1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 16
Текст из файла (страница 16)
задачу 3.17). 4.234. Пусть аналитическая функция 1о(д) имеет слева от Сс конечное число особых точек и Ф(з) -+ 0 при д — с оо и Вел < ст. ) Па поводу задач этого цикле, е также по вопросу применения еснмптотнческнх оценок н других методов нх получения см., непрнмер, ]3, гл. Ч, 1 3]; Фукс Б. А., Левин и.
и. Функции комплексного переменного н некоторые нх прнложення — Мз Гастехнздет, 1951. — Гл. 1Ч; Е в г р е ф а в М. А. Аснмптотнческне оценки н целые функции. — Мс Фнзмвтгнз, 1962. 94 Рл. 1К Ряд Лорана. Особые точки однозначных аналитических функций Доказать, что при больших значениях 1 имеет место асимптоти- ческое равенство — ~ "«(х) « - Е еа (е" Р(х)), с, где сумма берется по всем особым точкам «з(х) с неотрицательной действительной частью. Примечание.
Функции Р'(1) и Е(1) асимптотичвски равны при 1 -з со (Г'(1) Е(1)), если 1пп — = 1. У(4) «-«оо Е(4) 4.235. Исследовать асимптотическое поведение при 1 -+ со функции с, 4.236. Найти асимптотическое выражение при 1 -з оо функции 1 «с- з зо« ((1) = — (Г «Ь (ы > О, а ) 0), 2н«' (« — о««)«l««+ 2а« с, где ч«'ха + 2ах > 0 при х > О. Указание.
Заменить контур С1 контуром, изображенным на рис. 26, и доказать, что интегралы по дугам окружности и по от- рицательной части действительной оси стремятся к нулю при 1 — з со. т с„ Ряд з — называется асимнтотическим разложением функ.с„«о о=о з ции г" (х) прн х -з оо, если 11т х" 1Дх) — ~~' — „1 = О (к = О, 1,2," ). « -«оо [ «н1 «1=0 (Отсюда не следует сходимость рнда.) Рассматривают часто также асимптотические разложения более общего вида. Пусть («„(х)) — произвольная последовательность функций такая, что !пп — = О, а (р„(х)) — последовательность, « +1(«) «-«оо «(«) удовлетворяющая условиям !пп =О, ««оо «(«) Ряд ~ ~с„р„(х) называется асимптотическим разложением функн=о ции 1(х): з (х) ~~~ с„р„(х), ь н=о если 1цп — [ф(х) — ~~~ с„ро(х)~ = 0 (к = 0,1,2, ...).
н=о 94. Вычисление ииизеграгав 95 Часто в качестве последовательности (Сз„(х)) выбирают последовательность (1Сх "), где а„— положительные действительные числа,монотонно стремян!неся к оо. 4.237. Доказать, что при х > 0 е *С 1 2! 4! п (2п)! — а - - — — '+ — ' — ... + (-1)" — ' + ... 1.С-Сз х хз хз"+' о У к а з а н и е.
Воспользоваться равенством 1 ! 1зп+зззп-зз Сз+С4 +( 1)иСзп+ ( ) 1+С! 1+С! и оценить остаточный член. 4.238. Доказать, что при х > 0 с*!112 и! — с(С вЂ” — — + — — ... + ( — 1)" — + ... х хз хз и ! х Указание. Интегрировать по частям и оценить остаток. 4.239*. Доказать, что при х > 0 / з'С ( + з+ з+"'+ и +'")' 1 1 2 (и — 1)! где под интегралом понимается его главное значение. 4,240. Доказать, что при действительных значениях х е зСС ч (2п)1 1 С вЂ” х .2~ 2зпп!,жм -зи п=е где под интегралом понимается его главное значение. 4.241.
Доказать, что при действительных значениях х / — С)С вЂ” -~~! Г( ) — „(а > — 1,,9 > 0), о п=! где при х > 0 под интегралом понимается его главное значение. 4.242з. Доказеть, что /.*'- 'а з з !Си з Г1 1 1 3 1 3 5 ) + , + ... 2 (,2г 2згз + 2згз 2!ге причем знаки + или — берутся соответственно тому, будет Йех > > 0 или Ке х ( О. Если Вез = О, то слагаемое перед скобкой можно опустить. 4.243. Найти асимптотическое разложение функции У(С) 2 ' / +Г ( > 0)' с! Найти также разложение 1(С) при малом С. 98 Гл.
1К Рад Лоуака. Особые точки одкогкачкых аналитических функций Указание. Заменить Сг контуром, указанным на рис. 28. Для Ге ч/х дх получения асимптотического разложения интеграла ,/ хг + игг о Ркс. 28 Ркс. 29 воспользоваться указанием к задаче 4.237. При малом 1 следует Сг 1 выбрать так, чтобы сг было больше иг, и разложить — „в ряд. г ь„Р 4.244. Доказать, что с а=о 4.245. Найти асимптотическое разложение функции егг дс г'И) = —. ' ' (с~/' > О при з > О). 2кг. / с(1+,г/г) с, Получить также приближенную формулу для /11) при малом 1. Указание.
Для получения асимптотического разложения заме- 1 гг/3 нить Сг контуром, указанным на рис. 29, где зг = — -+ —, зг = 2 2 г З = — — — —. При малом 1 абсциссу прямой Сг следует взять больше 2 2 единицы. 2 5. Распределение нулей. Обрагненне рядов Теорема Руше В задачах 4.246-4.247, пользуясь теоремой Руше, найти количество лежащих внутри круга ~з! < 1 корней данных уравнений. 4 246 зе 2хе+ зз 8 2 О ад.
Раенредеяение нияеб. Обращение рядов 97 4247 2гв гз+Згг г+8 0 4248 гг бге+гг 2 0 4.249. Доказать, что если во всех точках контура С справедливо неравенство )аяг"! > (по + аег+ ... + ал ег '+ аь ьег +' + ... + а„г" (, то многочлен ао + а~г + ... + а„г" имеет Й нулей внутри контура С, если точка г = 0 лежит внутри етого контура, и не имеет нулей, если она лежит вне контура С. 4.250. Сколько корней уравнения г4 — 5г + 1 = 0 находится: в круге )г) < 1; в кольце 1 < )г! < 2? 4.251.
Сколько корней уравнения г4 — 8г + 10 = 0 находится: в круге ф < 1; в кольце 1 < (г( < 3? 4.252. Сколько корней имеет в круге ~г) < 1 уравнение г" + аог + пег + аг — — О, если (ао! > )а~( + )аг) + 1 (и — натуральное число)7 4.253. Сколько корней имеет в круге )г) < 1 уравнение г = 1о(г), если при ф < 1 функция |р(г) аналитична и удовлетворяет нера- венству )р(г)! < 1? 4.254. Сколько корней имеет в круге )г~ < 1 уравнение е' — 4г" + 1 = О (и — натуральное число)? 4.255. Сколько корней имеет в круге )г) < Рг уравнение ее = аг" (и — натуральное число), если ~а! > е~/В" ? 4.256.
Доказать, что уравнение г = Л вЂ” е ' (Л > 1) имеет в пра- вой полуплоскостн единственный (и притом действительный) корень. 4.257". Доказать, что, как бы мало ни было р > О, прн доста- 1 1 1 точно большом п все нули функции 1„(г) = 1+ — + — + ... +— г 2!г' и!г" находятся в круге ~г~ < р.
4.258. Доказать, что если р < 1, то многочлен Р„(г) = 1+ 2г+Згз+ ... + пг" при достаточно большом и нс имеет корней в круге ф < р. Указание. Воспользоваться методом решения задачи 4.257, Принцип аргумента 4.259. Функция 77(г) мероморфна в области С и аналитична на ее границе С. Доказать следующие утверждения: 1) если ~у(г)! < 1 на С, то число находящихся в области С корней уравнения ~р(г) = 1 равно числу полюсов функции 1о(г) в области С; 2) если ~1р(г)( > 1 на С, то число находящихся в области С корней уравнения 1о(г) = 1 равно числу нулей функции р(г) в области С; 3) утверждения 1) и 2) остаются справедливыми, если уравнение 1о(г) =1 заменить уравнением 1о(г) =а, причем ~а) >1 в случае 1) и (а~ < 1 в случае 2). 7 Л.И. Вояковыоккй к яр.
аа Рт, Лт. Рнд Лорана. Особые точки аднотначныт анаеитическит функция 4.260. Пусть ни один из нулей многочлена Р„(г) = г" +ага" ' + ... +а„ не лежит на мнимой оси. Доказать, что когда точка г пробегает сверху вниз мнимую ось, приращение аргумента Рн(г) равно кх, где й — целое число той же четности, что и и, причем ~)с) < и. Доказать, что при этом многочлен Р„(г) имеет в правой полуплоскости (и + й)/2 нулей. Указание. Представить Р„(г) в виде Р.(.) =г"(1+'— '+...+ 1 га у и применить принцип аргумента к полукругу ф < В, Нег > О, при достаточно большом В. 4.261. Найти количество корней многочлена '+ "+ бг4+ б з+ вгг+ 4 + 1 в правой полуплоскости. 4.262.
Найти количество корней уравнения г4 + 2гз + 2гг + г + 2 О в правой полуплоскости и в первом квадранте. 4.263. Сколько корней в каждом квадранте имеет уравнение 2г~ — Згз + Згг — г + 1 = Ог 4.264. В каких квадрантах лежат корни уравнения г4+ гз + 4гг,1 2г+ 2 Ог 4 265 Доказать, что число корней уравнения гг + счгг -г+Дг (а и Д вЂ” действительные числа, а зЕ О, Д ф О; и — натуральное число), имеющих положительную действительную часть, равно и, если и четное.
Если же и нечетное, то число их равно и — 1, если сч > О, и и + 1, если а < О. Указание. Рассмотреть приращение агй(гга+счг~" '+Дг), когда точка г описывает границу правого полукруга большого радиуса. Если коэффициенты многочлена Р„(г) = г" + а1 г" ~ + ... + а„гг + а„ зависят непрерывно от действительных параметров сг, )1, то для того, чтобы найти зависимость числа нулей Р„(г), расположенных в правой полуплоскости, от параметров, можно поступать следующим образом (исходя из того, что каждый нуль непрерывно зависит от коэффициентов многочлена). Построить в плоскости сч, )г' линии Р„(гг) = О (т — действительный параметр), т.
е. линии, для точек которых среди корней много- рд. Распределение нулей. Обращение радое члена имеются чисто мнимые корни (или нуль). Эти линии делят плоскость се, )7 на области, в каждой из которых число нулей Р„(л) с положительной действительной частью постоянно. Это число можно найти, взнв произвольную точку соответствующей области и применив к ней, например, метод из задачи 4.260.
В задачах 4.266-4.268 определить области плоскости се,,9, в которых число корней соответствующего многочлена Р(с), имеющих положительную действительную часть, постоянно; найти для каждой области это число т. 4 266 Р(з) за+ вез+ па+ 4.267. Р(.) ="+ аз+ Д.+1. 4 268 Р(з) сз + (се + д)аз + (о — 1е)г + сс. 4.269. Пусть 1(г) = Р„(л)+ц (з)е ", где г > 0; Р„(с) и су,„(з) — взаимно простые многочлены, причем и > т и 1(с) не имеет нулей на мнимой оси; Ю вЂ” число нулей многочлена Р„(с) в правой полуплоскости. Доказать, что для того, чтобы функция 7'(г) не имела нулей в правой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы точка ш = — е " обходила Ф раз в положительном направлении Я (с) Рп(с) точку ю = 1, в то время как точка з обходит снизу вверх всю мнимую ось (если Р„(с) имеет нули на мнимой оси, то при движении точки з по этой оси следует нули Р„(с) обходить справа по полуокружностям достаточно малых радиусов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
