1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4.9. з~е'1' в окрестности точек з = 0 и з = оо. 4.10. е!!(! '1 в окрестности точек з = 1 и л = со. л~ — 4з 4.11. соа, в окрестности точки з = 2. (г — 2)! 1 4.12. гз а1п — в окрестности точки л = 1. з — 1 4.13. е"+!~' в области О < ф < со. 4 д Рад Лорана б) ., а=О; а)п(1/а)' 4) ссбз, з = оо; 5) 11) —, з = 0 1 7) 7 а=ос; 8))пз, з=О; 9)1п —, з=(ю; з 1 зга з — 3 ' 1 7 10) 1п'— , а= со; 11) за(ООеа'"'), 4.20. Выяснить, имеют ли указанные многозначные функции однозначные ветви, допускающие разложение в ряд Лорана (в частности, в ряд Тейлора) в окрестности данной точки: 1),7)з, ° = 0, :2),(7(л — 1), з = оо; 3) ', з = оо; (з — 1)(з — 2) ' ( — 1)( — 2)( — 8), * = , '8) '7*( — Т) 7) 2 8 2, = ° ; 8) 77* 2 7Р - 2, * = 8) /*822' — ), *=1; 18) 187— У з -(-1 11) Еп)(з — 1)(з — 2)), г = со; 12) Вп )(, г = со; (з — 7Нз — Ь) ' 13) Агса)п з, з = 0; 14) Агстб (1 + з), з = 0; 15) Ага1) (1 + з), з = 0; Ы)7772 — 8 1, *=1; П)17)1:8 Ог8 = '2)2.
4.21. Функция 7'(г) = 7 с„г", аналитическая в кольце т < а ОО < ф < гг, однолистно отображает это кольцо на некоторую область О. Доказать„ что площадь Я этой области равна п)~ )з(Дз 1 тза) 4) 6) 8,71+ Ч(з, э=1; 4.14. е1п з а1п — в области 0 < )з( < оо. 1 4.15. а1п — в окрестности точек з = 1 и з = со (в последнем 1 — з случае ограничиться четырьмя первыми членами ряда). 4.16. ссяз в окрестности точки з = 0 и в кольце я < Ц < 2я. г — а 4.17. 1п — в окрестности точки з = со. г — Ь 1 з — 2 4.18.
— )п —, в окрестности точки з = со и в кольце з — 2 а+2 1 < ф < 2. 4.19. Выяснить, допускают ли указанные функции разложение в ряд Лорана в окрестности данной точки: 1 1 1 1)соз —, а=О; 2)соэ —, з=оо; 3)аес —, а=1; з' з — 1' т4 Ря. ХК Ряд Лорана. Оаабыа тачки однозначных аназатичвских функций 2) Доказать, что формула для площади Я сохраняет свою силу и тогда, когда /(х) аналитична лишь в области г < ~х~ < В; при этом обе части равенства могут одновременно обращаться в со.
Указание. См. задачи 3.151 и 3.152. 4.22. Функция Г(х) однолистна в области ф > 1 и разлагается в этой области в ряд Лорана вида Т(х) = х+ — + — г + ... х хг Доказать, что п|с „! <1, п=г и выяснить геометрический смысл полученного неравенства (внешняя теорема плошадей). Указание.
Воспользоваться тем, что для площади Я„, ограниченной образом окружности ~х~ = г > 1, имеем ®х) = и+ го) гк 0<8,= / иНо= / — —,( — — — )Ицг. )г(=а о 2 2. Особые точки однозначных аналитических функций В задачах 4.23 — 4.58 найти особые точки функций, выяснить их характер и исследовать поведение функций на бесконечности '). 4.23. —. 4.24. —.
4.25.. 4.26. х з' ' '11+ з' '(1 х)г' ' 'х( Ч4)г' 4.2Т.. 4.28.. 4.29. хе '. 4.30. 1+ха е' ' е' — 1 х' 4.31, . 4.32.. 4.33, 4.34. 1Ь х. х(1 — е-')' 2+аз' зз(2 — сояз) 4.35. е г/' . 4.36. хегг'. 4.3Т. егг(' з~г. 4.38. е' Е'Дг Н 1 Сая Х 4.39.. 4.40. —. 4.41. — „. 4.42. ь8х. аз — 1 агп х хг 4.43. 18 х. 4.44. —. 4.45. ссбх — —. 4.46. с18х — —. 2 1 2 г х х 4.4Т.... 4.48..
4.49. я1п —. 1 1 1 агах — агпа сова+сова 1 — х 4.50. 4.51. сь8 —. 4.52. с18 — — —. 1 1 1 (хг — 4)г соя(1/(з — 2)) х 4.53. яш — + —. 4.54. е *соя —. 4.55. е'"Я('гз1. 1 1 1 г' х ) В ответах на дававтпн различив между устрвиимай особой тачиай и правильной. ах. Особые точки однозначных аналитических функция тз В задачах 4.59-4.68 исследовать поведение каждой из однозначных ветвей заданной многозначной функции в указанных точках (определить, является точка правильной для соответствующей ветви или особой; в последнем случае указать характер особенности).
4.59., х = 4. 4.60,, х = 1. 1+ ч/хх:3' ' ' ' ч/х+ 4~х' 4.61. 2х+3 1 х = 1. 4.62. соз —, х = 1. 1+ х — 2ч/х' 1+ /х' 4. 63. 1 х = 4. (2 + ч/х) з1п(2 — ч/х) ' 4.64. с18, х = (1+ — ), где к = ~1,~2,..., и х = 1. +,/; 4.65., х = „, где к = ~1,~2,..., 1 2(1 -~- Ьг) з1в (1+ / ) с ' (1+ кк)- "— 1' х — 2 и х=сс. 1 4.66.
зш, х = ос. х 1+ /: х — 2 4.67. 1), х=1; 2), х=1. 1 1 Ьох ' Епг ' ял сди 2с т 4.68, з1п(сгй ), х = 1. 4.69. Пусть Р„(х) и Яхо(х) — многочлены соответственно и-й и т-и степеней. Охарактеризовать поведение на бесконечности следующих функций: 1) Р„(х) + С) (х); 2) †" ; 3) Р„(х)Я (х). Ют(х) ' 4.70. Показать равносильность следующих двух определений: 1) точка хо называется полюсом порядка п функции /(х), если в лорановском разложении /(х) в окрестности хо /(Х) = ~~', Сн(Х вЂ” ХО) ~ С и Ф О~ С (он!) = С вЂ” (нч-2) = ... = О; 2) точка хо называется полюсом порлдка и функции /(х), если в некоторой окрестности этой точки /(х) = у(х)/(х — хо)", где функция 1о(х) аналитична и 1о(хо) ф О.
4.71. Построить примеры функций, имеющих в расширенной плоскости только следующие особенности: 1) полюс второго порядка на бесконечности; 2) полюс второго порядка в точке х = О с главной частью разложения с з/хз и простой полюс на бесконечности; 3) простые полюсы в точках хи = ы"', где ы = ез '/" (к = О, 1, 2, ... ..., п — 1). тб Рл. П«. Ркд Лорана. Особые точки однозначных аналитических функций 4.72. Найти общий вид функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: 1) один простой полюс; 2) один полюс поридка я; 3) полюс второго порядка в точке г = О с главной частью разлолсения 1?г~; 4) полюс порядка и в точке г = О и полюс порядка т на бесконечности; 5) и полюсов первого порядка. 4.73.
Пусть 1(г) — однозначная функция, не имеющая в области С других особенностей, кроме полюсов. Доказать, что функция (логарифмическая производная функции 1(г) — А) име- Г() ет простые полюсы во всех полюсах функции?(г) и во всех А-точках этой функции и не имеет никаких других особых точек.
4.74. Какую особенность имеет в точке г = го (допускается случай го = оо) функция Е(г) = ([Р(г)], если функция 1о(г) в этой точке аналитична или имеет полюс, а точка ~о = у(го) является для функции ?(~) особенностью следующего вида: 1) устранимой особой точкой; 2) полюсом порядка и; 3) существенно особой точкой? 4.75. Точка го (допускается случай го = оо) является изолированной особой точкой функции 1(г), отображающей дугу окружности (или прямолинейный отрезок) 7 на некоторую дугу окружности (или прямолинейный отрезок) 7'. Каков характер особенности функЦии 1(г) в точке го, симметРичной с «о относительно з (фУнкциЯ 1(г) пРодолжена чеРез 7 по пРинЦипУ сичметРии), если точка го Явлаетси для Т(г): 1) полюсом порядка и; 2) существенно особой точкой? 4.76.
Теорема Со«пико«о утверждает: если точка го является существенно особой для функции 1(г), то, каково бы ни было комплексное число А (включая А = оо), существует такая последовательность точек (г„), сходящаяся к точке го, что 1цп 1(г„) = А. Доказать, что теорема Сохоцкого остается справедливой для неизолированной особой точки, являющейся предельной для полюсовг). (Иногда такую точку просто причисляют к существенно особым.) 4.77.
Найти пределы: 1) 1пп с13 г; 2) 11щ . ; 3) 1цп †; 4) 1пп 2 . 1 . 1 . 1 уе*оо ' уехало в1п«' л->~со св«' л=о в1п(1/«) у-еп Не противоречит ли существование этих пределов теореме Сохоцкого? ) Предполагаетсл, что в окрестности рассматриваемой точки полюсы являются единственными особенностнми. аз. Вычисление еычелгов Теорема Пикара утверждает: в окрестности существенно особой точки аналитическая функция принимает бесконечно много раз венков конечное значение, зв исключением, быть может, одного, которое называется нинароесним исключительным значением.
Если рассматривать мероморфные функции, то возможное число исключительных значений (включая со ) не превосходит двух (см., например, (2, гл. Ъ'Ш, 2 8)), 4.78. Проверить теорему Пикара для функций: 1) е', 2) е'/', 3) соа-: 4) 18з; 5) 18гз. 1 Найти исключительные значения для каждой нз этих функций и показать, что эти значения (если они существуют) являются асимптотическими, т. е. что можно указать хотя бы одну линию, оканчивающуюся в существенно особой точке, вдоль которой функция стремится к исключительному значению.
3 3. Вычисление вычетов В задачах 4.79 — 4.99 требуетсн найти вычеты указанных функций относительно всех изолированных особых точек и относительно бесконечно удаленной точки (если она не явлнется предельной длн особых точек). 4.79. —,. 4.80. ' (гг + 1)г ' гч 1 4. 81. (1 Ч- г)о (и — натуральное число). 4.82. г(1 — гг) 4.83..
4.84.. 4.85.. 4.86. 18-. гг(г ц ' ' ' (г цг ' ' зг(ггЧ о)' 4.87. —. 4.88. с18гя 4.89. с18зз. яаг 4.90. 1) сое —; 2) засов —. 4.91. е'"'/'. 4.92. э1пззш з — 2' г — 2 г г 4.93. еш —. 4.94. соа . 4.95. (й ф О). г+1 г+3 ' г(1 — е "') 4.96. з" яп — (и — целое число).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
