = 1).
9.42*. Отобразить верхнюю полуплоскость 1спе > 0 на верхнюю полуплоскость 1спш > 0 с двумя вертикальными разрезами вдоль отрезков Вею = та, 0 < 1псш < 11 с нормировкой: со(0) = = О, со(оо) = О, ш'(со) > О. Указание. Воспользоваться формулой Кристоффеля — Шварца в виде Ьь эь о)=с/ ' с*=о,сьч* — и о,ь)~ ь.ьс, о- ь(1-ь"ч где Сс — — С/кз, ш(Ы) = та, со(~Ь) = та+ ЬЬ, и составить уравнения для определения параметров Сс, /с и Ь.
1бб Гм 1Х. Конформные отображения (продолжение) 9.43. Доказать, что функция Йписпи ели производит отображение прямоугольника 0 < < с < К, 0 < и < К, расположенного в плоскости и = б + 19, на четвертый квадрант кб н11 плоскости ш с разрезом [ — —, Ь вЂ” — ~, где 2К' 2К1' кб / 6 — — есть образ точки и = ~+(К, для ко- 2К дш торой — = О. Продолжая это отображение по ди Рнс. 54 принципу снл4метрии, показать, что образом прямоугольника 14( < К, ф < К~( будет являться вся плоскость с разрезом, изображенным на рис. 54. Примечание. 06 отображении прямоугольника на внешность креста или на внешность прямоугольника с четырьмя отростками— продолжениями сторон — см.
первое издание этой книги или: П аглч1п. Боте соп(огша1 лгапз(оппа11опз 1пчо!ч1пб е111рНс Гопс11опа// Т11е Р1п1озор1п1са1 Майаз1пе. Бег. 7.— 1950.— У. 41, 1чг 312. Интеграл ш(г,и,й) = дг <1 +. Ч ЛГ- Еб - ь' Ь = П(у, и, й) (13) , и+ -"нЛ: е. Рг называется нормальным эллиптическим интегралом 3-го рода о форме Лежандра. Замена независимой переменной г = зпи приводит к формуле и ш(апи,и,й) = / (14) о Величина Пл(и,й) = ш(1,и,й) = П(к/2,и,й) называется полным эллиптическим интегралом 3-го рода.
9.44. Найти образ первого квадранта г-плоскости при отображении с помощью нормального эллиптического интеграла 3-го рода (13) для 0 < й < 1. Рассмотреть отдельно случаи, когда и принадлежит интервалам: 1) (-оо,-1); 2) (-1,-й'); 3) (-й',0); 4) (О,оо). Рассмотреть также случаи и = -1 и и = — йз. Указать области в ш-плоскости, которые получаются прн продолжении по принципу симметрии через различные интервалы действительной оси плоскости г. В каждом случае показать соответствующие области в и-плоскости, где г = апи. помощью эллиптические функций 157 (15) с дискриминантом Ь дз — 27дг ф 0 (при этом условии ес, ег, ез попарно различны) называется нормальным эллиптическим интегралом 1-го рода в форме Вейерштрасса, а функция г = 1э(ш) (16) называется р-функцией Вейерштрасса (пэ-функцией Вейерштрасса).
Это одна из основных эллиптических функций с периодами 2иг, 2ш' Р 1ш — ф О). Она удовлетворяет дифференциальному уравнению р' = 4р — дгр — дз = = Л(р — е1)(ю — ег)(р — ез). (17) Функция р(ш) четная, двулистная в параллелограмме периодов (рис. 55)„имеющая там полюс второго порядка в нуле и двукратные точки (р' = 0) ш, ш+ш, ш: ег — — 1э(ш), ег = р(ш+ш'), (18) ез = р(ш').
Из (17) следует, что е1+ег+ез =О, 1 езсг + егез + езез = -- дг, (19) 1 4 егегез = -дз. 4 9,45*. Исследовать отображение г-плоскости с помощью нор- Рис. 55 мального эллиптического интеграла 1-го рода в форме Иейерштрасса (15) для вещественных дг, дз и Ь > О. Рассмотреть случаи дз > О, дг < О, дз = О. Найти периоды р(ш). У к а з а н и е.
Рассмотреть отображение верхней полуплоскости 1гаг > 0 с помощью принципа соответствия границ. 9.46в. Исследовать отображение з-плоскости с помощью нормального эллиптического интеграла 1-го рода (15) для вещественных дг, дз и Ь < О. Рассмотреть, в частности, случай дг = О.
Найти периоды Р(ш). Указание. Так как 71 < О, то две из величин еы ег, ез комплексно сопряженные, а одна действительная. Пусть ег — действительная величина, ег = а+1В, ез = а — Ц (В > 0). Рассмотреть Га. 1Х. )тонуормные отобранеенип (продопнеение) 158 отобРажение полУкРУга )л — ел) = (е~ — ел(, 1т л > 0 с помоп1ью пРин- г) '% '6 о к ф к: ф~~~ ~~~~ф 5) 'Я а Мй б) 7) Мъ~ 'О Ь, 9] 10) ' ~~~\ 'М М 12) н 1 4) 15) ~~\' а й, Рне. 55 ципа соответствия границ и продолжить это отображение по принципу симметрии. 9.4Т.
Найти отображения на верхнюю полуплоскость 1п1ю > 0 треугольников АВС при указанных условиях: 1) (А = О, В = м > О, С = ы(1 + 1)) -1 (со, -1, 0); 2) (А=О, В=а>0, С= — еее7 ~ -+(со,— 1,1); аГзе 1 2 3) (А=О, В=а>0, С= — еьу ~ -+(оо, -1,0). .Л 1..~ 2 1) ,Й®, 'Я 1" 1 ° "Ф М с помощью эллиптических функций Г69 зоваться решениями задач 9.45 (случай дз = О). ласти 1)-15), расположенньсе в е-плоскости и указанные на рис.
56, отобразить на круговое кольцо р7 < ]ш] < рз и определить модуль д = ~ (см. стр. 36). 7н В задачах 9.49 — 9.51 отобразить на единичный круг ]1] < 1 указанные области. 9.49. Прямоугольник ~Неи] < К, !1пти] < К' (О < й < 1). Найти положение вершин при отображении. 9.50. Внутренность эллипса ]з — Ц + ]з + Ц = 2а 1а > 1) с разрезами [ — а,— 1], )1,а]. 9.51. Внутренность эллипса ]е — Ц + 1л+ Ц = 2а (а > 1). Найти положение фокусов при отображении.
9.52. Внешность единичного круга ]1] > 1 отобразить на области 1) — 3), расположенные в г-плоскости и указанные на рис. 57. Ц з) Рис. 67 0 применении эллиптических функций к задачам об отображении верхней полуплоскости на внешность дуг эллипса, гиперболы и параболы, а также к отображению внешности двух произвольно расположенных прямолинейных отрезков или двух концентрических дуг на круговое кольцо см., например, книгу: Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— Мс Наука, 1966. ГЛАВА Х ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 3 1.
Приложения к гидромехенике') Установившееся плоское безвихревое течение несжимаемой жидкости характеризуется аналитической функцией ю(х) = уз(х,у) + гф(х,у), (1) называемой комплексным потенциалом или характеристической функцией течения; ~р называется потенциальной функцией, гр — функцией тока. Линии чз = сонат — экаипотекциалвкые линии, ф = сопзт— линии тока. Скорость течения Ъ' связана с ю(л) соотношениями вг = Ъ'ее~ = 'г' + з '„= ю'(л), Р = !ю'(х)!, о = — агяю'(х), (2) аг = Вгвс1 ~р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
