1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2.82. Найти область, на которую отображается круг ф < 1 при помощи функции ю = В(з + птзз), В > О, 0 < ти < 1/2. Найти образы полярной сетки з-плоскости. 2.83. Найти область, на которую полукруг ф < 1, Не з > О, отображается при помощи функции ю = з + гз. 2.84. 1) Найти область, на которую круг)з~ < 1 отображается при от помощи функции ш = В(з+ — /, В > О, и — целое число, и > 1. 2) Найти область, на которую отображается внешность единично- 1 го круга ~з~ > 1 при помощи функции ю = В(з+ — ~, В > О, и— Пво1' целое число, и > 1. Примечание. Об отображениях, совершаемых функцией = В(.
+ -1) (функция Жуковского), см. задачу 2.106 и дальнейшие. 2.85. 1) Выяснить, для каких значений еп функция ю = В(з+ + епз"), где п — натуральное число, осуществлвет конформное отображение круга ~г~ < 1 на некоторую область, и найти эту область. 2) Выяснить эти же вопросы для отображения внешности круга ф < 1 при помощи функции ю = В(х+ ™1 и внутренности того же пу круга при помощи функции ю = В~- + гпл /. 71 ГЗ.
Рацианалъные и алгебраические функции 41 Отображения круговых луночек и областей с разрезами 2.86. 1) Отобразить угол 0 < агйг < ясг (О < о < 2) на верхнюю полуплоскость. 2) Отобразить угол — — < агцл < — на верхнюю полуплоскость 4 2 так, чтобы ю(1 — 4) = 2, ю(4) = -1, ю(0) = О. 2.87. Найти функцию ю(з), отображающую полукруг [з~ < 1, 1гп з > О, на верхнюю полуплоскость при условиях: 1) ю( — 1) = О, ю(0) = 1, ю(1) = оо; 2) ю(~1) = ~1, ю(0) = оо; 3) ю(Ч = г, агбю'Н 2.88. Найти функцию ю(г), отображающую полукруг [г] < 1, 1т г > О, на круг ]ю] < 1 при условиях: 1) ю(~1) = ~1, ю(0) = — К; 2) ю(-) = О, агбю (-) = —. 2.89.
Найти функцию ю(л), отображающую область [г[> 1, 1птг > > О, на верхнюю полуплоскость. 2.90. Отобразить на верхнюю полуплоскостгн 1) сектор [г] < Л, О < аг8 г < тсг (О < сг < 2); 2) область (г] > Л, 0 < агаг < нсг (О < сг < 2). 2.91. Отобразить на верхнюю полуплоскость следующие круговые луночки (двуугольннки): 1)]г]<1, ]г — 4]<1; 2)]з]<1, [з — 1]>1; 3) ]г] > 1, ]г — 1] < 1; 4) ]г] > 1, ]г — 1] > 1; 5) ]г] > 2, [г — ъ'2[ < чг2.
2.92. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного верхнего полукруга. В задачах 2.93 — 2.105 отобразить указанные области на верхнюю полуплоскость. 2.93. Плоскость с разрезом по отрезку [ — 1,1]. 2.94. Плоскость с разрезом по отрезку [-г,4]. 2.95.
Плоскость с разрезом по отрезку [гыге]. 2.96. Плоскость с разрезами по лучам (-со, — Л], [Л, со) (Л > 0). 2.97. Плоскость с разрезом по расположенному в первом квадранте лучу, выходящему из точки 4 параллельно прямой у = з. Гл.П. Конформнме отоароменил 42 2.98. Плоскость с разрезом по дуге окружности, соединяющей точки — 1 и 1 и проходящей через точку 1Ь, где 0 < Ь < 1. 2.99. Полуплоскость 1т з > 0 с разрезом по отрезку [0,1Ь), Ь > О. 2.100. Полуплоскость 1тл > 0 с разрезом от 1Ь до со вдоль положительной мнимой полуоси (Ь > О). 2.101.
Полуплоскость Ппл > О с разрезом по дуге окружности [а[=1 отточки а=1 доточки з=е', где О<а<я, 2.102. Угол 0 < агйз < яД, где 0 < д < 2, с разрезом по дуге окружности [з[ = 1 от точки з = 1 до точки г = е', где 0 < а <,9. 2.103. Внешность единичного верхнего полукруга с разрезом по отрезку [О, -1[ (внешность "лопатки"). У к а з а н и е. Линейным преобразованием сводится к предыдущей задаче.
2.104. 1) Круг [з[ < 1 с разрезом по радиусу [О, Ц; 2) внешность единичного крута с разрезом по лучу [1, сс). 2.105. Найти отображение круга [з[ < 1 на ш-плоскость с разрезом по лучу ( — со, — -~ при условии, что ш(0) = О., ш (О) > О. 11 Р й Функции Жуковского 2.106, Найти преобразование полярной сетки [л[ = В, аг8» = а 1/ 11 с помощью функции Жуковского ш = — ~а+ -~. 21 2.107. Найти области, на которые функция Жуковского отображает; 1) круг [л[< В < 1; 2) область [з[> В > 1; 3) круг [е[ < 1; 4) область [л[ > 1; 5) полуплоскость 1гпл > О; 6) полуплоскость 1тз < О; 7) полукруг [л[ < 1, 1т - > 0; 8) полукруг [г[ < 1, 1шз < О; 9) область [г[ > 1, 1т г > О; 10) область 1 < [л[ < В, 1шз > 0; 11) область В < [з[ < 1, 1ш з > 0; 12) область — < [з[ < В, 1ш г > О, Не з > 0; 1 13) угол — — а < агйз < — + а (О < а < — 1.
2 2 2г' 2.108. Найти преобразование полярной сетки с помощью функций: 1) ш = — ~л — Ч; 2) ш = -(з+ — ) (о > 0); 3) ш = — р + — ~, с = [с[е" (О < 7 < я). уу. Рациекальнме и алееараикеские функции 43 2.109. Пользуясь функцией Жуковского, отобразить: 1) внешность отрезка [-с, с] (с > 0) на внешность единичного круга при условии, что ш(оо) = оо, агбш'(оо) = а; х у~ 2) внешность эллипса — + — = 1 на внешность единичного круае 6' га так, чтобы ш(оо) = со, ахйш'(со) = О.
2.110. Отобразить верхнюю полуплоскость с выкинутым полуэллипсом —, + —, < 1, у > О, на верхнюю полуплоскость. х у ае 2.111. Отобразить двусвязную область, ограниченную софокусными эллипсами —, + —, = 1... + „, = 1 (а > Ь), на концентрическое круговое кольцо с центром в начале координат и найти модуль (см.
с. 37) данной двусвязной области. 2.112. Найти область, на которую функция Жуковского отображает круг [х] <1 с разрезом по отрезку [а, Ц ( — 1 < а <1). Рассмотреть случаи а > 0 и а < О. В задачах 2.113-2.117 отобразить указанные области на верхнюю полуплоскость. 2.113. Круг[а[ < 1 с разрезом по отрезку [1~2, Ц.
2.114. Круг ]х] < 1 с разрезами по радиусу [-1,0] и отрезку [а, Ц (О < а < 1). 2.115. Внешность единичного круга с разрезами по отрезку [ — а, — Ц и лучу [1, оо), где а > 1. 2.116. Верхнюю половину круга ]э[ < 1 с разрезом по отрезку [О, аъ] (О < о < 1). 2.117. Верхнюю половину круга ]х] < 1 с разрезом по отрезку [аг, ь] (О < а < 1).
2.118. Отобразить круг [х[ < 1 с выкинутым отрезком [(1— — Ь)е', е' ] на единичный круг плоскости иь 2.119. Круг [х[ < 1 с разрезом по отрезку [а, Ц, 0 < а < 1, отобразить на круг ]ш] < 1 так, чтобы ш(0) = О, и'(0) > О. Найти ш'(0) и длину дуги, соответствующей разрезу. При каком значении а разрез перейдет в полуокружность? У к а з а н и е.
Целесообразно сначала отобразить как заданную область, так и круг [ш[ < 1 на внешность отрезка. 2.120. Круг ]х] < 1 с разрезами по отрезкам [а, Ц, [-1,— Ь] (О< < а < 1, 0 < Ь < 1) отобразить на круг [ш[ < 1 так, чтобы ш(0) = О, ш'(0) > О. Определить ш'(0) и длины дуг, соответствующих разрезам. 2.121. Представив функцию Жуковского в виде Гя.И. Кона1орнные отоорагненин 44 найти: 1) образ окружности С, проходящей через точки л = ж1 подуглом гг (-гг < а < и) к действительной оси в точке 1, и область, на которую отображается внешность такой окружности; 2) образ окружности С', проходящей через точку з = 1 под углом а к действительной оси и содержащей внутри точку -1, а также область, на которую отображаетсн внешность такой окружности. 2.122.
1) Найти образы окружностей и областей з-плоскости, о которых идет речь в задаче 2.121, если отображающая функция ю(л) задана уравнением (0<б<2, ю>0 при з>1). 2) Каков при этом отображении образ внутренности окружности Су 2.123. Отобразить внешность единичного круга ф > 1 на ю — 1 ю-плоскость с разрезом по дуге агб — = Д (О < й)~ < л),так, ю+1 чтобы ю(со) = оо, агбю'(оо) = о.
В задачах 2.124 — 2.127 найти области, получаемые при отображении заданных областей указанными функциями. 2.124. Круг ф < 1; ю =— гг+ 1 1 2.125. Полукруг (з( < 1, 1тз > 0; ю = гг+1 2.126. Угол 0 < агйз < —; ю = — рн+ — ). 21 ~") 2.127. Сектор — — < агиз < —, (з~ < 1; иг = (ю(з) > 0 й н' (1 + о)г/о при з > 0). Указание. Представить отображающую функцию в виде ю = Г(7(у(зЦ, где чг(г) = г У(г) = ( ), Г(1) = ч'~. Применение принципа симметрии 2.128. 1) Пользунсь решением задачи 2.127 и принципом симметрии, найти образ единичного круга при отображении ю = (1 + о)г/о 2) Найти функцию, отображающую внутренность (и внешность) единичного круга на внешность "звезды": ~ю) < 1, агбю = 2к(г/и (л = 0,1,2,...,п — 1).
у8. Рациональные и аеевбуаичеснив функции 2.129. Отобразить на внешность единичного круга: 1) всю плоскость с разрезами по отрезкам [ — 1, 1] и [-6,1] (внешность креста); 2) всю плоскость с разрезами по лучам (-оо, — 1], [1, +со), ( — еоо,-1] и [е,+Ьоо). 2.130. 1)* Пользуясь функцией из задачи 2.12б, отобразить сектор [г[ < 1, 0 < агб з < я(п (п — целое число) на себя так, чтобы отрезки радиусов [з[ < се, агб з = 0 и [з[ < а, ахй з = я/и (О < ге < 1) перешли в соответствующие радиусы.
2) Отобразить внешность единичного круга с разрезами по отрезкам 1 < [г[ < ее, агбх = 2(ся/и (Ь = = О, 1, 2, ..., и — 1) на внешность единичу ного круга. 2.131. Отобразить на верхнюю полуплоскость и на внешность единично- -1 0 х го круга внешность креста, состоящего из отрезка [-а, Ь] действительной оси и отрезка [ — се, с1] мнимой оси (а > О, Ь > О, с > О, аз + Ьз + сз ф ф 0). У к а з а н и е. Найти функцию, отображающую верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку [О, с1] на верхнюю полу- плоскость, и воспользоваться принципом — а1 симметрии, в силу которого внешность креста отобразится на всю плоскость с разрезом по отрезку действительной оси.
2.132. Плоскость с разрезами по лучу [ — а, +оо) (а > 0) и по отрезку [ — ш', и] (с > 0) отобразить на верхнюю полуплоскость. Указание. См. указание к задаче 2.131. 2.133. Отобразить на внешность единичного круга плоскость с разрезами по отрицательной части мнимой оси и по нижней половине единичной окружности. У к а з а н и е. Линейным преобразованием сводится к задаче 2.129, 1). 2.134.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
