1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Дифференциальное уравнение Ы'4Е а'4о г(1 — г) — + [с — (а + Ь + 1)г) — — абш = 0 йг йг называется гипергеометрическим. Найти аналитическое в точке г = 0 решение ш(г) гипергеометрического уравнения, удовлетворяющее условию 4о(0) = 1, предполагая, что с не равно нулю или целому отрицательному числу. 3.117. Доказать, что общее решение гипергеометрического уравнения имеет вид (с не равно целому числу) 4о = С4Г(а„б,с,г)+ Сгг' 'Р(а+1 — с, 5+1 — с, 2 — с, г), где г'(а, б, с, г) — функция, определенная в предыдущей задаче (гипергеометрическнй ряд). 3.118*. Доказать, что если с не равно нулю или целому отрицательному числу, то ИР(а, б, с, г) еб йг с Га.
П1. Иягяегрегы и сегелекные ряды ба 3 6. Некоторые приложения интегральной формулы Коши и степенных рядов Нули аналитических функций 3.119. Доказать, что точка го тогда и только тогда является нулем порядка Й аналитической функции Г(г), когда в некоторой окрестности точки го имеет место равенство /(г) = (з — зо)" ~р(з) „где фУнкциЯ д(г) аналитична в точке го и 1е(го) ~ О. 3.120. Найти порядок нуля з = 0 для функций: 1) зз(е» 1).
2) бзшзз+ гз(гб 6). 3) еыпг егаг 3.121. Точка ге является нулем порядка ?г для функции 1(г) и нУлем поРЯДка 1 ДлЯ фУнкЦии 1Р(г). Чем Явлаетса точка го длЯ следующих функций: 1) ((з)~р(з); 2) ~(г) + 1е(з); 3) ((г)(~р(з) ? В задачах 3.122-3.136 найти порядки всех нулей данных функций. 3.122. з + 9. 3.123. —. 3.124.
гсйпг. 2 г +9 г4 2 г 3.125. (1 — е*)(гз — 4)з. 3.126. 1 — собз. 3.127. 3.128. ~ . 3.129. е'е' 3.130. лйпз г. з 3.131. — '. 3.132. аьпгз. 3.133. созе г. 3.134. * . 3.135. ( е — 2) . 3.136. е — 2 — 2 е Теорема единственности 3.137. Может ли последовательность нулей (или вообще А-точек) функции, отличной от тождественной постоянной и аналитической во всей конечной плоскости, иметь предельную точку? 3.138.
Существует ли функция, аналитическая в точке г = 0 и принимающая в точках г = 1?и (и = 1,2, ...) значения; 1 1 1 1 )0,,0,,0,1,...,0,1,..., 2)0,—,0,—,0,—,...,0,—,..., 11 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 п 3)-,— ' 2' 2' 4' 4' 6' 6' ' 2е' 2й' ' ' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 'я + 1' 3.139. Существуют ли функции, аналитические в точке з = 0 и удовлетворяющие условиям (и — натуральное число); ) ~С-„) =~(--„) =А; ) ~(Ч=~(-9=А? 1 3.140.
Функция ьбп — имеет бесконечную последовательность 1 †» нулей, сходящуюся к точке г = 1, но тем не менее эта функция отлична от постоянной. Не противоречит ли это теореме единственности? бб. Прилоееения интегральной формулы Коши и отененных рядов аа Выражение аналитической функции через ее действительную или мнимую части 3.141*. Функция ~(2) = и(х, у) + ео(х, у) аналитична в точке ео = = хо + 1уо и У(ео) = со Доказать«что У(2) = 2о( — ', — ') — до, 3.142. Доказать, что в условиях предыдущей задачи 2 (2) = 22о(, ) + со.
В задачах 3.143-3.145 найти аналитическую функцию 1(2) = = о(х.у) + го(х,у) по данной ее действительной или мнимой части. 3.143. и(х,у) = х2 — уз+ 2. 3.144. и(х,у) = е*(х сов у — уз2пу) хе+ уе 3.144. о(х.,у) = х+у — 3. 3,145. и(х,у) = созхз11у — зйхсбпу. Неравенства Коши 3.147. Пусть разложение функции 2'(2) в круге [2[ < В имеет вид 1(з) = ~ ~с„г".
=о 2« ОО 1) Доказать, что — ~ [Я(ге«е)[ йр = ~~ [с„[ г " (г < Й). 1 г 2«,/ о «=о 2) Доказать, что если тпах[1(з)[ = М(г), то козффициенты с„ удовлетворяют неравенствам (нераеенства Коши) [с„[ < — „(г < ге). М(г) г" 3) Доказать, что если хотя бы одно из неравенств Коши обрашаетсл в равенство, т. е. [се[ = М(г) (ге, то функция 1(2) имеет вид 1(2) = = сев~. Указание. Воспользоваться следующим из п.
1) неравенством ~ [с„[ г " < [М(г)) . «=О 3.148. С помощью неравенств Коши доказать теорему Лиувилля; если функции 1(2) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна. П р и м е ч а н и е. Другой способ доказательства теоремы Лиувиллл указан в задаче 3.36. Гя. П1. Интегралы и степенные ряди 70 3.149. Доказать, что расстояние ближайшего к точке з = 0 нуля функции ~(с) = ~~~ спзп не меньше, чем, где р — любое р!се! М + (се! ' число, не превышающее радиуса сходимости ряда, а М = М(р) = = шах(г(с)!. Рйпя Указание.
Установить, что функция 7(з) не имеет нулей в области, где /~(с) — со/ < (со!, и оценить (Д(з) — со(, воспользовавшйсь неравенствами Коши. 3.150. Функция 7'(г) = ~~ спгп аналитическая при ф < г. Дон=о с спсп казать, что ряд ~с(с) = э †" сходится во всей плоскости и для и! п=с г Й М г г его суммы справедливы оценки (~р(г)( < Ме~'~7", (сррб(с)( < — е~'~7" (М вЂ” постоянная). Теоремы площадей для однолистных функций 3.151. Пусть функция ?(с) = ~~~ с„гп аналитична в круге ~г! < 1 п=о и отображает этот круг однолистно на область С площади 5. Доказать, что я = я ~ ~п)с„)з.
п=1 Указание. Записать формулу для вычисления площади о' в полярных координатах. П р и м е ч а н и е. Если опустить условие однолистности, то отдельные части области ьг нужно считать столько раз, сколько раз принимаются в круге (з~ < 1 соответствующие значения функции ?(з). 3.152. Доказать, что если в условии предыдущей задачи функция 1(с) аналитична только в открытом круге ф < 1 и если при этом существует конечный предел Дш Я„= Я, где Я, — площадь обг-~1 5 раза круга ф < т < 1, то ряд э н)с„( сходится и его сумма равна —. Доказать также, что если ?пп 5„= оо, то ряд р н)с )~ расходится. г-г1 пья П р и м е ч а н и е.
См и не пример, [4, гл. Х?? ?, З Ц. 3.153. 1) Пользуясь решением задачи 3.151, доказать, что если 7'(О) = 1 и функция,?(л) отображает конформно и взаимно однозначно бб. Приложения интегральной формулы Ноши и степенных рядов 71 круг (г( < 1 на некоторую область С, то площадь области С не меньше площади отображаемого круга (экстремальное свойство отображения ка круг). 2) Доказать, что из всех функций 1(г), аналитичных в круге ф < < Н и удовлетворяющих условию ~~ДЛеие))зйр = М, линейная о функция реализует отображение круга на область наименьшей плошади. Найти зту площадь, если 1(0) = О. Принцип максимума модулн В задачах 3.154-3.157 следует воспользоваться принципом максимума модуля, 3.154.
Доказать, что если функция 1(г), отличная от константы, аналитична в области 6 и нс обращается в нуль, то минимум )Дг)~ не может достигаться внутри области С. 3.155. 1) Доказать, что внутри области, ограниченной простой замкнутой линией уровня модуля функции 1(г) (т. е. линией, во всех точках которой )~(г)( = сонат) и содержащейся вместе с границей в области аналитичности функции 1(г), найдется по крайней мере один нуль этой функции Щг) ~ С). 2) Доказать, что если Р(г) — многочлен степени и, то линии уровня его модуля ~Р(г)~ = С (лемнискаты) могут распадаться не более, чем на п связных компонент. 3.156. Доказать лемму Шварца: если функция 1(г) аналитична в круге ф < 1, 1(0) = 0 и )Дг)! < 1, то во всем круге )1(г)) < )г).
Доказать также, что если хотя бы в одной внутренней точке круга )~(г)( = )г(, то /(г) = е' г (а — действительное число). Указание. Рассмотреть функцию 1(г)/г и применить к ней принцип максимума модуля. 3.157. Доказать, что если в предыдущей задаче условие 1(0) = = 0 заменить условием г'(сс) = 0 ()се! < 1), то при ф < 1 справедливо неравенство )Дг)! < ! 1 — ое Указание. Рассмотреть функцию — 1(г). ГЛАВА ГЧ РЯД ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 2 1. Ряд Лорана В задачах 4.1 — 4.18 данную функцию разложить в рнд Лорана либо в указанном кольце, либо в окрестности указанной точки.
В последнем случае надлежит определить область, в которой разложение имеет место. 4.1. — в окрестности точек з = 0 и з = оо. 1 а — 2 4.2. (а ф О, Ь вЂ” натуральное число) в окрестности то- 1 (г — а)е чек а=О и з=оо. 4.3.
1 в окрестности точек з = О, з = 1, з = оо. з(1 — з) 4.4. 1 (О < )а! < )Ь|) в окрестности точек з = О, (х — а)(г — Ь) а=а, а=ос ивкольце /а/<!з!<!Ь|. Р— 2л+ 5 4.5., в окрестности точки з= 2 и в кольце 1 < ф < 2. ( -2)('+1) 4.6. 1 в окрестности точек з = ! и з = со. ( !+ГЕ !.!. Д:-йЯ*'= 9 Оь! ~ ! О ! ° ° * * = !!-. смотреть обе ветви функции). 4!. У(*! = !! * (! У(-) 0) ° - 1 /,/ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
