1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.71. Вычислитзк 1) 1 п 4, 1,п (- 1), 1~ (- 1); 2) 1,п Ь 1п 1; 3) Ьп =; 4) Ьп (2 — 3!), Ьп ( — 2+ 31). 1 т! ~/2 1.72. Найти ошибку в рассуждениях, приводящих к парадоксу И. Бернулли: ( — г)г = гг, позтому 2Ьп( — г) = 21.пг, следовательно, 1,п( — г) = 1,пг. 1.73. Первоначальное значение 1гпз'(г) при г = 2 принято равным нулю. Точка г делает один полный оборот против часовой стрелки по окружности с центром в точке г = 0 и возвращается в точку г = 2.
Считая, что г(г) изменяется непрерывно при движении точки г, указать значение 1пт1(г) после указанного оборота, если: 1) з(г) = 2Ьпг; 2) з(г) = Ьп-; 3) Дг) =Ьпз — Ьп(а+1); 4) У(г) =Ьпл+Ьп(г+1). 1ч Гя. й Комплексные числа и функции комплексного переменного По определению для любых комплексных чисел о ф 0 и ст а = ехр(оЬпа), или, если под е' по-прежнему') понимать ехрг, то а = е '"'. 1.74. Найти все значения следующих степеней: 1) 1'Гг.
2) ( 2)"1. 3) 2. 4) 1- . 5) 11 6) ( — ); 7) (3 — 41)1+', 8) ( — 3+ 41)'м'. чг2 1.75. Показать, что в случае рационального показателл степени (ст = гл/и) общее определение степени з совпадает с обычным определением: го1'и ( 7 )т (см. также задачу 1.6). 1.76. Совпадают ли множества значений аз, (о")2, (аз)"? По определению, равенство щ = Агссоаз эквивалентно равенству г = созщ, Аналогично определяются функции Агса)пл, Агсгбг, Агсссбг и обратные гиперболические функции Агсп г, Агз)та, Аг1п з, Агсс)т г.
1.77. Доказать следующие равенства (для корней берутся все их значения): 1) Агссоза = — с Ьп(г+ ч/гз — 1); 2) Агсзьп г = — г Ьп)(г + т/ 2 — 1); 1+с 1 1+ее 3) Агс18 г = — Ьп — = — 1 и 2 с — г 21 1 — гг' 4) Агсссбг = — Ьп —; 2 х+Г 5) Агсйз = 1п(г+ 1/зз — 1); 7) Агсйз = — Ьп —; 1 1+г 2 1 — с' 6) Агзйг = ).п(»+ ъ//зз+1); с) Согласно (1) е' = ехр (г Ьп е) = ехр (г (1+ 2хзл)). Однако, если не огоеорено проткеное, мы будем считать Ь = О т. е.
по-прежнему ет = ехрг. 8) Агс1)1 г = — Ьп— 1 с+1 2 1.78. Доказать, что для любого значения Агссозз можно подобрать такое значение Агсз1п г, чтобы сумма этих значений была равна к/2. Доказать аналогичное утверждение для Агссбг и Агссгбг. Примечание. равенствам Агсзьпз+ Агссоаз = к/2 и Агссйа+ +Агссгбз = л/2 всегда придается смысл, указанный в настоящей задаче. 4Я. Последовательности и числовые ряди 15 1.79. Показать, что все значения Агссовз содержатся в формуле Атосов с = т11 п(с+ ~/сзз — 1), где под хй~ — 1 понимается какое-нибудь одно его значение.
1.80. 1) Для каких с все значения функций Агссовс, Агсвшс и Агссб с действительны? 2) Для каких с функция АгеЬг принимает чисто мнимые значения? 1.81. Найти все значения следующих функций: 1 1 1) Агсяп -; 2) Атосов —; 3) Атосов 2; 4) Агсяпс; 5) Агстб(1+ 21); 6) АгсЬ21; 7) Агй (1 — 1). 1.82. Найти все 1) япг+ созе = корни следующих уравнений: 2; 2) яп с — сов - = 3; 4) сЬс — аЬЗ = 1; 1, 5) 2сЬс+ зЬг =1.
корни следующих уравнений: 2) ешс =геЬ% 3) сове =свЬ2с. 3) япс — соаг = 5) зЬг — сЬс = 2 1.83. Найти все 1) созе = сЬ гц '3 3. Последовательности и числовые ряды 1.84. Доказать, что если ряд ~с„сходится и (аглс„~ < 11 < —, то ряд сходитсл абсолютно. =1 1.87. Доказать формулу (преобразование Абеля) е с-1 аьБе — — се Яь(Ьь — Ьь, 1) — Б 15 + Я„Ь„, е=т ь=т где 1 < т < и, $ь = а1 + аз + ... + ае (й > 1), Яо — — О. 1.85. Пусть сходятся ряды ~ ~с„ и ~ ~с~. Доказать, что если с=1 с=1 Нес„) О, то ряд ~ (с„~~ будет также сходящимся. с=1 1.86.
Ряд ~~~ с„обладает тем свойством, что четыре его части, с=1 состоящие каждая из членов, содержащихся в одном и том же замкнутом квадранте плоскости, сходятся. Доказать, что данный ряд сходится абсолютно. 16 Гл. д ломклексные числа и функции комклвксного кеременного 1.88. Доказать, что длл сходимости РЯда ~~1 ипЬп, где Ьп > О, оо л= 1 достаточно, чтобы частичные суммы ряда ~ ап были ограничены и пи! последовательность чисел (Ь„1 монотонно стремилась к нулю (признак Диркхле). Указа н ис. Воспользоваться преобразованием Абеля.
1.89. Доказать, что для сходимости ряда ~ ~опЬи, где Ьп— п=1 действительные числа, достаточно, чтобы ряд ~ ~ап сходился, а поп=1 следовательность (Ьп) была мотонной и ограниченной (признак Абеля). 1.90. Доказать, что для сходимости ряда " опЬи достато 1но выполнения следукнних условий: 1) !нп чго Ьп оо О; 2) ряд ~~1 иги )Ь„ — Ь ,1~ сходится; п=1 п ои 3) последовательность †', где Яи = ~ аг ограничена. 1=1 1.91.
Пусть 1!п1 ",/)с„! = ц. Доказать, что ряд ~ ~сп сходится и-лоо и=1 (абсолютно), если о < 1, и расходится, если о > 1. 1.92. Убедиться на примерах рядов 1 + — + — + — + ... (1 < а < Д), 1 1 1 2Л 3" 4Л а+Д~+а~+13~+... (О<а<Д<1), что ряд л с„ могкет сходиться и тогда, когда 1нп ~ †"' ~ > 1, — ~с и,оо сп п=1 1.93. Доказать, что если 1нп ~ — "" ~ = 1, то для абсолютной схоимоо ~ Си 1'1 си„1 димости РЯДа ~ с„Достаточно, чтобы 1пп п1ч1 — ~ — 1) < — 1 И вЂ” 1ОО Сл (признак Раабе).
! си.11! а /11 1.94. Доказать признак Гаусса: если ~ — ~ = 1+ — + о~-) сп п и где а не зависит от и и а < — 1, то ряд сходится абсолютно. дд. !Уосяедоеотеяьности и числовые ряды 17 В задачах 1.95-1.104 исследовать сходимость рядов ~ с„. — П П! 1.95. с„= —. 1.96. с„= — '. 1.97. с„= е'".
'7 (27)п ' ' ' '7 (777)п ' 7П 7ПО 7П 1.98. с„= —. 1.99. с„= . 1.100. с„= —. 1.101. с„= — е"7Уп. 1 а(а 4 Ц...(а+ п — Цд(17+ Ц...(уУ+ п — Ц п! у ( у + Ц... ( у -!- п — Ц рический рнд), Ке(а+ 17 — у) < О. 1.1ОЗ. со = —. 1.104. с„=- 1.105. Найти предельные точки множеств; 1) з = 1+ (-Цп — (и = 1,2, ...) и -у 1 2) з = — + — (гп, и — произвольные целые числа); 7П П 3) л = — + 7 — (гп, 71, р, уу — произвольные целые числа): Р Ч 7П П 4) !з! < 1. / 1.106. Доказать, что пз бесконечной ограниченной последовательности точек (ло) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
1.107. Доказать следующие предложения: 1) сходимость последовательности (зп = х„ + гр„) эквивалентна одновременной сходимости последовательностей (ап) и (рп); 2) для того чтобы существовал предел )пп з„ ф О, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы )(гп (з„) ф О и (при подхоо — 7СС днщемопРеделенииаг5зо) )пп асяс„. Если )пп з„неавлЯетсЯотРии-77П П вЂ” 7ью цательным числом, то можно, например, считать, что — л < агл зп < 77.
В каких случаях сходимость последовательности (з„) эквивалентна сходимости только последовательности (!зп!)? 1.108. На основе утверждений задачи 1.107 доказать: 18 Рл. й Комплексные числа и функции комплексного переменного В 4. Функции комплексного переменного Комплексные функции действительного переменного В задачах 1.109-1.115 требуется определить линии, заданные указанными уравнениями. 1.109. г = 1 — г1, 0 < 1 < 2. 1.110. г = 1+ ссз, -оо < г < со. 1.111.
г =1т+11г, — оо <1 < со. к Зк 1.112. г = а(сов 1+ г гйп 1), — < 1 < —, а > О. 1.113. г = 1+ —, — оо < 1 < О. 1.114. 1) г=Г+г,/1 — 1г, -1<1«1; 2) г = — 1+ 1Д вЂ” Р, — 1 < 1 < 0 (берется арифметическое значение корня). 1.115. 1) г = а(1+1 — 1е а), — оо < 1 < со, а > О; 2) г = 1а+ аг — гЬе и, 0 < 1 < 2к, а > О, Ь > О. Функции комплексного переменного 1.116. Для отображения ж = гз требуется: 1) найти образы линий х = С, у = С, х = у, (г) = Л, агяг = о и выяснить, какие из них преобразуются взаимно однозначно; 2) найти прообразы (на г-плоскости) линий и = С, е = С (го = = и+1е). 1.117.
Для отображения ю = 1гг найти: 1)образылиний х=С, у=С, Ц=Л, агах=а, (г — Ц=1; 2) прообразы линий и = С, е = С. 1 1 1.118. Длв отображений ео = г+ — и го = г — — найти образы окружностей )г! = Л. 1 1.119. Для преобразования чо = з + — найти на г-плоскости прог образ прямоугольной сетки (и = С, е = С) плоскости ги. 1.120. Во что преобразуется окружность |г) = 1 при отображении го = г/(1 — г)зт 1.121.
Для отображения го = е' найти; Цобразылиний х=С, у=С, х=у; 2) прообразы линии р = д (О < д < со). уг. Функции комплексного переменного 19 1.122. Найти преобразование прямоугольной сети (х = С, у = С) плоскости г с помощью функции: 1) ш = гз + г; 2) ш = с1Ь г; 3) ш = е' . 1.123. Во что преобразуются с помощью функции ш = е'+г отрезки прямых х = С и прямые у = С, лежащие н полосе О < у < к? 1.124.
Что соответствует в г-плоскости полярной сетке (ш~ = Л, г агяш = сг при преобразованиях: 1) ш = е11', 2) ш = е'? Непрерывность 1.125. Функция /(г), определенная в окрестности точки го, называется непрерывной по Гейне в точке го, если для любой последовательности (зп), сходящейся к го, выполняется условие 1пп /(гп) = и — ~о = /(го); зта же функция называется непрерывной по Коши, если для любого е > О существует такое д(е) > О, что из неравенства (г — "о( < б следуот, что ~/(г) — /(го)~ < е. Доказать эквивалентность обоих определений (см., например, (1, гл. 1, п.
3.6]). Бег г Ве(г ) г Бег 1.126. функции —, —, —,, — определены для г ф О. ' ~4' !гр ' !4 Какие из них могут быть доопределены в точке г = О так, чтобы они стали непрерывными в этой точке? 1.127. Будут ли функции: 1) 1/(1 — ); 2) 1/(1+ ); непрерывны внутри единичного круга (ф < 1)? Будут ли они равномерно непрерывны? 1.128. 1) Доказать, что функция е. 'Лц равномерно непрерывна в круге ф < Л с выколотой точкой г = О. 2) Будет ли равномерно непрерывна в этой же области функции е '?"? 3) Будет ли функция е '1 равномерно непрерывна в секторе О < ф < Л, ( атд г! < л/6? 1.129.
Функция ш = е 1!' определена всюду, кроме точки г = О. Доказать, что: 1) в полукруге О < Ц < 1, (атйг( < к/2 эта функция ограничена, но не непрерывна; 2) внутри этого же полукруга функция непрерывна, но не равномерно; 3) в секторе О < ф < 1, )атбг! < а < к/2 функция равномерно непрерывна. 1.130. Функция /(г) равномерно непрерывна в круге (з) < 1. Доказать, что для любой точки ~ на окружности ~г~ = 1 и любой по- ЗО Гл. Н Номплексные числа и функции комплексного переменного следовательности хп -+ ь, ~хп( ( 1 существует предел 1цп /(хп).
Доказать также, что этот предел не зависит от выбора последовательности (гп) и что функция, доопределенная на границе круга при помощи предельного перехода, будет непрерывна во всем замкнутом круге ф ( 1. 3 5. Анвлитические и гармонические функции Условия Коши — Римана 1Л31. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функций с", е-, соа г, Ьн х и доказать, что (гп)' = пгп, (е ) = е, (созе)' = — а1пх, (Ьпх)' = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
