1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Плоскость с разрезал~и по отрезку [-еее, 0] (се > 1) и по нижней половине единич- 6 ной окружности (рис. 2) отобразить на верхнюю полуплоскость, е-~а У к а з а н и е. Линейным преобразованием Рис. 3 сводитсн к задаче 2.131. 2.135. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезами по отрезку [ — 1,Ь] (Ь > — 1) и по дуге окружности с концами в точках е~е, проходящей через точку з = — 1 (рис. 3). е'а Гя.П.
Конбтормные оглображения 4б 2.136. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного круга с разрезами по отрезкам: (а, Ь1), (-Ьт', — а), (1, а], (-а, — Ц у (а > 1, Ь > 1). -141 1+а У к а з а н и е. Функция Жуковского отображает рассматриваемую область на область задачи 2.131. 2.137 . Отобразить на внешность единичного круга внешность "звезды", изображенной на рис. 4.
1 — 1 2.138 е. Отобразить на верх- нюю полуплоскость внутренность Рис. 4 правой ветви гиперболы, — —, = 1. х у соа о в1п'о 2.139. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность правой ветви гиперболы — „— —, = 1. х у' сова а в1ах а 2.140. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, заключенную между ветвями гиперболы — — — = 1. у е Ье Простейшие многолистные отображения В задачах 2.141 — 2.142 рассматриваются отображения, приводящие к многолистным областям (римановым поверхностям) з).
2.141. Найти области, получаемые при отображении с помощью фушсцни щ = дд: 1) части кольца гь < ф < гт, 0 < агат < я. + сг (О < а < х); 2) области )дт — ц < а (О < а < оо). 2.142. Найти области, получаемые при отображении с помощью 1г' 11 функции Жуковского щ = — ~д + -): 21. д) 1) круга )д! < Л (В> 1). Указание. Пелесообразно рассмотреть сначала отображение круга ф < 1 и кольца 1 < )д! < Я (см, задачу 2.107); 2)круга ~ — ~<В (0<В<ос). а) Здесь приведены лишь некоторые простейшие задачи такого рода.
Специааьно риманоаым поверхностям посвящен 12 га. Н1РД бб. Элементарные трансцендентные функции 47 В задачах 2.143-2.145 построить римановы поверхности указанных функций. 2.143. 1) и) = —; 2) и) = ~/хз — 1. )) с+1 2+ 1 2.)44. П = ' )ет)); 2) е 2.145. и) = КР— 1. 3 4. Элементарные трансцендентные функции Основные трансцендентные функции 2.146. Выяснить, во что преобразуются при отображении и) = е': 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) прямые у = йх + 5; 3) полоса а<у<,9 (0<а<В(2л); 4) полоса между прямыми у = х, у = х + 2х; 5) полуполоса х < О, 0 < у < а < 2)г; 6) полуполоса х > О, 0 < у < о < 2з-, ?) прямоугольник а < х < )8, 7 ( у < б (б — т < 2л).
2Л4?. Каков прообраз верхней полуплоскости при отображении хс и = (1 + -] ? Каков предельный прообраз верхней полуплоскости п при и -~ оо? 2.148. Выяснить, во что преобразуются при отображении и = = !пса 1) полярная сетка ]з] = А„агбз = д; 2) логарифмические спирали г = Ас"Р (А > 0); 3) угол 0 < агб з < а < 2л; 4) сектор ]х] < 1, 0 < агд з < а < 2п; 5) кольцо 71 < ]з] < гз с разрезом по отрезку ]гм гз].
Билоллрными координатами точки х = х+ 1у относительно полюсов ха (а > О) называются действительная и мнимая части функции о+с / и) = ~ + !г! = )п —. о — с о I 2.149. 1) Доказать, что функция т однолистно отображает всю з-плоскость с разрезами (-со, — а] и ]а, со) на полосу плоскости пс -л < 7! ( 1г, причем верхним берегам разреза соответствует прямая )? = = !и', а нижним )! = — )г (рис. 5). Рес.
Л 48 Г'л.И. Конформнне огяображвния 2) Установить справедливость соотношений аБЬв сьев+ совп' авгпц сЬс + сове' сЬ6 — сове хг+ уг =г= а Ряс. а 3) Доказать, что прооб- разами отрезков г, = (о, — и < и < я служат окружности Аполлония относительно точек ха: а (х — астЬ(о) + у = ( — ) вЬсо (прообразом отрезка ~ = О, — я < и < я служит ось ординат) (рис.
6). 4) Доказать, что прообразами линий и = г1о служат дуги окружностей, проходящих через точки ха, г ( а х + (у+ асгвпо) = ( —. ~в!пгя лежащие в верхней полуплоскости при по > 0 и в нижней при по < О. Линии и = 0 соответствует отрезок ( — а, а). Дуги, соответствующие значениям гг = по н 0 = Чо — и (Ло > 0), дополняют друг друга до полной окружнос* ти (рис. 7). 5) Найти величины отрезков 5 (рис. 6) и 1 (рис. 7).
Примечание. Построенная таким образом координатная сетка г-плоскости называется биполярной сеткой. 2.150. Выяснить, во что преобразуются при отображении го = сов г: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полуполоса 0 < х < я, у < 0; 3) полуполоса 0 < х < и/2, у > О, 4) полуяолоса — я/2 < х < я/2, у > 0; 5) полоса 0 < х < гг; 6) прямоугольник 0 < х < я, — А < у < Ь (Ь > 0). 2.151.
Выяснить, во что преобразуются при отображении иг = агсвгп в: 1) верхняя полуплоскостгя 94. Элементарные трансцендентные функции 49 2) плоскость с разрезами по действительной оси вдоль лучей ( — оо,-Ц, [1,оо); 3) 1-й квадрант; 4) полуплоскость х <,0 с разрезом по действительной оси вдоль луча (-оо, -1]. 2.152. Выяснить, во что преобразуются при отображении в = = сЬг: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полоса 0 < у < к; 3) полуполоса х > О, 0 < у < я.
2.153. Выяснить, во что преобразуются при отображении т = = АтаЬьч 1) плоскость с разрезами по мнимой оси вдоль лучей 1 < у < оо и-со<у<-1; 2) первый квадрант. 2.154. Выяснить, во что преобразуются при отображении в = = 18з: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полуполоса 0<х<х, у>0; 3) полоса 0<х<к; 4) полоса 0 < х < к/4; 5) полоса х/4 < х < к/4.
2.155. Выяснить, во что преобразуются при отображении ш = = сспьч 1) полоса 0 < у < к; 2) полуполоса 0 < у < я, х > О. Отображения, приводящиеся к отображениям полос и полуполос В задачах 2.155 — 2.163 отобразить указанные области на верхнюю полуплоскость. 2.156. Полосу, ограниченную прямыми у = х, у = х + А.
2.157. Полуполосу х < 1, 0 < у < 6. 2.158. Круговую луночку, ограниченную окружностями ~з~ = 2, )г — Ц=1. 2.159. Область, ограниченную окружностями )з( = 2, (з — 3( = 1 (плоскость с выкинутыми кругами). 2.160. Область, определенную неравенствами (з — 1) > 1, ~з+ 1! > 1, 1птг > 0 (верхняя полуплоскость с выкинутыми полукругами).
2.161. Область, заключенную между софокусными параболами у~ = 4(х+ 1), у~ = 8(х+ 2). Указание. См. задачу 2.80, 2). 2.162. Найти функцию щ(х), отображающую область, ограниченную окружностью ~з~ = 1 и прямой 1щз = 1 (~олуплоскость 1п1 < 1 4 Л.И. Волковыския н др, 50 Рл. 11. Конформные отапрагненил с выкинутым кругом): 1) на круг )ю( < 1 с нормировкой ю( — Зг) = О, атбю'( — Зг) =я/3; 2) на круг )ю! < 1 с нормировкой ю( — Зг) =, ага ю'( — Зг) = —; 3) на верхнюю полуплоскость с нормировкой ю( — Зг) = 1+г', агяю'( — Зг) = я. Применение принципа симметрии 2.163.
Отобразить на верхнюю полуплоскостгк 1) полосу 0 < х < 1 с разрезом вдоль луча х = 1/2, Ь < у < оо; 2) полосу 0 < х <1 с разрезами вдоль лучей х = 1/2, Ьг < у < со и х = 1/2, — оо < у ( Ьг (Ьг < Ьг). Указание. Сначала отобразить полосу 0 < х < 1/2 на верхнюю полуплоскость. Отображающая функция будет, в соответствии с принципом симметрии, отображать заданную область на всю плоскость с некоторым разрезом.
В задачах 2.164 †.174 отобразить на верхнюю полуплоскость указанные области. 2.164. Полосу 0 < х < 1 с разрезом вдоль отрезка 0 ( х ( Ь, у = =О (Ь<1). 2.165. Полосу 0 < х < 1 с разрезами вдоль отрезков О ( х ( Ьы у=О и 1 — Ьг<х<1, у=О (Ьг+Ьг<1). 2.166. Полуполосу 0 <х < я, у>0 с разрезом вдоль отрезка х= =я/2, 0<у<Ь. 2.167. Полуполосу 0 < х < х, у > 0 с разрезом вдоль луча х = =я/2, Ь<у<оо(Ь>0). 2.168. Полуполосу 0 < х < я, у > 0 с разрезами вдоль отрезка х=л/2, 0<у<Ьг ивдольлуча х=л/2, Ьг(у<ос (Ьг>Ьг).
2 169. Область, ограниченную окружностями ~» — Ц =1, (»+ Ц = = 1, с разрезом по лучу 2 < х < со, у = О. 2.170. Область, ограниченную окружностями (» — Ц = 1, (» — 2) = = 2, с разрезом вдоль отрезка у = 0„2 < х < а (а < 4). 2.171. Область, ограниченную окружностями (» — Ц = 1, )» — 2~ = =2,сразрезамивдольотрезков у=О, 2<х<а и у=О, Ь<х<4 (а < Ь). 2.172. Область, ограниченную мнимой осью и окружностью ~»вЂ” — Ц = 1, с разрезами вдоль отрезка у = О, 2 < х < а и вдоль луча у = О, Ь < х < со (а ( Ь). 2.173. Область, ограниченную окружностями )» — Ц = 1, )» + Ц = =1,сразрезомпоотрезку х=О, — а<у<6 (и>0, 6>0). 2.174.
Область )» — Ц > 1, )»+ Ц > 1, 1пг» > 0 (верхняя полу- плоскость с выкинутыми полукругами) с разрезом по отрезку х = О, 0 < у < Ь. 94. Эаелгентарные трансцендентные франции 2.175. Отобразить внутренность параболы уз = 4аз(х+ ггз) на верхнюю полуплоскость и на единичный круг.
Указан ие. Провести разрез по оси симметрии параболы, отобразить верхнюю половину параболы (с помощью функции т/з) на Рис. В полуполосу, а затем па полуплоскость и воспользоваться принципом симметрии. 2.176~. Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезкам О < у < а, х = л/2+Ах (й = О,х1,х2,х...) на верхнюю полуплоскость (рис. 8). 2.177.
Плоскость с параллельными разрезами — а < х < а, у = = и/2+ йх (й = О., х1, х2, ...) отобразить на плоскость с разрезами по отрезкам действительной оси [/сх — 6, йя + с] (й = О, х1, х2, ...; О < Ь < < я/2). Указание. Провести дополнительный разрез по мнимой оси, одну из образовавшихся областей отобразить на верхнюю полуплоскость и воспользоваться принципом симметрии. 2.178.
Отобразить плоскость с разрезами по лучам ( — со, — л/2[, Рис. 9 [а/2,+со) и по отрезкам — а < у < а, х = х/2+ йх (В = О, х1, т2, ...) на внешность единичного круга (рис. 9). У к а з а н и е. Функция, дающая решение задачи 2.176, отображает заданную область на плоскость с разрезами по лучам ( 1 ~ ) 1 [ [ 1 — со,— 1, [,+ ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
