1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 24
Текст из файла (страница 24)
т. в. Й вЂ” 1 порядка функции «(ю), если в окрестнос- рх. Особые точки многозначноео характера. Риманоеы аоеерхности 143 ти хо разложение Лорана функции Дх) имеет вид У(х) = юо+ ~ ~с„(х — хо)" (сь Ф О) и4 л хх(х) = ~~ с„(х — хо)" (с е ~ О). Если хо — — со, то указанные разложения должны иметь вид Дх) = ~ с„х" (сс ~ О) ,г(х) = юо + ~~~ сих (с — ь ~ О). или или В задачах 8.46-8.52 определить особенности х(ю), если ш — данная функция.
846 ш=х(1 — х) 847 ю=хз — Зх 848 ю= (1 + х)о 8.49.ю=( ) . 8.50.ю=, (0<а<1). 8.51. ю = Р„(х) (многочлен п-й степени). 8.52. ю = В(х) (рациональная функция). В задачах 8.62-8.65 найти особенности функций, обратных к данным. 8.62. ю = е'~'. 8.63. ю = ей' '1х1 ($ — комплексное число). В задачах 8.53-8.61 исследовать отображение, осуществляемое функцией ю(х), построить риманову поверхность Н над ю-плоскостью и разбить х-плоскость на области, соответствующие листам или полулистам Н. хчп 8.53. ю = (1+ — ) . Рассмотреть предельный случай п -+ оо.
п 8.54. ю = ( — ) . 8.55. ю = — (х+ -). 8.56. ю = 8.57. ю = — (х" + — ). Найти также группу линейных преобра- 21 зований, относительно которых функция ю инвариантна, и выяснить, какие преобразования римановой поверхности соответствуют преобразованиям группы. 8.58. ю = . 8.59. ю = х — —. 8.60.
ю = — +— (1+ хи)е н х и 8.61. ю = Т„(х) = — „, сое (и агссозх), и > 1 (Т„(х) — полиномы 1 Чебышева). зл. УИ1. Аналитическое иродолзкение 144 8.64. ю = сои«+а1п«. 8.65. в = —. ези « В задачах 8.66-8.74 построить зо-плоскостью. 8.66. в = соз«. 8.67. ю = а!и«. 8.69. ю = с15 «. 8.70. ю = сЬ «. 8.72. в =1Ь«. 8.73. и) = с1Ь«. римановы поверхности над 8.68.
ю = 18 «. 8.71. ю = зЬ «. 8.74. в — «л. ез В задачах 8.76-8.81 построить римановы поверхности указанных функций (над «-плоскостью). и.тз. )) = /)* — ))* — )З 2) = ) — )) — з)) — ); и 3) в = П(« — аи) (отдельно рассмотреть случаи четного и и=1 нечетного и). з.тт. )) = Зг:Б; з) —, О)* — ц* — з); 4) в = П(« — ас), п > 3. з=з 3)ю= 8.78.
ю = , и>3. 8.79. ю = ' + ий — с. 8.80. и) = Х))Д вЂ” 1 8.81. т = ъ)з)п«. В задачах 8.82-8.87 исследовать отображения н построить рима- новы поверхности для алгебраических функций ю(«) и «(ю). 8.82. вз + «« = 1. 8.83. ю« =,. Указание. Воспользоваться решением за- (1 — «)з' дачи 8.56. 8.84. вз+«з — Зю« = О.
Указание. Воспользоваться параЗз Зз~ метрическим представлением « = †, ю = — . 1+Гз' 1+зз з 8.85. в = —. Указание. Воспользоваться параметричес з 1 — « зз з ким представлением « =, ю = —. 1+гз' 1+Зз' 8.75. Считая известной риманову поверхность над ю-плоскостью рациональной функции ю = гз(«), построить рнмановы поверхности функций «(в), если: 1) ю = Л(е'); 2) в = В(з)п «). дй. Особые точки мноюзначнога хоректера. Римановы поверхности 145 1~ — 1 Указание. Положить х =, ю = се+ 1' 8.86.
ю = х —. з1+х 1 — х се+ 1 и 8.87. ю" = (1 + хк)е ' У к а з а н и е. Рассмотреть отдельно случаи четного и нечетного и. Если х = а — особая точка для одной из ветвей ?(х) функции ю(х), то областью неопределенности Р(х) в точке х = а называется множество предельных значений р(х), получаемых из ее значений в окрестности х = а над (х — а) ( г при г — ~ О.
Для а. т. в. и полюсов область неопределенности состоит из одной точки. Если функция однозначна и точка а — изолированная существенно особан точка, то, по теореме доходного, область неопределенности покрывает всю плоскость (см. также задачу 4.76). Для трансцендентных и логарифмических точек ветвления, а также для пеизолированных особых точек область неопределенности может иметь более сложную структуру (см. книгу: Го л у б е в В. В.
Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений.— Мл Гостсхиздат, 1951.— Гл. ?, З 7). В задачах 8.88-8.99 определить особенности функций, а также найти области неопределенности в трансцендентных и логарифмических точках ветвления. 8,88. ю = (чьссх) , 8.89.
ю = ( т/х) (п, т — натуральные числа). 8.90. и = е171'т О. 8.91. ю = ~ . 8.92. ю =1я ,/Б ' ' ' 1+,/х' 8.93. ю = е<'"0 (п — целое число). 8.94. ю = х' = е'1'"'. 8.95. ю = з1п? и х. 8.96. ю = — ? и —. 8.97. ю = х + ? и х. 1 1 х 1 — х 1 1 8.98. ю = — Агсвьпх. 8.99. ю = — + Агс18х. хе В задачах 8.100-8.103 построить римановы поверхности заданных функций. 8,100.
ю = х' (а — комплексное число). 8.101. ю = ? и ((х — а)(х — Ь)]. 8.102. ю = ? и [(х — а)(х — Ь)(х — с)). 8.103. ю = ? и сбп х. 10 Л.И. Волковыскил и Лр. 8.104. Пусть ~ = у(х) — однозначная или многозначная аналитическая функция, П, и — ее риманова поверхность над х-плоскостью и ю = ?(ь) — однозначная аналитическая функция с областью определения СС.
В каких областях на ??, каждое из указанных выражений: 146 Гл. И/Ь Аналитическое продолжение 1) ю(л) = /[1о(л)), 2) и(л) = /(з)+ 1о(л), 3) ю(л) = /(з)1о(л), определяет единую аналитическую функцию? Рассмотреть, в частности, случай, когда ~р — алгебраическая или обратная к мероморфной, а / — рациональная или трансцендентная мероморфная функция. В задачах 8.105 — 9.2 выяснить, какие нз указанных функций ю(з) распадаются на различные аналитические функции, а какие — нет; определить также их особенности н там, где указано, построить римановы поверхности (и и гп — натуральные числа). 8.105. ю = ч/зз (сравнить с (~Й)з). 8.106. ю = ч/г4 (сравнить с (рз) ).
8.107. ю = ч/ст (сравннть с (~/з)™). 8.108. и = 1/ел. 8.109. ю = 1/з1пз. 8.110. ю =?лг'. 8.111. а~ = Ьпе'. 8.112. и = 1п(з — 1/з). 8.113. и = Ьп(е' —. 1). Построить риманову поверхность. 8.114. и = Ьп з1п г. Построить рнманову поверхность. 8.115. и = Ьп 18л. Построить риманову поверхность. 8.116. ю = Атосов(созе) (сравнить с соз(Агссозл)). 8.117. ю = Агсгб(18е) (сравнить с 18(Агсгбл)). 8.118. 1) и = (з")"' (гы гз — рациональные числа).
Сравнить 2 3 с (л"')"'. Рассмотреть, в частности, гг — — —, гз = —,. 2) и = з" г'ч 3) ю = г"'+л"'. 8.119 ю = бГл ~/Т вЂ” л. 8.120 ю = ~/ Я вЂ” 1. 8.121. ю = фг+ 1 8.122. и = Жп л. Построить риманову поверхность. 8.123. и = Ьп Ьп ю Построить риманову поверхность. 8.124. и = (Ьп (г — 1))'. 8.125. ю = ь/Агсз1г1з. Построить риманову поверхность. 8.126.
ю = АгсзшЬпс. Построить риманову поверхность. 8.127. ю = Ьп (Г/л — 1). Построить риманову поверхность. 8.128. и =1п . 8.129. и =Агсз1п —. 1+,/л 1+х 8.130. ю = Ьп з (сч — действительное число). 8.131. ю = т/л+ Ьпл. Построить риманову поверхность, 42. Особые точки многогночного характера. Римоноеы поверхности 147 8.132. ю = Ьпх+ Ьпх. 8.133.
и = Агсз1пх+ Агссозх. 8.134. ю = Атеях+ Агсстйх. 8.135. и = АгтЬх — АгсФЬх. 8.136. Построить риманову поверхность функции ю = (Ьпх)' и исследовать множества предельных значений ю для одной л.т.в. над точкой х = О, получаемые при: 1)г-+О, ~ртсопзй 2)г-еО, сг<у<~3; 3) г = сопзг, и -е асс; 4) г -+ О, р -э тоо. 8.137. Пусть т(х) — однозначная аналитическая функция в круге [х] < 1, нигде не продолжимая за окружность ]х[ = 1.
Выяснить, при каких значениях а указанные функции распадаются на различные аналитические функции, а при каких не распадаются: 1) ю = зг(х) + ~/г — а; 2) ю = т(х) Ьп(х — а); 3) ю = з1(а + х"); 4) ю = зг(а + е'). 8.138. Выяснить вопрос о распадении функций: 1) ю = Я вЂ” а, 2) и = Ьп (ч — а),. где ~ = Х '(х), а т — функция из задачи 8.137. 8.139. Исследовать поведение отдельных аналитических функ- ций, определяемых равенствами: 1) и = ".г(х)(Ьпх)', 2) ю = зг(х)[Ьп(х — 1)]', где зс(х) — функция из задачи 8.137. Найти, в частности, области неопределенности в окрестности л. т. в. У каза и не.
Воспользоваться решением задачи 8.136. 8.140. Пусть Дх) — целая функция. Построить римановы поверхности функций: 1) ю = ьУ7(х); 2) и = Ьп Дх); 3) ю = [У(х)] (а — иррациональное число), 8.141. Построить риманову поверхность функции ю = 1 ~~ х"'. о» п=! 8.142. Пусть Дх) = х+ ~ . Построить рима+2 (2" + 1)(2" + 2) н=г новы поверхности функций: 1) и = ЯЯ; 2) и = ЬпДх); 3) ю = Ьп ([-) +Ьп(( — ). Указание.
Предварительно доказать, что функция Дх) однолистна в круге ]х] < 1 и имеет окружность ]х] = 1 своей естественной границей. 10' ГЛАВА 1Х КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 3 1, Формула Кристоффеля-П1варца ') Обозначим через Р ограниченный многоугольник в аьплоскости, Ай (к = 1,2, ..., и) — его вершины, расположенные в порядке положительного обхода Р относительно его внутренности, и сгйя — его внутренние углы (~ ай = и — 2). Функция ш = 1(х), отображаюй=1 шая верхнюю полуплоскость 1ш х > 0 на внутренность многоугольника Р, определяется по формуле Кристоффеля †Швар Еж,(.) =С/П(, П,,-- ад+С1, О й=й где — ~ю < о1 < аз < ... < а„< оо — точки на оси х, соответствуюшие вершинам А1, Аз, ..., А„многоугольника Р; С н С1 — комплексные постоянные.
В формулу (1) входят подлежащие определению точки ай — образы заданных вершин Ай многоугольника и постоянные С и С1. Из и точек ай т р и можно выбрать произвольно, так как дробно- линейным преобразованием верхней полуплоскости на себя их можно перевести в три заданные точки. Определение остальных п — 3 точек и комплексных постоянных С н С1 (всего и + 1 де й с т в и т ел ь н ы х параметров) представляет главную трудность при практическом использовании формулы (1). В принципе неизвестные параметры могут быть найдены из следуюших соображений. Длина 11 СтероНЬ1 А1А1Е1 (1 = 1,2,...,п — 1) равна а ни ами н )1 = / )Уч(х))г(х = )С) 1~ П )х — ай( " сХх. а, а1 1=1 Длина 1„стороны А„А1 равна асс в а1 в .= '()и -"--" (и -""-'] аа 1=1 -оо й=1 1) К этому параграфу смс [2, гл. чПП 1 7), (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
