1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Интегрировать функцию 7(г) = е'* по границе сектора О < ]г] < П, О < агй г < и/4 и воспользоваться результатом задачи 3.17, 1) (положить гз = ~). гвшх л 3.25. Доказать, что 1г — Нх = — (интеграл Дирихле). 2 о Указание. Интегрировать функцию 1(г) = е"/г по границе области г < ]г] < В, О < агах < л и воспользоваться результатами задач 3.1б и 3.17. 3.26.
Доказать, что при О < е < 1 справедливы равенства: з) Контур называется звездным относнтааино некотороа точки, асан каждый яуч, выходящий из атой точки, встречает контур в одной точке. уЯ, Интегральная формула Коши 59 1) /х' 'совх~Ь = Г(в)сов —; 2) гхл ~в1пхдх = Г(в)в!и ев. о о Указание. Интегрировать функцию г'(«) = «' 'е "по границе области г < ~«~ < В, -я/2 < агя«( О; воспользоваться результатами задач 3.16, 2) и 3.17, 1) и интегральным представлением Г-функции: Г(т) = /х е *ГГх. о 2 3. Интегральная формула Коши Всюду в задачах этого параграфа С означает простой замкнутый спрямляемый контур. 3.27. Вычислить интеграл ~ —, если: г Ф l '+у' с 1) точка Зъ лежит внутри контура С, а точка — 31 — вне его; 2) точка — 31 лежит внутри контура С, а точка 31 — вне его; 3) точки АЗ? лежат внутри контура С. 3.28. Вычислить все возможные значения интеграла ~ К« «(«е — 1) с при различных положениях контура С.
Предполагается, что контур С не проходит ни через одну из точек О, 1 и — 1. 3.29. Какое число различных значений может принимать интегг а« рал Г, где ш„(«) = (« — «ън« вЂ” ««)...(« — «„) («; ф «.) н кон/ ш„(«) ' И 1 с тур С не проходит ни через одну из точек «;? «О« 3.30. Вычислить интеграл Г, а ) 1. «" — 1' (ъ-а)=а 1 Г еъН« 3.31. Вычислить интеграл †.г „ если контур С содер2я1 / «ы + а'' с жит внутри себя круг )«~ < а.
1 Г «е*г1« 3.32. Вычислить интеграл — ~ , если точка а лежит 2,. /1 а)з' внутри контура С. с У к а з а н и е. Воспользоваться формулами для производных интеграла Коши. 1 г е'Н« 3.33. Вычислить интеграл — ~, если: ж/ р-)' с 1) точка О лежит внутри, а точка 1 — вне контура С; бо Гл. Ш. Интегралы и гл|еяенныг ряды 2) точка 1 лежит внутри, а точка Π— вне контура С; 3) точки О и 1 обе лежат внутри контура С.
3.34. Функция г'(») аналитическая в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, содержащим внутри себя начало координат. Доказать, что при любом выборе ветви 1 и» вЂ” / гг~(») Ьп» г(» = гг(»о) — гг(О), с где»о — начальная точка интегрирования. У к а з а н и е. Интегрировать по частям.
3.35. Вычислить интеграл — ~ » Ьп — О», если Ьпа = 1па »+1 2яг,/ » — 1 С для а > О, и контур С. 1) окружность ~»~ = 2; 2) окружность )» — Ц = 1 и начальная точка интегрировании » = 1+г. 3,36. Согласно теореме Лиувилля, функция г'(»), аналитическан и ограниченная во всей плоскости, является постоянной.
Доказать эту теорему, вычислив интеграл (' (~а! < Л,)6~ < )т) г(») д» (» — а)(» — Ь) /г)=я и произведя его оценку при Л -г оо. 3.37. Пусть 1'(») аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром С; »ы »г,...,»„ — различные произвольные точки внутри С и ш„(») = (» — »1)(» — »г)...(» — »„). Показать, что интеграл 1 г ~К) -.«)--.(»),~ 2я1 / ыа(ь) С есть многочлен (и — 1)-й степени, совпадающий с,г(») в точках»г, »г, ..., »„(многочлен Р(») называется иигперполяциоиным многочленом Лагранжа.) 3.38. Доказать следующую теорему (формула Коши для бесконечной области).
Пусть С вЂ” простой замкнутый контур, ограничивающий конечную область Р. Функция 1(») аналитична во внешности области Р и 1пп Д») = А. Тогда г-+со - ((») + А, если точка» принадлежит внешности области Р, А, если точка » принадлежит области Р.
Контур С обходится в положительном направлении относительно области Р. Указание. Сначала рассмотреть случай А = О. д4. Степенные ряды 3.39. Пусть функция 1(х) и контур С удовлетворяют условиям предыдущей задачи. Доказать, что если начало координат принадлежит области Р, то 1 )' У(~) ( О, если »ЕР, 2е1,/ ~» — (и ~ '(1(х)/х, если х ф Р.
с Ь 4. Степенные ряды Отыскание радиуса сходимости В задачах 3.40-3.51 определить радиусы сходимости рядов. пе пп ОЭ пю 3.40. ) †. 3.41. ~ †,. 3.42. 3 3ипх". 3.43. ~~! †х". «=1 п=е п=! «=1 3.44. ~~! — „' х". 3.45. ~«х"'. 3.46. ~ ~2«хп'. 3.47. ~~ и=! п=о «=0 п=е 3.48, ~~! (3+( — 1)")"х". 3.49. ~сох!и х". 3.50. ~~ (и+а«)х". «=О п=е а (а + 1)...
(а + и — 1) !3(33 + 1)... (33 + и — 1) и!,(,+1)...(,+и 1) «=1 3.52. Радиус сходимости ряда ~ ~сиз« равен 3? (О < Л < оо). п=е Определить радиусы сходимости рядов: 1)~ и спх"; 2) р (2« — 1)спх"; 3)~ — ",х"; 4)~) и«с«»"; п=о «=О п=о п=1 5)~~! с~х"; 6)~(1+»О)спх". п=е «=О 3.53. Радиусы сходимости рядов ~ а«»« и ~~ Ьпхп равны соотп=е «=О ветственно г! и тх, Что можно сказать о радиусах сходимости рядов: 1) ~ ~(ап ~ Ьп)х"; 2) ~ а«Ь«х"; 3) ~~3 — пхп? «=О «=О п=е 3.54. Просуммировать при ф < 1 следующие ряды: «О п 1«Е! ОО 1)~~ их"; 2) 3 —; 3)~~! ~~; 4)~~! ( — 1)«+'— «=1 «=1 «=о «=1 Гл.
1П. Интегралы и степенные ряда Поведение на границе круга сходимости В задачах 3.55-3.61 исследовать поведение степенного ряда на гра- нице круга сходимости. с« сс «с 3.55. ~~г г". 3.56. ~~г —. 3.57. ~~ «=О п=1 =1 цп Еп 3.58 ~~ г". 3.59. ~~ — (р — натуральное число). =1 «=1 3.60. ~ ( ) гзп '. 3.61. ~~ 1пп 111 ' Вторая теорема Абеля Согласно второй теореме Абеля, если ряд ~с„сходится, то п=О 1пп ~~~ с«ге = ~~~ сп (О < г < 1). 3.62. Показать, что теорема„обратная второй теореме Абеля, не имеет места, т.
е. привести пример расходящегося ряда ~ ~сп, для «=О которого существует предел 1пп г спг". ,,1- п=о 3.63. Пользуясь второй теоремой Абеля и решением задачи 3.54, доказать следующие равенства: 1) ~ — '~ = — 1п (2 агп ~ ! (О < ! р( < гг); п=1 2) ~~г = (0<1О<2я); «=1 3) ~ ( ~ = — 1п)сьб~~~ (О</ф<я); «=О ~у» ьда(2п+1)Гс я 2п+1 4 «=О 5) ~ ~( — 1)п'"1 — = 1п(2а1п-) ( — гг < гр < гг); «=1 2 «=1 лб. Ряд Тейлора 1)~~/Щ и 3.64*. Доказать, что ряд ~~~ сходится неабсолютно и=1 во всех точках границы круга сходимости. Указание.
Если г = 1, то разбить ряд на группы слагаемых одного знака и показать, что эти группы удовлетворяют условиям признака Лейбница для знакочередующихся рядов. Если ]з] = 1 и з ~ 1, то воспользоваться теоремой из задачи 1.90, положив ап = [ — 1)[ гл)з", Ьп = 1/п. 3.65. Доказать, что если последовательность действительных положительных чисел (а„) монотонно стремится к нулю и радиус сходимости РЯда ~ аплп Равен 1, то этот РЯд сходитсЯ всюдУ на окРУжп=е ности ]я] = 1, исключая, быть может, точку я = 1.
Указание. Воспользоваться признаком сходимости Дирихле [см, задачу 1.88). 3,66. Доказать, что если ряд ~~~ спгп сходится в точке ~ = Ве'е на п=а окружности круга сходимости, то он сходится равномерно во всякой замкнутой области С, принадлежащей кругу сходимости, лежащей в угле между какими-нибудь двуми хордами окружности ]г] = й, выходящими из точки ~, и не содержащей никаких точек окружности [з] = 77, кроме точки ~. Примечание.
Это утверждение является более общей формой второй теоремы Абеля (см., например, [2, гл. П1, З 7]). 3 5. Ряд Тейлора Разложение функций в рнд Тейлора В задачах 3.67-3.81 указанные функции разложить в степенной Ряд ~ сп=" и найти радиус сходимости. п=о 3.67. сЬг. 3.68. зЬг. 3.69. а1п~з. 3.70. сЬгг. 3.71. [а+ -)е [ае = е'"'""). З.Т2. ~lз+г' (~/г = — 1. ~/2 / 3.73. (Ь ф 0). З.Т4..
3.75. аз+ Ь г 4 +13' ' '( +Цг' З.Т6. 1и —. 3.77. Агсь8л (Агсь80 = 0). 1+я 1 — я 3.78. АгаЬл [АгаЬО = О). З.Т9. 1п [зг — Зл+ 2) бй. Р атеа р 55 3.101. Доказать, что все числа Бернулли с нечетными индексами, кроме В„равны нулю. (- ) У к а за н не. Воспользоваться тождеством — з. ел — 1 е' — 1 3.102. Разложить в ряд по степеням з функцию зстйз и найти радиус сходимости полученного ряда. Указание. Воспользоваться вытекающим из формул Эйлера равенством з стй г = ье + 2зз/(ещл — 1).
3.103. Разложить данные функции в ряды по степеням з и найти радиусы сходимости полученных рядов: 1) )п —; 2) 13г; 3) !псозщ 4)— Л ешз 3.104. Доказать, что коэффициенты с„разложения 1 = ~с„ю" 1..- сг =о удовлетворяют соотношению с„= с„~ + с„з (и ) 2). Найти с„н радиус сходимостн ряда. Примечание. Числа с„называются числожи Фийоначчи. 3.103. В разложении,, = ~~~ с„з" (о ~ О) найти А+ Вг+ Сз' о+ Дз+ те + да и=о со, сы сз, а также рекуррентпае соотношение между с„, с„„с„з, с„з (и > 3).
Производящие функции систем многочленов Если в некотором круге ф < Л имеет место разложение '(' з) = Е ~-(з)'" а=о то функция Г(т,з) называешься производящей функцией для последовательности (Г„(г)). Часто некоторые свойства последовательности функций (,Г„(з)) удается доказать, опираясь на свойства ее производящей функции. 3.106. Полиномы Бернулли у„(з) определяются разложением е" — 1 ч Фп(е) и е~ — 1 ~-~ и! =о Доказать следующие их свойства: 1) 1зо(л + 1) 1зе(з) пе 2) если т — натуральное число, то ~"+~ 1+ 2е + 3е + + (~п 1)е.
и+1 5 Л.н. Волковыскиа и Лр, 45. Ряо Тейлора бт Найти производящую функцию для последовательности (Ь„(г)) и с ее помощью получить рекуррентную формулу, связывающую ь„4(г), ь„(г) и е„+2(г). П р и меч а н ие. В задачах 3.107 — 3.111 рассмотрены лишь некоторые частные свойства указанных систем полиномов. О других важнейших их свойствах, играющих большую роль при решении различных задач математической физики, см., например, [3, гл.
УП, 2 2) или: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — Мл Гостехиздат, 1951. — Т. 1, гл. П, ЧП. Решение дифференциальных уравнений В задачах 3.112 — 3.114 найти решения данных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие условиям щ(0) = О, ш'(0) = 1. я 2 3 2 4 3.113. (1 — 22)шо — 224о'+ п(п + 1)4о = О. 3 114 (1 — 22)4оо — 424о' — 24о = 0 3.115. Разложить в ряд вида ~ с„г" функцию соз(птагсз1пг) =е (агсз1пО = 0), составив дифференциальное уравнение, одним из решений которого является эта функция. 3.116.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
