1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1 4.181. ( з1х ( — 1 < газ 1жхз о <р<2). Указание. Доказать, что !пп ' ' зЬ=2лзе а ', я — зо»,/ 1+ сз ск где Сн — обходимая в положитель- Рнс. 1В ном направлении окружность (з~ = В. 1 х' Р(1 — х)Р д о 1 4183. /( — ) — (-1<р<1, а>0). о 1 4.184. / ( — ) „(-1 < р < 1, а > 0). о 1 з р 4.185. /( ') (, ) с(х (-1<р<2). 1»-хз -з 1 4.186.
з' ' з а+ ) озчз:.Т ' 1 4.187. Вычислить интеграл (,, где ъТ вЂ” х ) 0 дх (х — а) ~/~ — х' — 1 при — 1 < х < 1, а — комплексное число и а = х1. Найти, в частности, значения интеграла при а = хез (О < а < х), а = зу ро'. Вычисление интегралов и — 1 < а < 1 (главное значение). 1 /х" '(1 — х) 4.188. Вычислить интеграл ) Ых, где 0 < р < 1, Ь вЂ” х о Ь вЂ” комплексное число и Ь ф О, Ь ф 1.
1 4.189. Вычислить интеграл ) (п = 2, 3, ...). г!х о 4« Указание. Рассмотреть интеграл ), где С вЂ” контур, 1 «и' с состоящий из разрезов по радиусам-векторам точек 1, и/, и/2, ..., го" ', Рис. 19 Рис. 29 где ы =. е«"/", и окружности !«~ = «1 > 1. (Этот интеграл может быть вычислен и с помощью бэта-функции Эйлера.) В задачах 4.190-4.195 вычислить интегралы (а > 0).
7!пхйх 4.190. ) — „,. Указа н и е. Воспользоваться интегралом ,) хе + аг о !и «с!« „где контур С указан на рнс. 19. «2 ! 11~ с 4.191. ! . 4.192. ! ./ х'+ аг / ч/х(хг+ аг)г о о 1 /1 1 Нх 4.194. (' )и( — — х) . Указание. Вычислить действих 1-!- хг о /1 1 И« тельную часть интеграла / !и( — — «), где С вЂ” контур, ука- !«)1+ с ванный на рис. 20. 1 / 1 — х Их 4.195.
) !и — —. х х+а о аа Ря. 1К Ряд Лорана. Особые точки одноэначных анааитических функций 4.196. Пусть /(х) — рациональная функция, не имеюгцая полюсов на положительной части действительной оси и в точке л. = О, г11 пРичем 1(х) = Огх — ) пРи х -э оо. л ~хэ' Доказать, что где аг = -1, а аз, аз ..., а„— полюсы функции 1(х), отличные о * от — 1, и Ьп х = 1п]х] + э' аг8 х, О < < агя х < 2;г. У к а з а н и е. Рассмотреть интеграл — / 1 г' Г(х) г(х, где кон2лэ э' 1пх — лэ' с тур С указан на рис. 21.
Рис, 21 В задачах 4.197 — 4.199 вычислить интегралы, считал, что а > О и и — натуральное число. 4.197, 1) , ; 2) / агхе )' г(х (х+ а)(1пэх+ пэ) э' (х'+аэ)(1п х+ лэ) е е 4.198. (хе + аэюп х ж (2п + 1)ээгэ] о У к а з а и н е. Воспользоваться интегралом 1 ( 1 1 сэ + а' (Ьп э — (2п + 1)лэ Ьп э — (2п — 1)лг 1 пх+ (2п — 1)лэ'1 где контур С указан на рис. 21, а ветвь Ьпз выбрана так же, как в задаче 4.196. 4.199. (хг+ аэ)(1пэх+ 4гйэгэ) о У к а з а н и е. Воспользоваться интегралом э[ 1 ( 1 1 1 + + "° + г(х, хе + аэ (Ьп э — 2пггэ Ьп х — (2п — 2)лэ' Ьп с+ (2п — 2)эп~ с где контур С указан на рис.
22, а ветвь Ьпх выбрана так же, как в задаче 4.196. 44. Вычисление интегралов 89 Рис. 22 Рис. 22 4.200. Пусть Г(г) — рациональная функция, не имеющая полюсов на незамкнутом контуре С, начальная точка которого а и конечная 6. Доказать, что /~(г)с(г = ~ ~геа~((г)Ьп — ~ +геа[((г)Ьп — ~ С где суммирование производится по всем полюсам функции ((г), отличным от оо (выбор однозначной вне С ветви логарифма произволен).
г — 6 Указание. Рассмотреть / Г"(г) Ьп — Ы», где контур Г, огра- г ничивающий двусвязную область, указан на рис. 23. В задачах 4.201 — 4.205 найти указанные интегралы, считая число а действительным. еах Вх 4.201. — (О ( а ( 2). 2 (ех + 1)(е*+ 2) саг Вг У к а з а н и е. Воспользоваться интегралом 2 (ех + 1)(е» + 2) ' С где С вЂ” прямоугольник с вершинами -Я, В, А+2яг, — В+2кй Г81паж<Ь 4.202. ~ . Указа н не.
Воспользоваться интегралом е1с х ае Гл. Пг. Ркд Лорана. Особые точки одно»ночных аналитических функиид Рнс, 24 4.204. ) еЬ» о о Интегралы, связанные с формулой обращения преобразования Лапласа Отсюда и до конца параграфа предполагается, что 1 > О, С1— прямая Ве» = а > О, проходимая снизу вверх, причем а выбрано так, что все особые точки подынтегральной функции расположены влево от См 4.207. Доказать, что если Д») -+ 0 прн 1еп» -+ тоо, ае < Ве» < < аз и функция 11») аналитична в полосе а1 < Ве» < аз, то интеграл ~Д»)сс», где С вЂ” прямая Ве» = а, не зависит от выбора а, с если а» ( а ( а».
еес» л» вЂ”, где контур С указан на рис. 24. еЬ» С 4. 203. сЬ» о 4.205. ~ — Ых 1 — л < а < л). 7сЬ ех л сЬлх о У к а з а н и е. Воспользоваться интегралом граница прямоугольника — а < Ве» < а, О < Указание. Воспользоваться интегралом граница прямоугольника — л < Ве» ( л, О < пределу при й -+ оо. ео» Н» — где С— сЬ»» с 1го» < 1. »Н» где С— е — е — "' с 1пч» < Ь, и перейти к Я4. Вычисление ингаеграгав 91 В задачах 4.208 — 4.213 найти интегралы (п — натуральное число).
хтй с, с, 1 Ге' гЬ 4.210. — ~ —, / "г+1 4.209.— 2ят 7 (,— )О+П' с, с, 1 хе' гЬ 1 )' е' гЬ 2нт,) хе+1' 2ят,) гт(гт+1)' с, с, 1 Ге» Вг 2их .г ~~~~ Г(~+ 1) с, 4.215. Доказать, что при Вен > — 1 В задачах 4.216 — 4.227 найти указанные интегралы. хгВ хт 1 4.216, 1) — /; 2) — 1 . 4.217. — ) 2лгх 2 Я+и 2ит,/ ~/г+х 2ит,/ г~/1+и с, с, с, 4.219. — г гЬ. 2та 2 ге+1 сг 4.218. —. 2ит,/ (г + 1) ъ/л+ 2 с, 1 г е" (1 — е е')' 4.220. — / Нг (а > 0). 2ят,/ г с, 4.221. — ~ (а > О). Указание.
Воспользоваться 1 Г '21l (1 — --) с, 1 разложением = 1+ е " + е звх + ... е-ах е' гЬ Гх В 4.212. — Г . 4.213. — Г 2ях' Г (г — а)(» — 6)(г — с)' 2и.т,г г(и+1)...(и+и) с, с, 4.214. Пользуясь тождеством Г(г)Г(1 — г) = — (см. примеча- егп тгг пие к задаче 4.171) доказать, что при Ве и ( О и 1 Ге'гГг 1 7 , где контур 7 указан 2нт,Г гны Г(и+ Ц' О на рис. 25. Примечание. Так как интеграл Рис.
25 1 ГегЬ вЂ” — сходится и при Ке и > О, то он продолжает аналитически 2 ГГ' 1 функцию „на всю плоскость. Г(и+ 1) 92 Га. /1/ Ркд Лорана. Особые точки одноэначных аналитических функций 1 е' *«' 4.222. — / с/х (х > О). 2лй / х с, У к а з а н и е. Заменить С1 контуром, указанным на рис. 26. * зьг 2лй ./ гх еЪа1/х С~ > О).
4.224. — / 42. 2ке ./ С1 4.225. — / е" 1п ( — ) 42. '"'С, э — аЭ/* Рис. 26 4.226. 1' а'1 / дх (а > О). хэ о с, Указание. Переменить порядок интегрирования. Ь* 4.227. — / — с12/е "'а*ах (а > О, Ь вЂ” действительное 2лээ,/ с, о Указание. Разложить в ряд функцию е ' /1эС1 пользоваться решением задач 4.214 и 4.215. 4.229. Доказать, что при Иех > 0 и вос- ./„() = ' /еэ эте-э'~С„ 2л./ г где à — контур, указанный на рис. 27, и получить отсюда, что если Рнс, 27 число).
ге Указание. Воспользоваться тем, что // — с/х = 0 при и > О. х с, 4.228. Исходя из разложения в ряд функции Бесселя ( 1)е х «~хе ~-~ /с! Г(в+ и+ 1) (2) доказать интегральные представления (7 — контур, указанный в за- даче 4.214); е — «*/~к) ег /~а ег-э /нИ 2) — /,, Н~ = (-) /„(х) (Кеи > — 1). с, 94. Вычисление ингпегралое 93 и — целое число или нуль, то ,1„(д) = — уС соа(з аш Ь" — пс,")сСЬ.
1 г о В задачах 4.230-4.232 найти интегралы, содержащие функции Бесселя. 4.230. ~е 'соя(С)ССС (Кех > О, п — целое число). о У к а з а н и е. Воспользоваться интегральным представлением п редыдущей задачи и изменить порядок интегрирования. 4.231 1) ~Ло(аС)созЬСсСС; 2) ~Хо(аС)31пЬСсСС (а и Ь вЂ” полое о жительные числа). 4.232. / сов Ьх ' с]х (С > ]Ь]). Чгхз — ат о У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что МпиС С яС ~/ 'С1 12 (ыС) .
/ и 1'2и 2 2пС,/ лз!з сз (см. задачу 4.228), и изменить порядок интегрирования. Асимптотическое поведение интеграловз) 4.233. Пусть аналитическая фушсция 9з(з) имеет слева от СС лишь конечное число особых точек, причем все они — полюсы, и 9з(г) -+ 0 при 3 -+ оо и Пел < сх. Обозначим ~(С) = — / е '9з(г) с(л. с, Найти 1пп С(С). Рассмотреть различные случаи расположения по- С-чсо люсов относительно мнимой оси. Указание. Воспользоваться леммой Жордана (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
