1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 14
Текст из файла (страница 14)
4.97.. 4.98.— ь /г я а(1/г) яп ч/г 4.99. (и — натуральное число). гяг зо В задачах 4.100-4.107 требуется найти вычеты каждой из однозначных ветвей соответствующих многозначных функций относительно указанных точек. 4.100. — относительно точки з = 1. ч/г 1 — з 1 4.101. относительно точки з = 1. г/2 — з+ 1 та Гл. 1К Рнд Лорана. Особые точки одноеначнык аналитических функций 4.102. — (»е = ее""') относительно точки з = 1.
' 1 —,/ 4.1оз. ~(,—, и-н 4.104. 1) Ьп — относительно точки л = сю; е — ~3 г — а 2) е'1п — относительно точки г = оо. е — 8 1 4.105. 1) Ьп г з1п — относительно точки з = 1; с — 1 1 2) Ьп з соз — относительно точки е = 1. с — 1 Агссй е 4.106. 8 относительно точек г = О и г = оо. 4.107. за Ьп — (и — целое число) относительно точек г = О с — Р' и з = оо (прн вычислении вычета относительно точки з = 0 предполагается, что о ф О, р ф О). 4.108.
Разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид г(з) = со+ — '+ ... Найти гез[(((з))~),— 4.109. Найти тел [у(зЩл)[,-„если у(л) аналитична в точке а, а г(з) имеет в атой точке: 1) простой полюс с вычетом А; 2) полюс порядка й с главной частью: + ... + с-1 с-н г — а (е — а)" Найти гез~ — ~, если: Г~'(с)ч У(с) с=а' нуль порядка п функции Г(г); полюс порядка и функции Г"(з).
Найти тел~ар(з) — ~, если со(л) аналитична в точ- У'(е) 1 У(е) с=а 4.110 1) а— 2) а— 4.111 ке а и; 1) а — нуль порядка и функции г'(л); 2) а — полюс порядка и функции г'(з). 4.112. Найти геа(У[у(з)]),-„если функция у(з) аналитична в точке а и ~р'(а) ф О, а Г(~) имеет полюс первого порядка в точке ь = у(а) с вычетом А. 4.113. Функция со(з) имеет в точке а полюс первого порядка с вычетом А, а Д~) имеет в бесконечности полюс первого порядка с главной частью В~.
Найти гез (~[у(л)Ц,=,. 4.114. Функция г"(з), принимающая на дуге Ю окружности [з— — а[ = В действительные значения, аналитически продолжена через зту дугу по принципу симметрии. Пусть точка з = р (Д ф а) является ~4. Вычисление интегралов Ь для Дл) полюсом порядка Й с главной частью (» В)и ' еьн Найти геа[Г(г)],-д., где В' — точка, симметричнан с точкой г = Д относительно 1. 2 4.
Вычисление интегралов Непосредственное применение теоремы о вычетах В задачах 4.115 — 4.124 вычислить интегралы, считая, что обход замкнутых контуров происходит в положительном направлении. 4.115. ~ —, где С вЂ” окружность х +р = 2х. Ыг г ' l . +1' с г гав 1 4.116. ГГ где С вЂ” окружность ~г — 2! = —. l ( -1)( -2): 2 с 4.117. /,, где С вЂ” окружность ф = 2. 4г (г — З)(г1 — 1) ' ! с У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что сумма вычетов относительно всех особых точек (включая бесконечно удаленную) равна нулю. ) Г л'дг 4.118.
~ —, где С вЂ” окружность ~г( = 1. ,/ 2г1 -> 1 ' с е' 4.119. ),, Вг, где С вЂ” окружность ~г) =1. 4.120. — ~ з1п — с(г, где С вЂ” окружность ~г~ = г. 1 Г . 1 2нг l с 1г.г1 4.121. —. 11 згп — Вг, где С вЂ” окружность ф = г. 2л1 г' л с 4.122. — 1хоегГ'Их, где и — целое число, а С вЂ” окружность 2ве Г (г! = г. 4.123. / (1 + г + гг)(е1Г* + е1Г(* 0 + е1Г1' г))г(г ~ 1=з 4.124. сдп г(1 — сое в) )л)=Ь 1 г Г"(г) 4.125. Вычислить интеграл —,Гà — 4г, если С вЂ” простой 2нг,/ ло(л) с замкнутый контур, ограничивающий область С, содержащую точ- ае Гл. 11».
Ркд Лорана. Особые точки однозначных аналитических функций ку» = О. Функции Д») и д(х) аналитичны в замкнутой области С, причем функция д(») не обращается в нуль на контуре С и имеет в области С лишь простые нули аыаз,...,а„, ни один из которых не совпадает с началом координат. у 4.126. Пусть З(х) = по+ агх+ ... +а„»".
Доказать, что — / х" '(~(»)(24» = аеа„Д2" 2гн' д г»(=я О В задачах 4.127-4.130 вычислить указанные интегралы. а.гег. — г, С вЂ” гг 1 г И» 2 г ность )»! = г ф 1. 4.128. — / (чгг1 = 1), где Рис. 12 2кг' З (»4+ 1),/»7Ч 1 с С вЂ” парабола уз = х, обходимая в сторону возрастания у. 4.129. — / (а' = е""'), где а > О, а С вЂ” проходимая 2ггг з а' егия» С снизу вверх прямая х = о, 0 < о < 1. 1 г д» Указание. Рассмотреть — /,, где контур у указан на 2кг,/ а» сбил»' рис. 12, и перейти к пределу при 11 — ь оо.
1 Гед» 4.130. — / —, где контур интегрирования С указан на рис. 13. 2кг сое» с Определенные интегралы Если функция 1(х) обращается в бесконечность при х = с (а < < с < Ь), то главным значением интвг- ь рала /1(х) г1х по Коши называется а 1 е-г ь О а е-~- -аь Это определение естественным образом обобщается на случай криволинейно- Рис. 12 го интеграла. Если функция 1(х) непрерывна на всей числовой оси, то глав- ею н ным значением интеграла / Дх) г(х называется 1пп / 1(х) г1х.
Ж-гаа З 44. Вычисление ингивгралое З1 В задачах 4.131-4.138 найти определенные интегралы. В случае, если интеграл несобственный и расходится, найти его главное значение (если оно существует). зл 4.131. 1 (а > 1). Указание. Положить есл = з. г 41с а+соз1с о 4.132.
/ ~, (а > б > 0). о 2л 4.133. г' ~,, (а > О, 6 > О). (а +Ь з'р) о зл 4.134. / ~р , (а — комплексное число и а ~ х1). 1 — 2а сов р + аг с зл 4.135. ~, (а — комплексное число и а ф х1). соз' Зр ИЧс / 1 — 2асову+аг о зл 4.136. /сс" е соз(пр — з1п р) ЫЧг (и — целое число). о Л 4.137. /1н(х+ га) с(х (а — действительное число). о 4.138. /с18(х+а)Нх (а — комплексное число и 1ша ф 0). о 4.139.
Доказать, что при б > а > — 1 и лг'з г лГ(а+ 1) /соз' гр сов Ь;р га†2- Г( — "+1)Г~ — + 1) Указание. Рассмотреть /(в+ -) х сгз, ь-г л~ с где С вЂ” контур, изображенный на рис. 14, 1 / и устремить радиусы дуг маленьких окружностей к нулю. При вычислении интеграла по вертикальному отрезку разбить его на два и соответствующими подстановками свести их Ркс.
14 к эйлеровым интегралам первого рода; воспользоваться также известным соотношением между эйлеровыми интегралами В(р,д) = Р и формулой Г(р)Г(1 — р) = Г(р+ а) в1п лр б Л.И. Волкооыскка к Лр. 82 Ге. 1У. Ркд Лорана. Особне точки однозначних анааитических функций В задачах 4.140-4.146 вычислить интегралы с бесконечными пределами. -Ос о 4.142.
~, (и — натуральное число). дх / (хч Ч. цп о ОО о Г дх 4.145. ~ (и > 2 — натуральное число). /1+хо Г дх Указание. Рассмотреть интеграл (, где С вЂ” контур, ) 1+оп' с состоящий из лучей ахнх = О, асях = 2к(п и соединнющей их дуги окружности. хп 4.146. ~,„с(х (и > 2). Примечание. Метод вычисления интегралов из задач 4.145 и 4.146 переносится иа интегралы от рациональных функций вида В(х").
4.147. Доказать, что — ~ — — ' (и и 1 г дт ч~ " '(и+/с — 2)! 2к1 l тпттк (25)пче '(Ь вЂ” 1)!(и — 1)! с й — натуральные числа), где С вЂ” прямая, параллельная действительной осн и отсекающая на мнимой оси отрезок, равный й (и > О). 1 г дт 4.148. Вычислить интеграл — ~ (Й вЂ” натуральное 2к1 .I тту(т — х) с число), где С вЂ” контур предыдущей задачи. В задачах 4.149 — 4.152, пользуясь леммой Жордана (см, задачу 3.17), вычислить указанные интегралы.
х сое х Нх 2) х е1о х Их ./ хе — 2х+ 10' / хч — 2х+ 10' 4. 150. / хч+4х+20 Г соеах 4.151. ~ — с(х (а и Ь вЂ” положительные числа). '.) *'+ь о 44. Вычисление интеграаое 4.152. ~ — 21х (о и Ь вЂ” положительные числа). Г хашах ./ х2+ Ь2 о 4.153. Пусть Дх) = е' 'Ь"(х), где т > О, а функция г'(х) обладает следующими свойствами: 1) в верхней полуцлоскости она имеет конечное число особых то- ЧЕК О1, аз, ..., а„; 2) аналитична во всех точках действительной оси, кроме точек х1, хз, ..., х, являющихся простыми полюсами; 3) Е(х) -+ О, если х -+ оо и 11п х > О.
Доказать, что 00 т т / 1(х) 22х = 2х2~ ~ ~гезу(х)], „+ — ~~2 гез'Ь2'(х)], — СО 1 — — 1 Ь=1 где интеграл понимается в смысле главного значения (относительно всех точек хь и сс). В задачах 4.154 †.158 найти главные значения указанных интег- ралов (2 — действительное число). ! 222 СО 4.154. / — 2(х. 4.155. / 2 (х2 + 4)(х — 1) / 1 + х2 2 1 — х2 В задачах 4.159 — 4.164 вычислить указанные интегралы (а и Ь— положительные число). 00 2 2 ОО СО 4 159 1 22х.
4.160. 2 4.161. 1 / хсЕЬ' х ' ' / х(х2Ч-Ь2)' ',I х(хи+Ь')2 о о о ~соз2ах — соз2Ьх 4 2 х. х о / хе У к а з а н и е. Воспользоваться 221* 1 интегралом / 2 22х, где кон- С тур С указан на рис. 15. Рис. 1Ь Г2Ш Х 4.164. ~ — 22х. У ь а з а н и е. Воспользоваться интегралом / х2 о е222 — Зе22 + 2 Нх, где контур С указан на рис. 15.
с а4 Гж!11 Рнд Лорана. Осодыв точки однозначны» аналижических яункций р В задачах 4.165-4.168 вычислить интегралы, считая, что хР > 0 при х > 0 (зто условие сохраняется во всех последующих задачах). сс С 4.165. 1) / х" 4 соя ах с(х (а > О, 0 < р < 1); Ос С р й * 2) /хи «з1пахс(х (а>О, — 1<р<1). о Указание. Воспользоваться интегралом »Р 'е "с(», где контур С указан на рис. 16. С 4.166. / созх" Нх (р > 1). о 4.168. / «1х (р > — ). о 4.169. Пусть рациональная функция г(») имеет полюсы ог, о», ...
..., о„, ни один из которых не лежит на положительной части действительной оси и не равен нулю, и р — такое действительное число, что 1цп (»Р+' Г"(»)) = 1пп (»Р~'1(»))=О. * — «о «-«сс Доказать, что: 1) если р не целое число, то ~хр Г'(х) Ых = — е "рс 'р гез (»ру(»)],— „; Ми кр к=в 2) если р — целое число, то ~хг1(х) с(х = Рис. 17 — гез(»РЬп». 7(»))« — „, ь=! 4.167. / ьйп хР с(х (~р~ > 1) о где Еп» = 1п ф + «аг8» и 0 < агб» < 2х. Указание. Рассмотреть соответственно интегралы /»Рг'(») 4» с и «(»Р 1,п».
г'(») Н», где С вЂ” контур, изображенный на рис. 17. с сс 4.170. Вычислить / (О <р< 1). Нх »Р(х+ 1) о 4.171. Доказать, что Г(а)Г(1 — а) = (О < и < 1). вгика яв. Вычисление интегралов яя Указание. Воспользоваться известным соотношением между эйлеровыми интегралами Г(а)Г(Ь) = Г(а+ Ь)В(а,Ь) и произвести в 1 интеграле, определяющем бзта-функцию В(а, Ь) = /х' '(1 — х)~ ' г1х, о замену переменной, положив х = у/(1+ у).
Примечание. Соотношение, доказываемое в задаче лишь для действительных чисел а, заключенных в интервале (9,1), справедливо для всех комплексных чисел. При г = — п, где и — натуральное число, обе части равенства обращаются в со. В задачах 4.172-4.174 вычислить указанные интегралы. 4.172. / ", ( — 1<р<1). 4.173. /,, ( — 1<р<3). о о 4.174. Их (-1<р<1, — я<Л<я). хг + 2х соя Л+ 1 о 4 175. Пусть рациональная функция 1(г) имеет на положительной части действительной оси полюсы лишь первого порядка Д, Дз, ..., Д, а среди других ее полюсов оы аз, ..., а„(если они есть) нет равного нулю.
Пусть далее р — такое действительное число, что 1пп [ги''7'(г)] = 1пп [ггы.г(г)] = О. Доказатгч понимая под интегралом его главное значение, что: 1) если р не целое число, то х"1(х)г1х = и т — е "' ~ атея [г "Дг)] = „— я с18 яр ~ 1)еи гея [((г)]г — д,, и=1 а=1 где хи > О при х >О; 2) если р — целое число, то хг,г"(х) дх = о и Пй — гея [гв Ьп г ((г)],-„, — ~~~ Я(1п 11е + я1) гея [1(г)],-яи; ветвь Ьпг выбирается так же, как в задаче 4.169. В задачах 4.176 — 4.178 вычислить главные значения интегралов. ее СО 4 176.
/ . 4.17Т. / о о ао Гл.11з. Рнд Лорана. 0сойые точки однозначных аналитических функций сер рс 4.178. / — ( — 1 < р < 0). 4.179. / — (О < р < 1). о — сс В задачах 4.180-4Л86 вычислить указанные интегралы. 1 гх' "(1 — х)Р 4.180. ~, с(х ( — 1 < р < 2). Указание. Рессмот- (1» )з о Г с' '(1 — с)Р реть ~, сзх, где С вЂ” указанный на рис. 18 контур, огра- (1» )з с ничиваюший двусвязную область, и перейти к пределу при Н -+ оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
