1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В задачах 4.270-4.272, пользунсь теоремой задачи 4.269, найти области в пространстве коэффициентов о, Ь (т. е. в плоскости а, Ь), для которых все нули соответствующих функций лежат в левой полуплоскости, полагая, что т > О, а и Ь вЂ” действительные числа. 4.270. с+а+Ье ". 4.271. з~+аз+Ье "*. 4.272. з~+ (аз+ Ь)е ". 4.273. С помощью теоремы Руше доказать, что если функция щ = 1(з) в окРестпости точки зо имеет Разложение У(з) = що+се(с — зо) + ... (се ~ О, Ь ~> 1), то при достаточно малом т > 0 существует такое р > О, что любое значение ш ф шо из кружка ~еи — шо( < р принимаетсн в точности Й раз в кружке ~з — зо~ < г, и притом в различных точках.
4.274. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать, что аналитическая функция обладает свойством сохранения области. 4.275. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать для аналитической функции принцип максимума модуля. Доказать, что этот принцип справедлив для произвольных непрерывных отображений еи = 1(з), сохраняющих область. зоо Га 1Г Рнд Лорана. Особые точки однозначных аналитических функция 4.278.
Доказать, что если в условиях задачи 4.273 1с = 1, т. е. 1'(зо) За О, то функция 7(з) устанавливает взаимно однозначное и конформное соответствие между некоторой односвязной окрестностью точки зо и кружком )ю — юо~ С р. Указание. Рассмотреть в кружке ~в — шо~ ( р функцию з = =1 '( ). 4.277. Доказать, что если в условиях задачи 4.273 й > 1, то функция ш = 7(г) отображает взаимно одвозначно некоторую одно- связную окрестность точки зо на Й-листный круг с центром в точке шо 4.278. Распространить теоремы, доказанные в задачах 4.276- 4.277, на случай, когда точка зо является простым или кратным полюсом функции ((з). 4.279.
Доказать, что если разложение функции 7'(з) в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид 7( ) =Ао+ — + =+...+ — +..., А~ Ае Аь ее "' еь то некоторая окрестность бесконечно удаленной точки может быть взаимно однозначно и конформно отображена на однолистный круг, если А, ~ О, и на й-листный, если А~ = Аз = ... = Аь ~ —— 0 и Аь ~ О. Обращение рядов 4.280. Пусть Г(е) = з — а — ш7(з), причем функция 7'(з) аналитична в точке з = а.
Пользуясь теоремой Руше, доказать, что при достаточно малом (ш) существует круг К с центром в точке з = а, в котором функция Г( ) имеет только один нуль (простой). Показать также, что если г(а) ф О, то при соответствующем выборе значения и любал точка из некоторой онрестиости точки з = а может стать нулем функции г'(з). 4.281. Пусть з = з(ш) — однозначная функция, определенная при достаточно малом ~ш~ уравнением з — а — ш1(з) = О, функция 7"(з) аналитична в точке з = а и 7(а) ф О.
Доказать, что для всякой функции ф(з), аналитической в точке з = а, при достаточно малом )и) имеет место разложение = ф(о) + ~ ~— — (ф(о)(7(о))е) нац Указание. Если обозначить через С окружность круга К, в котором уравнение х — а — ш7'(з) = 0 имеет только один корень (см. задачу 4.280), то ф( ) г к) 1 — юР'(е) 2ка / Ь вЂ” а — вх'(Ь) с Разложить далее подынтегральную функцию в ряд по степеням щ и оценить остаточный член. дб. Раенреденение нулей.
Обращение радое 101 4.282. Пользуясь обозначениями предыдущей задачи, доказать н йе — 1 формулу Лагранжа Ф(з) = Ф(а) + ~~ф —, — „, (Ф'(а)[Да)["). н=! Получить отсюда, в частности, разложение самой функции з = = з(ю) в ряд Тейлора. Указание. Применить к функции Ф(з)[1 — ю~'(е)[ решение предыдущей задачи. 4.283.
Разложить в ряд по степеням ю каждую из ветвей функции з(ю), определенной уравнением ю = 2з+за (для одной ветви з(0) = О, для лругой з(0) = — 2). 4.284. Разложить в ряд по степеням ю ветвь функции з = з(ю), г — а определенной уравнением ю = 2, для которой з(0) = а. ег — 1 4.285. Исходя из определения полиномов Лежандра Р„(г), с по- 6 862 1 (см. задачу 3.108) доказать, что Р„(з) = — — [(з 1) "[. 2ндг йен У к а з а н и е. В условиях задачи 4.284 применить формулу Лагран- 1 г "ф-- фм! — 2 +Ы 4.286. ФУ « *=и ) 6 8 =6 равенством ю = зе "'. Разложить в ряд по степеням ю: 1) з(ю). 2) еьф(26) 4.287. Разложить по степеням ю функцию з = е(ги), определенную в окрестности точки ю = 0 уравнением Кеплера з — а = юагпз (а ф О,юн,ю2я, ...). 4.288*.
Определить радиус сходимости полученного в предыдущей задаче разложения з(ю) в случае, когда а = н/2. 4.289. Показать следующее обобщение теоремы Лагранжа. Пусть ,г(з) и 1е(з) — функции, аналитические в окрестности точки а, С— окружность с центром в точке а радиуса г такая, что во всех ее точках [ггДз) + гуур(з) [ ( т. Если Ф(ь) — аналитическая функция единственного корни уравнения з — а — сгр'(з) — бур(з) = О, то ФЮ = Ф(о)+~~6 и,", „,„, (Ф'(о)У(о)[ [фр(о)[ ), где суммирование распространено на все гв и п, кроме т = и = О. ГЛАВА У РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 3 1. Функциональные ряды В задачах 5.1 — 5.10 найти области сходимости данных рядов. 5.1. ~ ~ли+ — „). 5.2.
~ ( —, + — „). 5.3. ~ [ а=о п=о и=1 пп 00 п сп п=1 и=1 п=а п=о п и СЮ п 5.8. 1 —. 5.9. т — „. 5.10. 7 с ~1 зп хг 11+ з1и' ' ',~ ~(4+э)(4Ч з1) (4+ли)' п=1 п=о п=1 оп ОО и х т апз 5.11 . Доказать, что если ряд 1 ап сходится, то ряд 1 2 п=1 СО п=1 сходится всюду, где ф ~ 1; если же ряд ~ ап расходится, то п=1 сп сп аппп ряд т сходится в круге сходимостн ряда ~ апз и рас- 1 — гп п=1 п=1 ходится вне этого круга.
апзп 5.12. 1) Разложить в ряд по степеням г сумму ряда т и найти радиус сходимости полученного ряда. 2) Доказать, что при )з) ( 1 ~~~ 1а(п) — = „где 1 — зи (1 — г)1' и=1 Ч1(т1) — количество тех натуральных чисел, меньших и, которые взаимно просты с п. Указание. Воспользоваться известным в теории чисел соотношением ~ 1р(н) = т, где и пробегает значения всех делителей числа т, включая 1 и пт. 5.13. Разложить функцию 1,(з) = ~ — = ~ ~е'1" п (дзета-фуялп=! п=1 ция Римана) в ряд Тейлора в окрестности точки з = 2 и найти ра- у л.
Функциональные ряда 103 диус его сходимости. В задачах 5.14-5.17 найти суммы данных рядов ф~ ~ 1). 5.14. ~ ( „— и,). п=1 и 5.15. 7, . Указание. Умножить числитель и (1 еп)(1 пь1) ' п=1 знаменатель на (1 — л). Оп ь оо, -ь 5.16. ~~1 „. 5.17. ~ "=' П(' у=о 5.18. Доказать предложения: СЮ 1) для равномерной сходимости ряда ~1„(г) на множестве Е п=1 необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое число М = Х(е), что для всех и > Х, всех е б Е и любоп.~-р го натурального числа р выполнялось неравенство ~~ )ь(г)~ ( е; Ь=п-~-1 2) из равномерной сходимости ряда ~1 )(п(е)~ на множестве Е п=1 следует равномерная сходимость на этом же множестве ряда Ь-() п=1 5.19.
Найти множества, на которых равномерно сходятся данные последовательности: 1)( — „); 2)( и); 3)( — ). 5.20. Доказатьн для того чтобы последовательность непрерывных функций (1„(л)) равномерно сходилась на ограниченном замкнутом множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность сходилась во всех точках этого множества и чтобы она сходилась непрерывно во всех предельных точках множества Е, т.
е. чтобы для всякой последовательности точек яп, принадлежащих множеству Е и сходящихся к точке ло, 11пь 1„(лп) = 1(зо). В задачах 5.21 — 5.25 найти множества, на которых равномерно сходятсн данные ряды. 5.21. ~ — (еп+ —,). 5.22. ~~1 е п=1 п=о 104 Гл. К Различные функциональные ряды.
Интегралы от наральтера 5.23. ~~ Е * 1" и 5.24. ь С, и. и=1 и=! и 5.26. Доказать, что ряд ~ — равномерно сходится в замкнул ~пг п=1 том круге )г( < 1. Будет ли сходиться равномерно в круге (г) < 1 ряд, полученный почленным дифференцированием? ( 1)и 1 5.27. Доказать, что ряд Ъ вЂ” сходится равномерно в лю...+и и=1 бой конечной части плоскости, из которой удалены круги сколь угодно малого радиуса р с центрами в точках г = О, — 1, — 2, ... Доказать также, что этот ряд ни в одной точке не сходится абсолютно. юпг 5.28.
Доказать, что ряд ~ — сходится равномерно в интерваи ле ( — 1,0), а ряд 1 ~ — ~ в этом же интервале сходится, но.не рави ьа=1 и номерно. ~Таким образом, ряд ь — в интервале ( — 1,0) нельзя маи п=1 жорировать сходящимся числовым рядом.) П р и м е ч а н и е. Настоящий пример показывает, что д о с т а т о чный признак равномерной сходимости Вейерштрасса не является н е о б х о д и м ы м. 5.29. 1) Ряд 2, сходится абсолютно при ф ) О, )агйг( < (1 + гг) и п=о < я/4 (эти значения г не исчерпывают всей области абсолютной сходимости, которая, как легко видеть, состоит из точки г = 0 и внешности лемннскаты ~1+ г ~ = 1). Доказать, что ряд в указанной области сходится неравномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
