1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 20
Текст из файла (страница 20)
6.67. саге + с1г ' + ... -Ь с„. 6.68. е'= (а > 0). 6.69. г "ез". 6.70. ггег' — ез'. 6.71. еье — Зег 6.72. е11 Ок . 6.73. гбпг. 6.74. си г. 6.75. е' соз г. 6.76. соз 17т к 6.77*. ~ (пс — натуральное число). (2™ а)! н=о 1 6.78. е'*. 6.79. /е" й. о 6.80.
Целая функция 7'(г) имеет порядок р и тип а (О ( а ( со). Доказать, что функция Р(г)7" (г) + С„>(г), где Р(г) и Сг(г) — любые многочлены, имеет также порядок р и тип а. 6.81. Целые функции 71(г) и Яг) имеют порядки, соответстненно равные р1 и рг, причем р1 ф рг.
Что можно сказать о порндкс р' функций,Г1(г)71(г) и 1 1(г) + 7з(г) . 6.82. Целые функции 11(г) н 71(г) одного и того же порядка р имеют типы, соответственно равные а1 и аг, причем а1 ф аг. Что можно сказать о порядке р' и типе а* функций: 1) Л (г)зг(г); 2) Л (г) + 1г(г)7 11а Гм 17. Бесконечные произведения. Целые и мероморфные функции 6.83. Целые функции /1(з) и /з(з) имеют один и тот же порядок р и один и тот же тип о.. Что можно сказать о порндке р' и типе о' функций: 1) /1(з)/з(з); 2) /1(а) + /з(л)2 6.84*.
/(з) = Ц (1 — — 1~1, Лп > 0 (и = 1, 2, ...), 111п — = а > Лй)' Л„ п=1 > О, 11п1 — = Д < са. ДОКазатЬ, что /(з) — цеЛая фУнкЦия первого ~~~ Л порядка, причем тип о этой функции таков, что ха < о < я~3. ° и 2л 6.86. /(з) = Ц (1 — — 111, Лп > 0 (и = 1,2, ...), 2Л вЂ” натураль— „), и=-1 ное число. Доказать утверждения: и 1) если 1!т — = О, то /(з) — целая функция, растущая нс ~~~ Л быстрее, чем функцин порядка 1с и минимального типа; 2) если 1цп — = аа и Л вЂ”,, < аа, то /(з) — функция, растуииси Ли л Л'„ и=1 шая не медленнее, чем функция порндка Й и максимального типа. Указание. Воспользоваться методом решения предыдущей задачи.
6.86". Доказать, что порядок и тип целой функции не изменяются при дифференцировании функции. Решить задачи 6.87 — 6.94, основываясь на следующей теореме; если разложение целой функции в степенной ряд имеет внд /(з) = с„г", то порядок р и тип о этой функции определлются раи=о венствами р = 1пп, (1тер) Ри = 1пп и'1о фс„~). !и ~1/си|' ичио ( 6.87. Доказать, что целая функция /(.) =~ ' ("'), (А>о, >о) п=а имеет порядок р = 1/а и тип о = А11". У к а з а н и е. Воспользоваться формулой Стирлинга Г(аи+ 1) = ( — ) 1/2хаи (1+0( — )). В задачах 6.88-6.94 найти порядки и типы данных функций 6.88. /(з) = ~~ ( — ) . 6.89. /(г) = ~~~ ( — ) зп (о > О).
и=1 п=1 ГЛАВА У11 ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА И ШВАРЦА 2 1. Интегралы типа Коши Интеграл вида ~РЮйч 2яг,l ь — г с где С вЂ” гладкий контур') (замкнутый или незамкнутый) и ьс(~)— функция, непрерывная на контуре С, за исключением, быть может, конечного числа точек, где она имеет интегрируемый разрыв, называется интегралам пшпа Коши.
Функция д(~) называется его плат- 1 ностью, а — -- ядром. Интеграл типа Коши представляет функь' — г цию К(г), аналитическую в каждой области, не содержащей точек контура С. При этом Кбй(,) гй )' у'(ь)йь (1) 2пг ./ (ь — г)""' с 11усть р(Г) на контуре С удовлетворяет условию Липшица порядка а (О С о < 1) (коротко, Чз(~) Е Ь)р о), т, е. 1~Р((1) чз(ьг)! С ь ~~! ьг~ где точки (! и ьг принадлежат контуру С, а й — постоянная.
Тогда, если точка контура ~о не является его концом, существует сингулярный интеграл г(чо) = —. /— 1 Г !Л(~) г!Ь' 2яг' г' ь" — ье с определяемый как главное значение интеграла типа Коши. Это главное значение можно выразить через обычный несобственный интеграл по формуле г(ьо) = —./ г р(г) — у (О) 1, р(О) Ь вЂ” ~ сК+ —,з(~о) + —.
2 п —, (2) 2п! г' Ь вЂ” Ьо 2 2лз и — Ь'а с ) Под гладким контуром мы подразумеваем простую (т. е. без точек само- пересечения) линию с непрерывно меняющейся касатеяьной и не имеющую точек возврата. Впрочем, условии, наложенные на контур С, могут быть значительно расширены. Смл П ри валов И. И. Граничные свойства аналитических Функций.— 2-е изд.— Мл ГТТЛ, !950.— Гл. и!.
Можно также рассматривать сложные контуры, состоящие из конечного числа контуров указанного типе. б1. Интегралы тина Коши 121 где точки о и Ь вЂ” концы контура С, если он незамкнут. Однозначная ветвь Еп выбирается так, что в случае замкнутого контура (а = Ь) член с логарифмом исчезает, и формула принимает вид ~ у'(() — р((с) „ 1 2ггз 1 ( — (с 2 с (2') Если обозначить через Ге((о) и Г ((о) предельные значения интеграла типа Коши Г(г) при г -+ (о соответственно слева от С и сп ра ва от С, то по формулам Сохоцкого Г ((о) — Г((о) + р((п), Г ((о) — Г((п) р((о), (3) или Г((о) — — [Г ((о) + Г ((о)], Г ((о) — Г ((о) — ~р((о) (4) Если контур С замкнутый и порядок его обхода обычный, то Ге(() — предельные значения функции Г"(г), определенной внутри контура (область Рч'), а Г (() — функции Г (г), определенной вне контура (область Р ) д).
(См., например, (2, гл. 1П, 2 3] или ]3, гл. Ш, 2 3] ) 7.1. Доказать, что если С вЂ” замкнутый контур и плотность интеграла типа Коши Ф(г) = — ~ — Ы( может быть представлена 1 г 1о(() 2к1,/ ( — г с в виде ~р(() = ~р+(() + 1а ((), где 1он(() и ~р (() — граничные значения функций, аналитических соответственно внутри и вне контура С, то Ф ( ) =~'~(г) Ф (г) = — М' (г)+Ч' (оо) ) К атому же случаю относится и тот, когда контур — бесконечнан линия, делягина плоскость на две области.
Примечание. Если в условии задачи одна из функций ~р или ут тождественно равна нулю, то интеграл типа Коши обращается в интеграл Коши соответственно для внутренней или внешней областей, 7.2. Пусть С вЂ” замкнутый контур. Найти Г+(г) и Г (г), если плотность интеграла типа Коши — указанная функция (п — натуральное число): 1) 1а(() = (( — а)"; 2) 1а(() = (а внутри С); 3) <Р(() = (а вне С). 7.3.
Найти Г+(г) и Г (г), если: 1) функция чг(() — граничное значение функции, аналитической 122 Гл. 1П. Интегралы типе Коши. Интеграеьные формулы в Р+ всюду, за исключением конечного числа точек аь, где она имеет полюсы; 2) функция 1о((') — граничное значение функции, аналитической в 12 всюду, за исключением конечного числа точек аы где она имеет полюсы (среди ае может быть и точка з = со). Т.4.
Найти Г+(г) и Г (г), если ~ — 2 ~г + г~г — ~ + 41 à — З С" — ЗЬг — 4 (г — 4 иС вЂ” ру ..ЦтЗ/2. Т.б. Найти Р+(г) и Г (г), если ~р(() = стй~ и С вЂ” окружность Ц = 5. 7.6. Найти Г" (г) и Г (з), если уеЯ = и С вЂ” действиьг+ 1 тельная ось, пробегаемая слева направо. П р и м е ч а н и е. Под интегралом типа Коши, взятым по действительной оси Р(г) = — / — г1т следует понимать его главное Т р(т) 2нг,l т — г значение, если он в обычном смысле расходится. Т.Т.
Найти Г+(з) и Г (з), а также предельныезначения Р (~) на контуре интегрирования С, если С вЂ” окружность Ц = Л, ае а 1о(ь) = — + 2 (а„солнц+ Ь„а1пну) — равномерно сходящийся ряд 2 п=е Фурье действительной функции гу(В) = ~р(Ее'г). 7.8. 1) Пусть С вЂ” окружность ф = я/2 и /(~) — функция, аналитическая в круге Ц < я/2. Найти функции, определяемые интегралами 1 2н1Г/Яс б(~ — ) С з( ) 2н1/ ( — ) 1 М)К с с в областях, точки г которых обладают тем свойством, что ни одна из точек з + йх (й — целое число) не лежит на С. 2) Решить задачи, сформулированные в п.
1), в предположении, что С вЂ” окружность Ц = н. 7.9. Пусть С вЂ” отрезок [ — 1,Ц, пробегаемый слева направо, и 1о(ь): — 1. Найти Г(з) вне С, предельные значения Р~(~) и главное значение Р(~) на С. Вычислить, в частности, Р(Ы), Р~(0) и Г(0). 7.10. Пусть С вЂ” полуокружность Ц = В, 0 < агй~ < я (начало в точке Н) и у(г,): — 1.
Найти Р(з) вне С, предельные значения Р~(Ь) и главное значение РЯ на С. Вычислить, в частности, Р(0), Р~(гЛ) и Р(ъй). Найти также Р'(0). ой Интегралы типа Коши 123 7.11. Пусть С вЂ” полуокружность Ц = Л, — л < агй~ < 0 (начало в точке Л) и ~р(~) = 1. Найти Г(з) вне С, предельные значения Г~(ь) на С, Г(0) и Г'(0). 7.12. Пусть плотность интеграла типа Коши у(~) = 1/~". Найти Г(з) вне С, если контур С вЂ” указанная линия: 1) граница кольца г < ф < Л; 2) прямая 1ш ~ = л, пробегаемая слева направо; 3) граница полосы (1шз) < л; 4) полуокружность Ц = Л, 0 < агб~ < л (начало в точке Л); 5) полуокружность ф = Л, — л < агй~ < 0 (начало в точке Л).
В пп. 4) и 5) найти предельные значения Г*© на С и вычислить Г(0). В задачах 7.13-7.18 найти Г(з) вне С, предполагая, что контур С вЂ” дуга, соединяющая точки а и Ь, а д(~) — указанная функция. 7.13. ~р(~) = 1. 7.14. р(~) = ь. 7.15. 1) ~р(~) = ь"; 2) у(~) = ~~~ са(" — целая функция. 7.16 р(0 =, (ео ф С). 7.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
