1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.67. Пусть Т; — линейные преобразования: Доказать следующие утверждения: 1) Т = ТьТг — линейное преобразование с определителем Ь = = Ь|Ьз,. 2) произведение преобразований ассоциативно, т. е. (ТВТ2)Т1 = Тз(ТзТь)~ 3) каждое преобразование Т; имеет обратное Т,. ', т, е. Т;Т, ' = Т, 'Т; = Х, где Х(г) = — г — тождественное преобразование; 4) произведение преобразований, вообще говоря, некоммутативно (привести примеры). 2.68. Доказать, что преобразования 1 1 г — 1 Ть = г, Тз = -, Тз = 1 — г~ Тл = , Ть — > Ть— 1 — л' г — 1 образуют группу (группа акгармокическик отношений).
2.69. Доказать, что множество линейных преобразований, заключающихся в повороте плоскости вокруг начала координат на углы, кратные а, образует циклическую группу. В каком случае эта группа будет состоять из конечного числа преобразований? ря, допоенитееьные вопросы теории еинейныв преобразований 37 2.70. 1) Доказать, что множество преобразований вида ш = аз+ Ь = —, где а, 6, си д — целые действительные числа и ад — 6с= 1, сх+д образует группу (эта группа называется модузяркой). 2) Доказать, что если а, 6, с и д считать целыми комплексными числами (т.
е. числами вида гп+ из, где пз и и — целые действительные числа), удовлетворяющими условию ад — Ьс = 1, то множество преобразований из и. 1) также образует группу (группа Пикара). 2.71. Найти фундаментальные области для групп, порождаемых преобразованиями: 1) 7(з) = ез'Ппз (и — натуральное число); 2) Тз(е) = езец"з, Тз(з) = †; 3) 7(е) = з + ш; 4) Тз(з) = з +ш, Тз(з) = -з; 5) Тз(е) = з + шы Тв(е) = е + «зз (1ш †' ф О) (двоякопериодическая «и группа); б) Тз(з) = 3 + «з1, 72(з) = з + ш2 Тз(е) = — 3; 7) Тз(з) = е + «з, Тг(е) = зз; 8) Тз(з) = з+«з Тз(з) езсцзз. 9) Тз(г) = з+ «з, Тз(е) = ез"рвз. 2.72.
Найти группы линейных преобразований, соответствующих при стереографической проекции вращению сферы: Ц вокруг вертикального диаметра; 2) вокруг диаметра, параллельного действительной оси; 3) вокруг диаметра, параллельного мнимой оси; 4) вокруг диаметра, стереографическая проекция одного из концов которого есть точка а. Указание. Если ем зз — образы диаметрально противоположных точек на сфере, то гздз = -1 (см, задачу 1,49).
2.73. 1) Доказать, что группа линейных преобразований, соответствуюШих врашению сферы и переводящих точки со стереографическими проекцинмн а и 6 друг в друга, определяетсн соотношением из — Ь е — а = еза 1 + Ьзо 1 + аз )дз( 2) Доказать, что дифференциал сЬ = инвариантен отно- 1«-~еР сительно преобразований этой группы и представляет сферическую длину элемента дуги де (т. е. длину образа этого элемента на сфере). Га. 11. Конформные етпопранеения 38 Линейные преобразования и геометрия Лобачевского При интерпретации геометрии Лобачевского в единичном круге ~з~ < 1 роль прямых играют лежащие в этом круге дуги окружностей, ортогональных к единичной окружности; роль движения— линейные преобразования единичного круга на самого себя, роль рас- 1 стояния между точками зг и зз — величина р(зызз) = — 1и (о„9, зз, зз) 2 где о и Д вЂ” точки пересечения "прямой", проходящей через точки з~ и зз, с единичной окружностью (порядок точек таков: а, зз, зз, р), а (а, ~3, зз, з~) — ангармоническое отношение указанных точек.
Углы измеряются так же, как в евклидовой геометрии (см., например, (2, гл. П, 24)). 2.74. Доказать, что р(ем аз) ) О, если зз ф зз и р(з, з) = О. 2.75. Доказать, что р(зз,зз) < р(зызз) + р(зз, зз), причем знак равенства надо брать тогда и только тогда, когда точка зз лежит на "отрезке", соединяющем точки з~ и зз. 2.76. Доказать, что если одна из точек з~ и зз стремится к точке единичной окружности (или обе они — к различным точкам единичной окружности), то неевклидова длина р(гысз) стремится к бесконечности (т.
е. точки единичной окружности соответствуют бесконечно удаленным точкам неевклидовой плоскости). ~ее( 2.77. Доказать, что дифференциал 4е = (ф < 1) инва- ~зР риантен относительно группы линейных преобразований, переводящих круг )е~ < 1 на себя, и представляет неевклидову длину элемента дуги Из. Указание.
Написать общую форму преобразования круга ф < 1 на себя, переводящего точку а в точку Ь ((а) < 1, )Ь| < 1). 2.78. Указать способы построения следующих линий: 1) пучка "прямых", проходящих через точку зо,. 2) "прямой", проходящей через точки з~ и зз, 3) эквидистанты "прямой" (геометрнческого места точек, "равно- удаленных" от данной "прямой"); 4) предельных линий (линий, ортогональных к пучку "параллельных прямых"). 2.79. 1) Доказать, что для "прямолинейного" треугольника с углами ды ~оз, ~рз имеет место неравенство у1+ ~рз + (рз < я.
2) Доказать, что "прямолинейный" треугольник с точностью до "движения" определяется своими углами уы уз уз. Построить "прямолинейный" треугольник по его углам. 98. рациональные и алгебраические функции 39 9 3. Рациональные и алгебраические функции Общее отображение круга или полуплоскости на односвязную область ю-плоскости имеет вид ю = цг[1(д)], где ~с(з) — частное отображение, а 1 — произвольное дробно-линейное отображение круга или полуплоскости на себя (обратное отображение имеет вид г =1[Ю(ю)]). Это замечание необходимо иметь в виду при нахождении нормированного отображения, т.
е. отображения, удовлетворяющего определенным дополнительныгн условиям. Если условия нормировки не даны, то в ответе обычно указывается одна из отображающих функций. При фактическом построении конформных отображений важную роль играют некоторые общие принципы (см., например, [1, гл. 1Х, и. 5 и гл. Х, и. 7] или [3, гл. П, 91 и 93]).
Принцип симметрии Римана-Шварца Пусть граница области Рь содержит дугу окружности С (в частности, прямолинейный отрезок), и пусть функция ю = ~г(г) реализует конформное отображение этой области на область Р,* такое, что дуга С переходит опять в дугу окружности или прямолинейный отрезок С*. Тогда функция ?г(г), принимающая в точках, симметричных относительно С, значения, симметричные значениям ?г(г) относительно С" '), будет аналитической в области Вг, симметричной с областью Рь относительно С и будет отображать ее на область Рг, симметричную с Р» относительно С . Функция 1ь(г) в ю = ?г(г) = ?г(г) нв Уг(г) в Ры С, Р', Рь + С+ Рг на область реализует конформное отображение области Р*+ С*+.0*г) ) Если С н С* — отрезки действнтельных осей (к этому всегда можно прнйтн, совершив дополнительные дробно-лннейные првобрвзоввння), то уг(л) = П(г). г) Отобрвженке будет взаимна однозначным, вали области О~ н х?г, в также г?з н Р» не пересекаются.
Принцип соответствия границ Пусть В и Р* — односвязные области с границами С и С*, причем область Р* расположена целиком в конечной части плоскости. Если функция ю = ?(г) аналитична в Р, непрерывна в Р и осуществляет взаимно однозначное отображение С на Се с сохранением направления обхода, то она осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение области Р на Р*. При решении задач этого и следующего параграфов в случаях, когда отображение осуществляется ветвью многозначной функции, рекомендуется проследить за соответствием точек на границах отоб- 40 Г*.В. Конформнеев отооралеения ражаемой области и ее образа (это относится в особенности к зада- чам на отображение областей с разрезами).
2.80. При помощи функции ю = зз и ей обратной найти конформное отображение следующих областей: 1) внутренности правой ветви равнобочной гиперболы хз — рз = аз на верхнюю полуплоскость; 2) внешности параболы рз = 2рх, р > 0 (т. е. области, ограниченной етой параболой и не содержащей ее фокуса) на верхнюю полуплоскость. Примечание.
Об отображении областей, ограниченных кривыми второго порядка, см. также задачи 2.110, 2.111, 2.136 — 2.140, 2.175. 2.81. При помощи функций, указанных в предыдущей задаче, отобразить: 1) внутренность окружности г = асоз~р (о > 0) на внутренность 1 кардиоиды р = — (1+ сов 0); 2) внутренность той же окружности на внутренность правой ветви лемнискаты р = ~/сов 28; 3) круг ф < 1 на внутренность кардиоиды р = А(1+ созд), А > О, так, чтобы ю(0) = А/8, ю'(0) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
